第9章 中心对称图形—平行四边形 单元综合测试题(含解析)

这是一份第9章 中心对称图形—平行四边形 单元综合测试题(含解析)，共17页。
第9章中心对称图形—平行四边形单元综合测试题

一．选择题（共7小题，满分35分）
1．如图四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（　　）

A． B．4 C． D．5
4．如图，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm



5．如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（　　）

A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
6．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　）

A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）
7．如图，边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．用反证法证明：在一个三角形中不能有两个角是钝角．应先假设：　 　．
9．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 　 　．


10．如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　 　．（仅填序号）

11．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC＝3，AC＝4，则长方形RFHN内空白部分的面积之和是 　 　．

12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是DC边上一点，DE＝3，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线AB上，落点记为F，则BF的长为 　 　．

13．如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 　 　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　 　．

三．解答题（共6小题，满分50分）
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一点，且CE＝BE，将△CBE绕点C旋转得到△CAD．
（1）求证：AB∥DC；
（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．

16．如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．

17．如图在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1；
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为　 　．


18．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．

19．已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD边上，连接BG交CE于点H．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AEC；
（2）如图2，连接FH，若FH平分∠EFG，判断CH与AE之间的数量关系，并说明理由．

20．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）过点F作FN⊥FC交BD的延长线于点N，若BD与EF交于点M，连接AM，求证：AM⊥EF；
（3）在（2）的条件下，如果EF＝6，求AE的长．


参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AC＝4，BD＝6
∴AO＝2，BO＝，3，
在△OAB中，3﹣2＜AB＜2+3．
故选：D．
3．解：如图，连接AA'，

∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝＝，
故选：A．
4．解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵AD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF＝AC＝5cm，CD＝FD，
∴BF＝AB﹣AE＝9﹣5＝4cm，
∵CD＝FD，点E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝BF＝2cm，
故选：B．

5．解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴BC＝EF＝AD＝1，AE＝AB，
∵DE＝EF＝1，
∴AE＝＝AB，
∴EC＝﹣1，
∴四边形ABCE的面积＝×（+﹣1）×1＝﹣，
故选：C．
6．解：连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2），
∴BD＝6，AE＝2，
∴DE＝BD＝3，AC＝2AE＝4，
∴点C的坐标为：（3，4）．
故选：C．

7．解：延长FD到G，使FG＝FE，连接AG，如图：

∵AF平分∠DFE，
∴∠GFA＝∠EFA，
∵AF＝AF，FG＝FE，
∴△GFA≌△EFA（SAS），
∴AG＝AE，GF＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADC＝∠ADG＝90°＝∠B，
∴Rt△ADG≌Rt△ABE（HL），
∴DG＝BE＝2，
设DF＝x，则FG＝x+2＝EF，CF＝CD﹣DF＝6﹣x，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴（6﹣2）2+（6﹣x）2＝（x+2）2，
解得x＝3，
∴DF＝3，
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．解：用反证法证明命题“在一个三角形中不能有两个角是钝角”第一步应假设这个三角形中有两个角是钝角．
故答案为：这个三角形中有两个角是钝角．
9．解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，
∴△ABC≌△A'BC'，
∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，
∴A'C＝3，
故答案为：3．
10．解：由四边形ABCD是菱形加上条件AB＝AD不能证明四边形ABCD成为正方形；
由四边形ABCD是菱形加上条件AC＝BD可证△ABD≌△DAC（SSS）得到∠ADC＝∠BAD＝90°，能证明四边形ABCD成为正方形；
由四边形ABCD是菱形加上条件∠ABC＝∠ADC不能证明四边形ABCD成为正方形；
故答案为：②．
11．解：如图，延长CB交FH于点O，
在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，
∴BG＝AB＝GM，∠ACB＝∠ABG＝∠F＝∠H＝∠MGB＝90°，BC∥DE，
∴∠BOG＝∠F＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠GBO＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CAB＝∠GBO，
在△ACB和△BOG中，
，
∴△ACB≌△BOG（AAS），
∴AC＝OB＝4，OG＝BC＝3，
同理：△MHG≌△GOB（AAS），
∴MH＝OG＝3，HG＝OB＝4，
∴FR＝4+3+4＝11，FH＝3+3+4＝10，
∴S空白＝S长方形HFRN﹣S正方形BCDE﹣S正方形ACQP﹣S正方形ABGM＝11×10﹣3×3﹣4×4﹣5×5＝60．
故答案为：60．

12．解：如图，∵AB＝BC＝AD＝4，DE＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝＝5，
由旋转的性质可知，AF＝AE＝AF′＝5，
∴BF＝AF﹣AB＝1，
当F点在BA延长线上时，可得BF′＝4+5＝9，
故答案为：1或9．

13．解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AD∥CB，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△EAO与△FCO中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴S阴影部分＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×22＝5.5，
故答案为：5.5．
14．解：连接AD，

∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝，
∴，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．（1）证明：由旋转的性质得∠BCE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵CE＝BE，
∴∠B＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD；
（2）解：四边形BEDC是平行四边形，
由旋转的性质得CD＝CE，
∵CE＝BE，
∴CD＝BE，
∵AB∥DC，
∴四边形BEDC是平行四边形．
16．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AE⊥DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
又∵∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
同理可得CD＝CE，
∴BF＝CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，

∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AF＝CK＝8，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC＝6，
∴KI＝CI＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵CI⊥DE，
∴EI＝DI，
∵DI＝＝＝2，
∴DE＝2DI＝4．
17．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）如图，△A2B2C2可以看作△ABC绕P点旋转得来，旋转中心P坐标为（﹣3，﹣1）．
故答案为（﹣3，﹣1）．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE，
∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴OE＝AO＝，
∴EF＝2OE＝2，
∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
19．（1）证明：如图1，连接BE，
由旋转得EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴BE平分∠AEC．
（2）解：CH＝2AE．
理由：如图2，连接BE，作BI⊥CE于点I，则∠BIH＝∠BIE＝90°，
∵∠A＝∠GCH＝90°，
∴∠BIH＝∠GCH，∠BIE＝∠A，
∵BE平分∠AEC，
∴∠IEB＝∠AEB，
在△IEB和△AEB中，
，
∴△IEB≌△AEB（AAS），
∴IE＝AE，IB＝AB＝FE＝CG，
∵∠EFG＝∠FEH＝∠GCH＝90°，FH平分∠EFG，
∴∠EFH＝∠GFH＝∠EFG＝45°，∠BIH＝∠GCH，
∴∠EHF＝∠EFH＝45°，
∴FE＝HE＝IB，
在△BHI和△GHC中，
，
∴△BHI≌△GHC（AAS），
∴IH＝CH，
∵EC＝BC＝AD，IE＝AE，
∴EC﹣IE＝AD﹣AE，
∴IC＝ED，
设IE＝AE＝m，IH＝CH＝n，则CE＝m+2n，ED＝IC＝2n，CD＝CG＝FE＝HE＝m+n，
∵∠D＝90°，
∴（2n）2+（m+n）2＝（m+2n）2，
∴n＝2m，
∴CH＝2AE．

20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°＝∠DBC，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）证明：∵∠BDC＝∠FDN＝45°，FN⊥CF，
∴∠N＝∠FDN＝45°，
∴DF＝FN，
∵BE＝DF，
∴BE＝FN，
在△BEM和△NFM中，
，
∴△BEM≌△NFM（AAS），
∴EM＝FM，
又∵AE＝AF，
∴AM⊥EF；
（3）解：∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠EAF＝90°，
又∵AE＝AF，
∴EF＝AE＝6，
∴AE＝3．