2023年广东深圳市南山区九年级下学期第一次模拟考试数学试卷+答案

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2023年一模试题数学学科试卷第一部分 选择题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 的相反数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，直接得出答案．【详解】根据相反数定义，的相反数是，故选：A．【点睛】本题考查相反数定义，熟记符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．2. 下列图形不是中心对称图形的是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．3. 疫情以后，为了保证大家的健康，学校对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：）如下：，，，，，，．这组数据的中位数是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．【详解】将这组数据从小到大重新排列为，，，，，，∴这组数据的中位数为，故选：B．【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．4. 今年1月，深圳召开全市高质量发展大会，同时举行首批266个重大项目开工活动，预计本年度计划投资约535.6亿元，以高质量投资助力高质量发展．亿用科学计数法表示（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：亿．故选：D．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．5. 如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（  ）A. 三角形 B. 正方形 C. 六边形 D. 七边形【答案】D【解析】【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案；【详解】解：∵正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，∴截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，故选D．【点睛】本题考查了正方体的截面，解题的关键是熟练掌握面面相交等到线．6. 下列运算正确的是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方计算，再进行判断即可．【详解】解：A. 与不是同类项不能合并，该选项不符合题意；    B. ，故该选项不正确，不符合题意；    C. ，故该选项正确，符合题意；    D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．7. 一副三角形板如图放置，，，，，则的度数为（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据，，可得，，结合，即可得到，即可得到答案；【详解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据直角三角板得到相应的角度．8. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（  ）A.  B. 3 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解．【详解】根据作图可知为的角平分线，，∴如图所示，过点作交的延长线于点，∵，∴，∵，∴，∵∴点E到的距离为故选：B．【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．9. 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（  ）A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根【答案】A【解析】【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解．【详解】解：依题意，函数与的函数图象如图所示，根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，故选:A．【点睛】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键．10. 如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设射线交于点，连接，证明，勾股定理得出，进而根据，列出方程，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，设射线交于点，连接，∵，∴是的直径，∴，∵四边形正方形，∴，∴，，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了直角所对的弦是直角，正弦的定义，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．第二部分 非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则输出的值为____________．【答案】7【解析】【分析】该程序计算是先平方，再乘以3，再减去5．将x输入即可求解．【详解】解：输入x=-2，x2=（-2）2=4，4×3=12，12-5=7．故答案为：712. 一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据因式分解的结果，乘以一个单项式即可求解．【详解】解：∵，∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的联系，掌握因式分解是解题的关键．13. 如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A＝50°，则∠C＝_____度．【答案】20【解析】【分析】首先连接OB，由AB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，即可得OB⊥AB，又由∠A＝50°，即可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．【详解】解：连接OB，如图：∵AB与⊙O相切于点B∴OB⊥AB∴∠OBA＝90°∵∠A＝50°∴∠AOB＝90°﹣∠A＝40°∴．故答案是：【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14. 如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，点坐标为，且，反比例函数经过点C，则k的值为______．【答案】【解析】【分析】作于点．由可设，，根据勾股定理即可求出和的值，利用面积法求出的值，再利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，然后可求出的值．【详解】如图，作于点．∵，为斜边的中点，∴，∴，．∵，可设，，由勾股定理得，（负值舍去），，，，，，，，，．反比例函数经过点，．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解答本题的关键．15. 如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案．【详解】解：∵等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，连接，如图，∵，∴，∴，∴点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，设这段弧所在的圆心为O，连接，如图，则（当且仅当三点共线时取=），∴的最小值即为，设交于点H，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴四边形是菱形，∴，∴，∴，∴的最小值为；故答案为；．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．【详解】解：解不等式①得： 解不等式②得：在数轴上表示不等式的解集为：∴不等式组的解集为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．17. （1）直接写出结果计算：      ．（2）利用（1）中的结论化简．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据分式的混合运算进行计算即可求解．详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，分式的混合运算，掌握整式与分式的运算法则是解题的关键．18. 为调查某校关于国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”的落实情况，某部门就“每天在校体育活动时间”随机调查了该校部分学生，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．每天校体育活动时间扇形统计图：每天在校体育活动时间频数分布表：组别每天在校体育活动时间t/h人数At＜0．5h20B0．5h≤t＜1h40C1h≤t＜1．5haDt≥1．5h20请根据以上图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_________人，a＝__________，C组所在扇形的圆心角的大小是___________；（2）若该校约有1500名学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数．【答案】（1）：200，120，．    （2）1050人【解析】【分析】（1）由A组人数除以A组所占的百分比可得总人数，再利用总人数减去A，B，D组的人数可求解的值，再利用乘以C组所占的百分比即可得到C组所在扇形的圆心角；（2）由1500乘以样本中达到国家规定体育活动时间的学生人数的百分比即可．【小问1详解】解：由A组人数为20人，占比 所以此次调查的总人数为：（人），所以（人），C组所在扇形的圆心角的大小是．故答案为：200，120，．【小问2详解】解：（人），所以该校约有1500名学生，估计达到国家规定体育活动时间的学生人数约为1050人．【点睛】本题考查的是频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体，熟练从频数分布表与扇形统计图中获取相关联的信息是解本题的关键．19. “双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．（1）求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．（2）该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台A型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？【答案】（1）该商场购进每台型护眼灯的成本价为26元，购进每台型护眼灯的成本价为35元    （2）20元【解析】【分析】（1）设该商场购进每台型护眼灯的成本价为元，则购进每台型护眼灯的成本价为元，根据“用3120元和 4200元购进型和型护眼灯的数量相同”建立方程，解方程即可得；（2）设每台型护眼灯升价元时，销售利润为元，则每台型护眼灯的售价为元，每天可以售出型护眼灯台，根据“利润（售价成本价）销售数量”建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．【小问1详解】解：设该商场购进每台型护眼灯的成本价为元，则购进每台型护眼灯的成本价为元，由题意得：，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，答：该商场购进每台型护眼灯的成本价为26元，购进每台型护眼灯的成本价为35元．【小问2详解】解：设每台型护眼灯升价元时，销售利润为元，则每台型护眼灯的售价为元，每天可以售出型护眼灯台，由题意得：，，，由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为1800，答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握二次函数的性质是解题关键．20. （1）如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为      ．（从以下选项中选取）A. 正方形     B ．菱形         C．矩形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的值．【答案】（1）C    （2）①证明见详解；②；【解析】【分析】（1）根据可得，结合 可得，，再根据平移得到，可得，即可得到答案；（2）①根据平移可得，，即可得到四边形是平行四边形，根据，结合根据勾股定理可得，即可得到证明；②根据，即可得到，结合即可得到，根据可得，即可得到答案；【小问1详解】解：∵中，，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵平移得到，∴，∴四边形的形状为矩形，故选C；【小问2详解】①证明：∵平移得到，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∴，∴四边形是菱形；②∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查平移的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角函数，平行四边形的性质，解题的关键是根据平移及平行四边形的性质得到相应的条件．21. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．图1                   备用图（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；（3）抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）    （2）点的坐标为或    （3）存在，点的坐标为或【解析】【分析】（1）运用待定系数法，将，代入，即可求得抛物线的解析式；（2）先求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，根据相似三角形的性质用含的式子表示点的坐标，再由点也在直线上，得到关于的方程，解方程即可；（3）分情况讨论：①当点是抛物线上与点对称的点时，②当时，分别求得点的坐标．【小问1详解】解：把，代入，得，解得，抛物线的解析式为；【小问2详解】解：抛物线与轴交于点，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，直线的解析式为，设，过点作轴于点，过点作轴于点，，，，，，即，，，，又点直线上，，解得或，当时，，即点的坐标为，当时，，即点的坐标为；【小问3详解】解：存在点使得，如图，①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，点关于对称轴的对称点坐标为，；②当时，则有，直线的解析式，直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为，把代入，得，解得，直线的解析式为，联立，解得，（舍去），，综上，存在点使得，点的坐标为或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点，互相平行的两直线的关系，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键．22. 在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接．（1）将射线绕点顺时针旋转，交直线于点．①依题意补全图1；②小深通过观察、实验，发现线段存在以下数量关系：的平方和等于的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要证的关系，只需证的关系．想法2：将沿翻折，得到，要证的关系，只需证的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图2，若将直线绕点B顺时针旋转，交直线于点．若正方形边长为，，求的长．【答案】（1）①见解析；②，证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②想法1：过作，使，连接，由正方形的性质得出，，，证明，得出，证出，证明，得出，证出，在中，由勾股定理即可；想法2，证明，在在中，由勾股定理即可，进而即可得出结论；（2）过作，使，连接，由证得：，得出，再由证得：，得出，，证出，得出，在中，由勾股定理即可得得出，根据题意得出，代入结论，解方程即可求解．【小问1详解】解：①补全图形，如图1所示：②；理由如下：想法1：过作，使，连接，如图2所示：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，在中，，∴；想法2，如图所示，∵四边形是正方形，将沿翻折，得到，∴，，∵，∴∴∴在和中，，∴，∴，∴，在中，，∴；【小问2详解】解：如图所示，过作，使，连接，∵直线绕点顺时针旋转°，交直线于点，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴．∵正方形边长，∴，∵，设，则∴解得：∴设，则， ∵．∴，解得：∴．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．