初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形练习

这是一份初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形练习，共26页。试卷主要包含了4　矩形、菱形、正方形，【新考法】小惠自编一题等内容，欢迎下载使用。
第9章　中心对称图形——平行四边形9.4　矩形、菱形、正方形基础过关全练知识点1　矩形的定义与性质1.(2022浙江湖州中考)如图,已知BD是矩形ABCD的对角线,AB=6,BC=8,点E,F分别在边AD,BC上,连接BE,DF.将△ABE沿BE翻折,将△DCF沿DF翻折,若翻折后,点A,C分别落在对角线BD上的点G,H处,连接GF,下列结论不正确的是              (　　)A.BD=10　　　　B.HG=2　　　　C.EG∥FH　　　　D.GF⊥BC2.【教材变式·P83习题T3变式】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=8, E为AD的中点,F是BC边上一动点,当EF平分∠BED时,FC的长度为　　　　. 知识点2　矩形的判定3.(2021北京人大附中期中)工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,常常还要测量它们的两条对角线长度是否相等,以确保形状是矩形.这样做的道理是              (　　)A.两组对边分别相等的四边形是矩形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线相等的平行四边形是矩形4.(2022江苏扬州期中)如图,在△ABC中,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F,连接CF.(1)若∠BAC=90°,求证:AD=AF; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是矩形?说明理由.    知识点3　两条平行线之间的距离5.如图,若直线a∥b,则直线a,b之间的距离是 (　　)A.线段AB的长度　　　　B.线段CD的长度C.线段EF的长度　　　　D.线段GH的长度知识点4　菱形的定义与性质6.(2022江苏沭阳月考)菱形具有一般平行四边形不具有的性质是 (　　)A.对边相等　B.对角相等  C.对角线互相平分　D.对角线互相垂直7.(2022江苏滨海月考)如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,阴影部分的面积为　　　　. 8.(2022四川南充中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)ME=NF.                                               知识点5　菱形的判定9.(2021北京大兴期中)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=2,则四边形OCED的周长为              (　　)A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.410.【新考法】(2022浙江嘉兴中考)小惠自编一题:如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形,并将自己的证明过程与同学小洁交流.小惠:证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD.∴AB=AD,CB=CD,∴四边形ABCD是菱形.小洁:这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.    知识点6　正方形的定义与性质11.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点,且OE⊥OF,已知AD=6,则图中阴影部分的面积是　　　　. 12.【等积法】(2022北京人大附中期中)如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上(点E与点C、D不重合),过点E作FG⊥BE,FG与边AD相交于点F,与边BC的延长线相交于点G.(1)BE与FG有什么样的数量关系?请直接写出你的结论:　　　　　　　　　　　　. (2)DF、CG、CE之间具有怎样的数量关系?并给出证明.(3)如果正方形的边长是1,FG=1.5,直接写出点A到直线BE的距离.                                                  知识点7　正方形的判定13.(2022北京二中期中)数学课上老师给出了以下四个条件:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.有三位同学给出了不同的组合方式:①a,c,d;②b,c,d;③a,b,c.你认为能得到正方形的是　　　　.(填写序号) 14.【一线三等角模型】(2021江苏南京二模)如图,在正方形ABCD中,E、F、G、H分别是各边上的点,且AE=BF=CG=DH.求证:(1)△AHE≌△BEF;(2)四边形EFGH是正方形.                                                   能力提升全练15.(2022江苏南京期中,8,)如图,正方形ABCD和▱AEFC,点B在EF边上,若正方形ABCD和▱AEFC的面积分别是S1、S2,则S1、S2的大小关系是              (　　)A.S1>S2　　　　B.S1=S2          C.S1<S2　　　　D.无法确定16.(2022湖南株洲中考,9,)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是              (　　)A.OB=CE　　　　　　　B.△ACE是直角三角形C.BC=AE　　　　　　　D.BE=CE17.【开放性问题】(2022浙江绍兴中考,8,)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是              (　　)A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.418.【斜直角】(2022江苏东台月考,8,)如图,正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0),若h1=5,h2=2,则正方形ABCD的面积S等于              (　　)A.34　　　　B.89　　　　C.74　　　　D.10919.(2022江苏徐州期末,14,)如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE,若AC=12,BD=16,则OE的长为　　　　. 20.(2020江苏宿迁中考,22,)如图,在正方形ABCD中,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:四边形BEDF是菱形.   21.(2022江苏南京月考,24,)在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D是边AB上的一个动点,连接CD.作AE∥DC,CE∥AB,连接 ED.(1)如图1,当CD⊥AB时,求证:AC=ED. (2)如图2,当D是AB的中点时,①四边形 ADCE 的形状是　　　　,请说明理由. ②若AB=5,ED=4,则四边形 ADCE 的面积为　　　　.    图1                   图2   素养探究全练22.【几何直观】(2021山东济南槐荫期末)如图,四边形ABCD是边长为8的正方形,点E在边CD上,DE=2,作EF∥BC,分别交AC、AB于点G、F,M、N分别是AG,BE的中点,则MN的长是              (　　)A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.723.【几何直观】定义:如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形,那么这个四边形叫做等面积四边形,这条对角线叫做等面积对角线.概念理解(1)下列图形中,属于等面积四边形的是　　　　. A.平行四边形B.对角线互相垂直的四边形C.对角线相等的四边形(2)等面积四边形的性质:在等面积四边形中,等面积对角线平分另一条对角线.利用所学知识证明等面积四边形的性质.如图1,已知:四边形ABCD是等面积四边形,等面积对角线AC与对角线BD交于点O,△ABC与△ADC的面积相等.求证:BO=DO.  探究应用(3)如图2,已知四边形ABCD是等面积四边形,等面积对角线AC与对角线BD交于点E,AC-BC=2CE.①求证:∠BCE=2∠DAC.②若∠DAC=30°,AD=CD,求证:AC=BD.                                                          图1                          图2
答案全解全析基础过关全练1.D　∵BD是矩形ABCD的对角线,AB=6,BC=8,∴∠BCD=90°,CD=AB=6,在Rt△BCD中,BC=8,CD=6,∴BD==10,故A正确;由翻折可知BG=AB=6,DH=CD=6,∴DG=BD-BG=4,BH=BD-HD=4,∴HG=10-BH-DG=10-4-4=2,故B正确;由翻折可知∠C=∠FHG=∠A=∠BGE=90°,∴EG∥HF,故C正确;假设GF⊥BC,设CF=a,则FH=a,BF=8-a,在Rt△BFH中,BH=4,∴42+a2=(8-a)2,∴a=3,∴BF=5,在Rt△GFH中,FG=,而在Rt△BFG中,FG=,,所以假设错误,故D不正确.故选D.2.3解析　∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,AD∥BC,∠A=90°,∴∠DEF=∠EFB,∵E为AD的中点,∴AE=AD=4,∴BE==5,∵EF平分∠BED,∴∠BEF=∠DEF,∴∠BEF=∠EFB,∴BF=BE=5,∴FC=BC-BF=8-5=3,故答案为3.3.D　∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,∴不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,常常还要测量它们的两条对角线长度是否相等,以确保形状是矩形,故选D.4.解析　(1)证明:∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEB中,∴△AEF≌△DEB(ASA),∴AF=BD,∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,∴AD=BD=DC=BC,∴AD=AF.(2)当AB=AC时,四边形ADCF是矩形,由(1)知AF=BD=DC,∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCF是矩形.5.B　由直线a∥b,CD⊥b,得线段CD的长度是直线a,b之间的距离,故选B.6.D　菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形所具有的一切性质.A.对边相等,平行四边形也具有,不符合题意; B.对角相等,平行四边形也具有,不符合题意;C.对角线互相平分,平行四边形也具有,不符合题意;D.对角线互相垂直,平行四边形没有,符合题意.故选D.7.12解析　∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8,∴菱形ABCD的面积=×6×8=24,∵O是菱形ABCD两条对角线的交点,∴阴影部分的面积=×24=12.故答案为12.8.证明　(1)∵四边形ABCD为菱形,∴∠DAE=∠DCF,AB=BC=CD=DA,∵BE=BF,∴AB-BE=BC-BF,即AE=CF,在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF(SAS).(2)如图,连接BD交AC于点O,∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∠ADO=∠CDO,∴∠DOM=∠DON=90°,由(1)知△ADE≌△CDF,∴∠ADE=∠CDF,DE=DF,∴∠ADO-∠ADE=∠CDO-∠CDF,∴∠MDO=∠NDO,易证△MDO≌△NDO(ASA).∴DM=DN,∴ME=NF.9.D　∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OC=OB=OD,∵AC=2,∴OC=1,∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形OCED为平行四边形,∵OC=OD,∴四边形OCED为菱形,∴菱形OCED的周长为4OC=4×1=4.故选D.10.解析　赞成小洁的说法,补充条件:OA=OC.证明:∵OB=OD,OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.11.9解析　∵四边形ABCD是正方形,∴∠EDO=∠FCO,AC⊥BD,OD=BD,OC=AC,AC=BD,∴∠DOC=90°,OD=OC,∵OE⊥OF,∴∠EOF=90°,∵∠DOE+∠DOF=∠COF+∠DOF=90°,∴∠DOE=∠COF,∴△ODE≌△OCF(ASA),∴图中阴影部分的面积=S△AOD=S正方形ABCD,∵AD=6,∴图中阴影部分的面积=×62=9,故答案为9.12.解析　(1)BE=FG.提示:如图1,过点F作FH⊥BC交BE于点K,交BC于点H,图1∵FG⊥BE,∴∠BEF=90°,∴∠EFK+∠FKE=90°.∵FH⊥BC,∴∠FHB=∠FHG=90°,∴∠BKH+∠KBH=90°.∵∠FKE=∠BKH,∴∠EFK=∠KBH .∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=∠ADC=90° .∵∠FHC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形CDFH是矩形,∴FH=CD,∴FH=BC, ∴△BCE≌△FHG(ASA),∴BE=FG.(2)CE=DF+CG.证明:如图1,由(1)可知四边形CDFH是矩形,∴DF=CH.由(1)可知△BCE≌△FHG,∴CE=HG.∵HG=CH+CG,∴CE=DF+CG.(3).提示:如图2,连接AE,过点A作AM⊥BE于点M,图2∵BE=FG,FG=1.5,∴BE=1.5.∵正方形ABCD的边长为1,∴AB=DA=1.∵S△ABE=BE·AM,∴AM=,∴点A到BE的距离为.13.①②解析　由正方形判定方法可知①②正确.14.证明　(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=90°,又∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH,∴△AHE≌△BEF(SAS).(2)易证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE(SAS),∴EF=EH=HG=GF,∠EHA=∠HGD,∴四边形EFGH是菱形,∵∠EHA=∠HGD,∠HGD+∠GHD=90°,∴∠EHA+∠GHD=90°,∴∠EHG=90°,∴四边形EFGH是正方形.能力提升全练15.B　如图所示,连接BD交AC于O,根据正方形对角线互相垂直,可得AC⊥BD,正方形ABCD的面积S1=×AC×BD=AC×BO=2S△ABC,▱AEFC的面积S2=AC×BO=2S△ABC,所以S1=S2.故选B.16.D　在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∴AC⊥DB,AO=OC,∴∠AOB=90°,∵CE∥BD,∴∠ACE=∠AOB=90°,∴△ACE是直角三角形,故B选项结论正确;∵四边形ABCD是菱形,∴AE∥CD,OB=BD,又CE∥BD,∴四边形CDBE是平行四边形, ∴CE=BD,∴OB=CE,故A选项结论正确;在菱形ABCD中,AB=BC=CD,在▱CDBE中,BE=CD,∴BE=CD=AB=BC,即BC=AE,故C选项结论正确;现有条件不足以证明BE=CE,故D选项结论不一定正确.故选D.17.C　如图,连接AC,与BD交于点O,连接ME,MF,NF,EN,MN,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∵点E、F是BD上的点,∴只要MN过点O,四边形MENF就是平行四边形,∴存在无数个平行四边形MENF,故①正确;若MN=EF,且MN过点O,则四边形MENF是矩形,∵点E、F是BD上的动点,∴存在无数个矩形MENF,故②正确;若MN⊥EF,且MN过点O,则四边形MENF是菱形,∵点E、F是BD上的动点,∴存在无数个菱形MENF,故③正确;若MN=EF,MN⊥EF,且MN过点O,则四边形MENF是正方形,而符合要求的正方形只有一个,故④错误.故选C.18.C　如图,过A点作AF⊥l3,分别交l2、l3于点E、F,过C点作CH⊥l2,分别交l2、l3于点H、G,∵四边形ABCD是正方形,l1∥l2∥l3∥l4,∴AB=CD,∠ABE+∠HBC=90°,∵CH⊥l2,∴∠BCH+∠HBC=90°,∴∠BCH=∠ABE,同理可得∠BCH=∠CDG,∴∠ABE=∠CDG,∵∠AEB=∠CGD=90°,∴△ABE≌△CDG(AAS),∴AE=CG,即h1=h3,同理证得△ABE≌△DAF≌△BCH≌△CDG,进一步可推得四边形HGFE为正方形,边长为h2,∴正方形ABCD的面积S=4××h1(h1+h2)+=(h1+h2)2+,∵h1=5,h2=2,∴S=(h1+h2)2+=49+25=74.故选C.19.10解析　∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED为平行四边形,∵四边形ABCD是菱形,AC=12,BD=16,∴AC⊥BD,OA=OC=AC=6,OB=OD=BD=8,∴∠DOC=90°,∴四边形OCED是矩形,CD2=OC2+OD2=100,∴OE=CD=10.20.证明　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=CD=BC,∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°,在△ABE和△ADE中,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴BE=DE,同理可得△BFC≌△DFC,∴BF=DF,∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,在△ABE和△CBF中,∴△ABE≌△CBF(SAS),∴BE=BF,∴BE=BF=DE=DF,∴四边形BEDF是菱形.21.解析　(1)证明:∵AE∥DC,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形,∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AC=ED.(2)①菱形.∵AE∥DC,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形,∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴AD=CD=BD,∴四边形ADCE是菱形.②6.提示:∵四边形ADCE是菱形,∴CE∥AB,CE=AD,∵D为Rt△ABC斜边AB的中点,∴AD=BD,∴CE=BD,∴四边形ECBD是平行四边形,∴BC=ED=4,∴AC==3,∴S菱形ADCE=×3×4=6.素养探究全练22.B　∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=90°.∵EF∥BC,∴∠BFE+∠ABC=180°,∴∠BFE=90°,∴四边形BCEF为矩形,连接FM,FC,如图.∵N是BE的中点,四边形BCEF为矩形,∴点N在FC上,且为FC的中点,BE=FC.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°,又∵∠AFG=90°,∴△AFG为等腰直角三角形.∵M是AG的中点,∴FM⊥AG,∴△FMC为直角三角形,∵点N为FC的中点,∴MN=FC,∵四边形ABCD是边长为8的正方形,DE=2,∴BC=CD=8,CE=6,在Rt△BCE中,由勾股定理得BE=10,∴FC=10,∴MN=FC=5.故选B.23.解析　(1)A.(2)证明:如图,过点D作DM⊥AC于M,过点B作BN⊥AC于N.∵DM⊥AC,BN⊥AC,∴∠DMO=∠BNO=90°,∵S△ADC=S△ABC,∴AC·BN,∴DM=BN,∵∠DOM=∠BON,∴△DOM≌△BON(AAS),∴BO=DO.(3)①证明:如图,在EA上取一点T,使得ET=EC,连接DT,BT.∵四边形ABCD是等面积四边形,AC是等面积对角线,∴DE=EB,∵EC=ET,∴四边形BCDT是平行四边形,∴BC=DT,DT∥BC,∴∠BCE=∠DTE,∵AC-BC=2CE,∴AC-2CE=BC,∴AC-CT=AT=BC,∴TA=TD,∴∠DAC=∠ADT,∵∠DTE=∠DAC+∠ADT=2∠DAC,∴∠BCE=∠DTE=2∠DAC.②证明:由①知,∠ECB=2∠DAC=60°,∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC=30°,∴∠DCA+∠BCE=90°,∵四边形BCDT是平行四边形,∴四边形BCDT是矩形,∴EC=ET=BD=ED=EB,∴△BCE是等边三角形,∴∠DET=∠CEB=60°,∴△DET是等边三角形,∵TA=DT,∴AT=ET=EC=DE=BE,∴AC=BD.