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2023年辽宁省本溪市中考数学质检试卷(含答案）
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这是一份2023年辽宁省本溪市中考数学质检试卷(含答案），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省本溪市中考数学质检试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）9的相反数是（ ）
A． B．9 C．﹣9 D．﹣
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a3 D．3a2+2a3＝5a5
4．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如表所示：
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的中位数是（ ）
A．1.5 B．1 C．1.25 D．3.5
6．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，现按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（3，4），则点A的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形ABCD的两边分别交于点M，N（点N在点M的上方），连接OM，ON，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤6），则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）世界卫生组织公布的数据表明，成人每日应该摄入的维生素D约为0.0000046克，那么数据“0.0000046”用科学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ ．
13．（3分）如果关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．若∠ABC＝70°，则∠BAD的度数为 °．
15．（3分）如图，小球在菱形ABCD上自由地滚动，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H在AC上，且AG＝GH＝CH，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ．
16．（3分）如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，C、D分别为OA、OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数 的图象经过点A．若△ABE的面积为3，则k的值为 ．
17．（3分）正方形ABCD的边长为4，点E为平面内一点，∠AED＝90°，当tan∠ABE＝时，则BE＝ ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现有长为3的小木棒EF紧贴AD、DC边滑动（即EF的两个端点始终落在AD、DC边上），G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为 ．
三.解答题（19题10分，20题-25题每题12分，26题14分，共96分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
20．（12分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（3）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．（12分）青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．
（1）求每袋大米和面粉各多少元？
（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？
22．（12分）如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C、D、E在同一直线上，且CE⊥AE，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点F，过点D作DE∥AB，交CA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DF＝10，CF＝6，求图中阴影部分的面积．
24．（12分）某商店销售一批精装风景纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本．现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量工的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
25．（12分）等腰Rt△BEF中，∠BEF＝90°，BE＝EF，先将△BEF绕正方形ABCD的顶点B旋转，再平移线段BE至AG位置，连接DF，GF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出DF、GF的数量关系．
（2）如图2，当点E不在BC上时，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）连接AE，若，BE＝2，在△BEF绕点B旋转的过程中，当A、G、F三点共线时，直接写出线段AE的长度．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP．当时，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上的点，当∠BCM＝∠ACO时，直接写出点M的坐标．
2023年辽宁省本溪市中考数学质检试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）9的相反数是（ ）
A． B．9 C．﹣9 D．﹣
【解答】解：根据相反数的定义，得9的相反数是﹣9．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a3 D．3a2+2a3＝5a5
【解答】解：A、2a2•3a＝6a3，故A符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故B不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；
D、3a2与2a3不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
4．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：
故选：B．
5．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如表所示：
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的中位数是（ ）
A．1.5 B．1 C．1.25 D．3.5
【解答】解：把这些数从小到大排列为：0.5，0.5，1，1，1，1.5，1.5，1.5，1.5，2，
则这10名学生平均每天的课外阅读时间的中位数是＝1.25（小时）；
故选：C．
6．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【解答】解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴＝2×．
故选：B．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
9．（3分）已知▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，现按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（3，4），则点A的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF＝∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠COF，
∴∠AOF＝∠AFO，
∴OA＝AF，
设AF交y轴于H，如图，
∵F（3，4），
∴HF＝3，OH＝4，
设A（t，4），
∴AH＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+3，
在Rt△OAH中，t2+42＝（﹣t+3）2，解得t＝﹣，
∴点A的横坐标为﹣．
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形ABCD的两边分别交于点M，N（点N在点M的上方），连接OM，ON，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤6），则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：四边形ABCD是菱形，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，则点C的横坐标为6，
S＝t×MN，
①当0≤t≤2时，MN＝AMtan60°＝t，
S＝t2，为开口向上的二次函数；
②当2＜t≤4时，MN为常数，
故S对应的函数表达式为一次函数；
③同理可得：当4＜t≤6时，MN＝（6﹣t），
S＝（﹣t2+6t），为开口向下的二次函数；
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）世界卫生组织公布的数据表明，成人每日应该摄入的维生素D约为0.0000046克，那么数据“0.0000046”用科学记数法表示为 4.6×10﹣6 ．
【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．
故答案为：4.6×10﹣6．
12．（3分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ m（x﹣1）2 ．
【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，
13．（3分）如果关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0且k≠0，
即9﹣4k≥0，
解得k≤，
∴k的取值范围为k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．若∠ABC＝70°，则∠BAD的度数为 140 °．
【解答】解：∵OA＝OB，∠ABC＝70°，
∴∠ABO＝∠BAO＝70°，
∴∠BOA＝40°，
∵OA∥CD，
∴∠C＝∠BOA＝40°，
∵四边形ABCD是O的内接四边形，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝140°；
故答案为：140．
15．（3分）如图，小球在菱形ABCD上自由地滚动，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H在AC上，且AG＝GH＝CH，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ．
【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴＝，＝，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴＝，＝，
∴＝，
∴EG∥BC
∴＝＝，
同理可得HF∥AD，＝，
∴小球最终停在阴影区域上的概率是×＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，C、D分别为OA、OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数 的图象经过点A．若△ABE的面积为3，则k的值为 ﹣6 ．
【解答】解：如图：连接AD，
△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，
∴AD⊥OB，AB∥CD，
∴S△ABE＝S△AOD＝3，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
17．（3分）正方形ABCD的边长为4，点E为平面内一点，∠AED＝90°，当tan∠ABE＝时，则BE＝ 2﹣2或2+2 ．
【解答】解：∵∠AED＝90°，
∴点E在以AD为直径的圆上，
取AD的中点O，连接BO，
∴AO＝OD＝AD＝2，
∴tan∠ABO＝，
∵tan∠ABE＝，
∴∠ABO＝∠ABE，
∴点E在直线BO上，
∵BO＝＝＝2，
∴BE＝2+2或2﹣2，
故答案为：2﹣2或2+2．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现有长为3的小木棒EF紧贴AD、DC边滑动（即EF的两个端点始终落在AD、DC边上），G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为 2﹣ ．
【解答】解：∵EF＝3，点G为EF的中点，
∴DG＝，
∴G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，
此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝3，AD＝4，
∴AA′＝6，
∴A′D＝2，
∴A′G＝A′D﹣DG＝2﹣，
∴PA+PG的最小值为2﹣，
故答案为：2﹣．
三.解答题（19题10分，20题-25题每题12分，26题14分，共96分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
＝1﹣4﹣1
＝﹣4，
则原式＝．
20．（12分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 100 人；扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是 144° ，并补全条形统计图；
（2）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（3）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人），
∴扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是360°×＝144°，
喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），
故答案为：100，144°，
补全条形统计图如图所示：
（2）由题意得：1200×＝480（人），
答：估计选择“唱歌”的学生约有480人；
（3）画树形图如下：
共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是＝．
21．（12分）青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．
（1）求每袋大米和面粉各多少元？
（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？
【解答】解：（1）设每袋大米x元，每袋面粉y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每袋大米60元，每袋面粉45元；
（2）设购买面粉a袋，则购买米（40﹣a）袋，
根据题意，得：60（40﹣a）+45a≤2140，
解得：a≥17，
∵a为整数，
∴a的最小值为18，
∴至少购买18袋面粉．
22．（12分）如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C、D、E在同一直线上，且CE⊥AE，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，
∴BM＝AB＝5（米）＝NE，
AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝5+26﹣28
＝5﹣2
≈6.7（米）＜7米，
∴符合要求．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点F，过点D作DE∥AB，交CA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DF＝10，CF＝6，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠BOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DAF＝∠BCF，∠AFD＝∠CFB，
∴△AFD∽△CFB，
∴＝，
∵DF＝10，CF＝6，
∴AF•BF＝DF•CF＝10×6＝60，
设OA＝OB＝OD＝r，则AF＝r﹣OF，BF＝r+OF，
∴（r﹣OF）（r+OF）＝60，
∴r2﹣OF2＝60，
∵OD2+OF2＝DF2＝102＝100，
∴r2+OF2＝100，
∴2r2＝160，
∴r2＝80，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣r2＝×π×80﹣×80＝20π﹣40，
∴图中阴影部分的面积是20π﹣40．
24．（12分）某商店销售一批精装风景纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本．现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量工的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），
即：y＝﹣10x+740，
∵每本进价40元，且获利不高于30%，
∴最高价为52元，即x≤52，
故：44≤x≤52．
（2）依题意有：（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：当每本纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．
（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740），
＝﹣10x2+1140x﹣29600
＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵a＝﹣10＜0，图象开口向下，当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640．
∴将纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
25．（12分）等腰Rt△BEF中，∠BEF＝90°，BE＝EF，先将△BEF绕正方形ABCD的顶点B旋转，再平移线段BE至AG位置，连接DF，GF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出DF、GF的数量关系．
（2）如图2，当点E不在BC上时，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）连接AE，若，BE＝2，在△BEF绕点B旋转的过程中，当A、G、F三点共线时，直接写出线段AE的长度．
【解答】解：（1）DF＝GF，
理由：如图1，连接BD、EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝DC，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，
∵平移线段BE得到线段AG，
∴AG＝BE，AG∥BE，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴点E在BC上，
∴AG∥BC，
∴点G在AD上，
∴四边形ABEG是矩形，
∵∠BEF＝∠BEG＝90°，
∴点F在EG上，
∵BE＝EF，
∴∠EFB＝∠EBF＝∠CBD＝45°，
∴点F在BD上，
∴∠GFD＝∠EFB＝∠GDF＝45°，
∴GD＝GF，∠DGF＝90°，
∴DF＝＝＝GF．
（2）当点E不在BC上时，（1）中的结论依然成立，
证明：如图2，连接BD、EG、DG、CF，
∵AG＝BE，AG∥BE，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴EG∥AB∥CD，EG＝AB＝CD，
∴四边形DCEG是平行四边形，
∴DG＝CE，
∴△ADG≌△BCE（SSS），
∴∠ADG＝∠BCE，
∵BD＝＝＝BC，BF＝＝＝BE，
∴＝＝，
∵∠DBF＝∠CBE＝45°﹣∠CBF，
∴△DBF∽△CBE，
∴∠BDF＝∠BCE＝∠ADG，
∴∠GDF＝∠GDB+∠BDF＝∠GDB+∠ADG＝∠ADB＝45°，
∵∠BEG＝∠BAG，
∴∠GEF＝90°﹣∠BEG＝90°﹣∠BAG＝∠DAG，
∵EF＝BE＝AG，EG＝AD＝AD，
∴△EGF≌△ADG（SAS），
∴GF＝DG，
∴∠GFD＝∠GDF＝45°，
∴∠DGF＝90°，
∴DF＝＝＝GF．
（3）当A、G、F三点共线，且点G、点F在点A同侧，如图3，连接BD、EG、DG、CF，
由（2）得△EGF≌△ADG≌△BCE，△DBF∽△CBE，
∴∠BEF＝∠BEC＝∠EFG＝∠AGD＝90°，∠BFD＝∠BEC＝90°，
∵BC＝AB＝2，FE＝BE＝AG＝2，
∴BD＝BC＝×2＝2，BF＝BE＝2，
∴DF＝GF＝＝＝4，
∴GF＝4，
∴AF＝AG+GF＝2+4＝6，
∴AE＝＝＝2；
当A、G、F三点共线，且点G、点F在点A异侧，如图4，连接BD、EG、DG、CF，
∵△EGF≌△ADG≌△BCE，△DBF∽△CBE，
∴∠BEF＝∠BEC＝∠EFG＝∠AGD＝90°，∠BFD＝∠BEC＝90°，
∵BC＝AB＝2，FE＝BE＝AG＝2，
∴BD＝BC＝×2＝2，BF＝BE＝2，
∴DF＝GF＝＝＝4，
∴GF＝4，
∴AF＝GF﹣AG＝4﹣2＝2，
∴AE＝＝＝2，
综上所述，线段AE的长度为2或2．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP．当时，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上的点，当∠BCM＝∠ACO时，直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣2+x+4；
（2）如图1，
∵，
∴，
作PD∥y轴，交BC于D，
∴，
∵OC＝4，
∴PD＝2，
∵B（4，0），C （0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
∴PD＝（﹣+m+4）﹣（﹣x+4）＝﹣+2m＝2，
∴m1＝m2＝2，
当m＝2时，y＝﹣＝4，
∴P（2，4）；
（3）如图2，
设CM交x轴与D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF∥y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，
∵∠ACO＝∠BCM，
∴∠ACO+∠DCO＝∠BCM+∠DCO＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠CGD＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG，
∵∠CDG＝90°，
∴∠CDE+∠GDF＝90°，
∵∠E＝∠F＝90°，
∴∠GDF+∠DGF＝90°，
∴∠CDE＝∠DGF，
∴△CDE≌△DGF（AAS），
∴FG＝DE＝4，DF＝CE，
设OD＝a，
∴DF＝CE＝OD＝a，
∴G（a﹣4，﹣a），
∵C（0，4），A（﹣2，0），
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∴2（a﹣4）+4＝﹣a，
∴a＝，
∴D（，0），
∴直线CM的解析式为y＝﹣3x+4，
由﹣3x+4＝﹣+x+4得，
x1＝0（舍去），x2＝8，
当x＝8时，y＝﹣3×8+4＝﹣20，
∴M1（8，﹣20），
如图3，
设射线CM交x轴于T，
∵OC＝OB＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
由上知：tan∠OCD＝，∠BCD＝∠ACO，∠BCD+∠OCD＝45°，
∵∠BCM+∠CTB＝∠OBC＝45°，∠CBM＝∠ACO，
∴∠CTB＝∠OCD，
∴tan∠CTB＝，
∴，
∴OT＝3OC＝12，
∴直线CT的解析式为y＝﹣x+4，
由﹣x+14＝﹣2+x+4得，
x1＝0（舍去），x2＝，
当x＝时，y＝﹣＝，
∴M2（，
综上所述：M（8，﹣20）或（．
2023年辽宁省本溪市中考数学质检试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）9的相反数是（ ）
A． B．9 C．﹣9 D．﹣
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a3 D．3a2+2a3＝5a5
4．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如表所示：
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的中位数是（ ）
A．1.5 B．1 C．1.25 D．3.5
6．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，现按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（3，4），则点A的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形ABCD的两边分别交于点M，N（点N在点M的上方），连接OM，ON，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤6），则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）世界卫生组织公布的数据表明，成人每日应该摄入的维生素D约为0.0000046克，那么数据“0.0000046”用科学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ ．
13．（3分）如果关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．若∠ABC＝70°，则∠BAD的度数为 °．
15．（3分）如图，小球在菱形ABCD上自由地滚动，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H在AC上，且AG＝GH＝CH，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ．
16．（3分）如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，C、D分别为OA、OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数 的图象经过点A．若△ABE的面积为3，则k的值为 ．
17．（3分）正方形ABCD的边长为4，点E为平面内一点，∠AED＝90°，当tan∠ABE＝时，则BE＝ ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现有长为3的小木棒EF紧贴AD、DC边滑动（即EF的两个端点始终落在AD、DC边上），G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为 ．
三.解答题（19题10分，20题-25题每题12分，26题14分，共96分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
20．（12分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（3）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．（12分）青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．
（1）求每袋大米和面粉各多少元？
（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？
22．（12分）如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C、D、E在同一直线上，且CE⊥AE，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点F，过点D作DE∥AB，交CA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DF＝10，CF＝6，求图中阴影部分的面积．
24．（12分）某商店销售一批精装风景纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本．现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量工的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
25．（12分）等腰Rt△BEF中，∠BEF＝90°，BE＝EF，先将△BEF绕正方形ABCD的顶点B旋转，再平移线段BE至AG位置，连接DF，GF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出DF、GF的数量关系．
（2）如图2，当点E不在BC上时，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）连接AE，若，BE＝2，在△BEF绕点B旋转的过程中，当A、G、F三点共线时，直接写出线段AE的长度．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP．当时，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上的点，当∠BCM＝∠ACO时，直接写出点M的坐标．
2023年辽宁省本溪市中考数学质检试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）9的相反数是（ ）
A． B．9 C．﹣9 D．﹣
【解答】解：根据相反数的定义，得9的相反数是﹣9．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a3 D．3a2+2a3＝5a5
【解答】解：A、2a2•3a＝6a3，故A符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故B不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；
D、3a2与2a3不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
4．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：
故选：B．
5．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如表所示：
课外阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的中位数是（ ）
A．1.5 B．1 C．1.25 D．3.5
【解答】解：把这些数从小到大排列为：0.5，0.5，1，1，1，1.5，1.5，1.5，1.5，2，
则这10名学生平均每天的课外阅读时间的中位数是＝1.25（小时）；
故选：C．
6．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【解答】解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴＝2×．
故选：B．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
9．（3分）已知▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，现按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．
③画射线OE，交AD于点F（3，4），则点A的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF＝∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠COF，
∴∠AOF＝∠AFO，
∴OA＝AF，
设AF交y轴于H，如图，
∵F（3，4），
∴HF＝3，OH＝4，
设A（t，4），
∴AH＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+3，
在Rt△OAH中，t2+42＝（﹣t+3）2，解得t＝﹣，
∴点A的横坐标为﹣．
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形ABCD的两边分别交于点M，N（点N在点M的上方），连接OM，ON，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤6），则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：四边形ABCD是菱形，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，则点C的横坐标为6，
S＝t×MN，
①当0≤t≤2时，MN＝AMtan60°＝t，
S＝t2，为开口向上的二次函数；
②当2＜t≤4时，MN为常数，
故S对应的函数表达式为一次函数；
③同理可得：当4＜t≤6时，MN＝（6﹣t），
S＝（﹣t2+6t），为开口向下的二次函数；
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）世界卫生组织公布的数据表明，成人每日应该摄入的维生素D约为0.0000046克，那么数据“0.0000046”用科学记数法表示为 4.6×10﹣6 ．
【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．
故答案为：4.6×10﹣6．
12．（3分）因式分解：mx2﹣2mx+m＝ m（x﹣1）2 ．
【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，
13．（3分）如果关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0且k≠0，
即9﹣4k≥0，
解得k≤，
∴k的取值范围为k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．若∠ABC＝70°，则∠BAD的度数为 140 °．
【解答】解：∵OA＝OB，∠ABC＝70°，
∴∠ABO＝∠BAO＝70°，
∴∠BOA＝40°，
∵OA∥CD，
∴∠C＝∠BOA＝40°，
∵四边形ABCD是O的内接四边形，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝140°；
故答案为：140．
15．（3分）如图，小球在菱形ABCD上自由地滚动，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H在AC上，且AG＝GH＝CH，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ．
【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴＝，＝，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴＝，＝，
∴＝，
∴EG∥BC
∴＝＝，
同理可得HF∥AD，＝，
∴小球最终停在阴影区域上的概率是×＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在△AOB中，AO＝AB，点B在x轴上，C、D分别为OA、OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数 的图象经过点A．若△ABE的面积为3，则k的值为 ﹣6 ．
【解答】解：如图：连接AD，
△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，
∴AD⊥OB，AB∥CD，
∴S△ABE＝S△AOD＝3，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
17．（3分）正方形ABCD的边长为4，点E为平面内一点，∠AED＝90°，当tan∠ABE＝时，则BE＝ 2﹣2或2+2 ．
【解答】解：∵∠AED＝90°，
∴点E在以AD为直径的圆上，
取AD的中点O，连接BO，
∴AO＝OD＝AD＝2，
∴tan∠ABO＝，
∵tan∠ABE＝，
∴∠ABO＝∠ABE，
∴点E在直线BO上，
∵BO＝＝＝2，
∴BE＝2+2或2﹣2，
故答案为：2﹣2或2+2．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现有长为3的小木棒EF紧贴AD、DC边滑动（即EF的两个端点始终落在AD、DC边上），G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为 2﹣ ．
【解答】解：∵EF＝3，点G为EF的中点，
∴DG＝，
∴G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，
此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝3，AD＝4，
∴AA′＝6，
∴A′D＝2，
∴A′G＝A′D﹣DG＝2﹣，
∴PA+PG的最小值为2﹣，
故答案为：2﹣．
三.解答题（19题10分，20题-25题每题12分，26题14分，共96分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
＝1﹣4﹣1
＝﹣4，
则原式＝．
20．（12分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 100 人；扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是 144° ，并补全条形统计图；
（2）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（3）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人），
∴扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是360°×＝144°，
喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），
故答案为：100，144°，
补全条形统计图如图所示：
（2）由题意得：1200×＝480（人），
答：估计选择“唱歌”的学生约有480人；
（3）画树形图如下：
共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是＝．
21．（12分）青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．
（1）求每袋大米和面粉各多少元？
（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？
【解答】解：（1）设每袋大米x元，每袋面粉y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每袋大米60元，每袋面粉45元；
（2）设购买面粉a袋，则购买米（40﹣a）袋，
根据题意，得：60（40﹣a）+45a≤2140，
解得：a≥17，
∵a为整数，
∴a的最小值为18，
∴至少购买18袋面粉．
22．（12分）如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C、D、E在同一直线上，且CE⊥AE，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，
∴BM＝AB＝5（米）＝NE，
AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝5+26﹣28
＝5﹣2
≈6.7（米）＜7米，
∴符合要求．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点F，过点D作DE∥AB，交CA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DF＝10，CF＝6，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠BOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DAF＝∠BCF，∠AFD＝∠CFB，
∴△AFD∽△CFB，
∴＝，
∵DF＝10，CF＝6，
∴AF•BF＝DF•CF＝10×6＝60，
设OA＝OB＝OD＝r，则AF＝r﹣OF，BF＝r+OF，
∴（r﹣OF）（r+OF）＝60，
∴r2﹣OF2＝60，
∵OD2+OF2＝DF2＝102＝100，
∴r2+OF2＝100，
∴2r2＝160，
∴r2＝80，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣r2＝×π×80﹣×80＝20π﹣40，
∴图中阴影部分的面积是20π﹣40．
24．（12分）某商店销售一批精装风景纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本．现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量工的取值范围；
（2）当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），
即：y＝﹣10x+740，
∵每本进价40元，且获利不高于30%，
∴最高价为52元，即x≤52，
故：44≤x≤52．
（2）依题意有：（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：当每本纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．
（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740），
＝﹣10x2+1140x﹣29600
＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵a＝﹣10＜0，图象开口向下，当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640．
∴将纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
25．（12分）等腰Rt△BEF中，∠BEF＝90°，BE＝EF，先将△BEF绕正方形ABCD的顶点B旋转，再平移线段BE至AG位置，连接DF，GF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出DF、GF的数量关系．
（2）如图2，当点E不在BC上时，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）连接AE，若，BE＝2，在△BEF绕点B旋转的过程中，当A、G、F三点共线时，直接写出线段AE的长度．
【解答】解：（1）DF＝GF，
理由：如图1，连接BD、EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝DC，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，
∵平移线段BE得到线段AG，
∴AG＝BE，AG∥BE，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴点E在BC上，
∴AG∥BC，
∴点G在AD上，
∴四边形ABEG是矩形，
∵∠BEF＝∠BEG＝90°，
∴点F在EG上，
∵BE＝EF，
∴∠EFB＝∠EBF＝∠CBD＝45°，
∴点F在BD上，
∴∠GFD＝∠EFB＝∠GDF＝45°，
∴GD＝GF，∠DGF＝90°，
∴DF＝＝＝GF．
（2）当点E不在BC上时，（1）中的结论依然成立，
证明：如图2，连接BD、EG、DG、CF，
∵AG＝BE，AG∥BE，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴EG∥AB∥CD，EG＝AB＝CD，
∴四边形DCEG是平行四边形，
∴DG＝CE，
∴△ADG≌△BCE（SSS），
∴∠ADG＝∠BCE，
∵BD＝＝＝BC，BF＝＝＝BE，
∴＝＝，
∵∠DBF＝∠CBE＝45°﹣∠CBF，
∴△DBF∽△CBE，
∴∠BDF＝∠BCE＝∠ADG，
∴∠GDF＝∠GDB+∠BDF＝∠GDB+∠ADG＝∠ADB＝45°，
∵∠BEG＝∠BAG，
∴∠GEF＝90°﹣∠BEG＝90°﹣∠BAG＝∠DAG，
∵EF＝BE＝AG，EG＝AD＝AD，
∴△EGF≌△ADG（SAS），
∴GF＝DG，
∴∠GFD＝∠GDF＝45°，
∴∠DGF＝90°，
∴DF＝＝＝GF．
（3）当A、G、F三点共线，且点G、点F在点A同侧，如图3，连接BD、EG、DG、CF，
由（2）得△EGF≌△ADG≌△BCE，△DBF∽△CBE，
∴∠BEF＝∠BEC＝∠EFG＝∠AGD＝90°，∠BFD＝∠BEC＝90°，
∵BC＝AB＝2，FE＝BE＝AG＝2，
∴BD＝BC＝×2＝2，BF＝BE＝2，
∴DF＝GF＝＝＝4，
∴GF＝4，
∴AF＝AG+GF＝2+4＝6，
∴AE＝＝＝2；
当A、G、F三点共线，且点G、点F在点A异侧，如图4，连接BD、EG、DG、CF，
∵△EGF≌△ADG≌△BCE，△DBF∽△CBE，
∴∠BEF＝∠BEC＝∠EFG＝∠AGD＝90°，∠BFD＝∠BEC＝90°，
∵BC＝AB＝2，FE＝BE＝AG＝2，
∴BD＝BC＝×2＝2，BF＝BE＝2，
∴DF＝GF＝＝＝4，
∴GF＝4，
∴AF＝GF﹣AG＝4﹣2＝2，
∴AE＝＝＝2，
综上所述，线段AE的长度为2或2．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP．当时，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上的点，当∠BCM＝∠ACO时，直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣2+x+4；
（2）如图1，
∵，
∴，
作PD∥y轴，交BC于D，
∴，
∵OC＝4，
∴PD＝2，
∵B（4，0），C （0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
∴PD＝（﹣+m+4）﹣（﹣x+4）＝﹣+2m＝2，
∴m1＝m2＝2，
当m＝2时，y＝﹣＝4，
∴P（2，4）；
（3）如图2，
设CM交x轴与D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF∥y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，
∵∠ACO＝∠BCM，
∴∠ACO+∠DCO＝∠BCM+∠DCO＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠CGD＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG，
∵∠CDG＝90°，
∴∠CDE+∠GDF＝90°，
∵∠E＝∠F＝90°，
∴∠GDF+∠DGF＝90°，
∴∠CDE＝∠DGF，
∴△CDE≌△DGF（AAS），
∴FG＝DE＝4，DF＝CE，
设OD＝a，
∴DF＝CE＝OD＝a，
∴G（a﹣4，﹣a），
∵C（0，4），A（﹣2，0），
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∴2（a﹣4）+4＝﹣a，
∴a＝，
∴D（，0），
∴直线CM的解析式为y＝﹣3x+4，
由﹣3x+4＝﹣+x+4得，
x1＝0（舍去），x2＝8，
当x＝8时，y＝﹣3×8+4＝﹣20，
∴M1（8，﹣20），
如图3，
设射线CM交x轴于T，
∵OC＝OB＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
由上知：tan∠OCD＝，∠BCD＝∠ACO，∠BCD+∠OCD＝45°，
∵∠BCM+∠CTB＝∠OBC＝45°，∠CBM＝∠ACO，
∴∠CTB＝∠OCD，
∴tan∠CTB＝，
∴，
∴OT＝3OC＝12，
∴直线CT的解析式为y＝﹣x+4，
由﹣x+14＝﹣2+x+4得，
x1＝0（舍去），x2＝，
当x＝时，y＝﹣＝，
∴M2（，
综上所述：M（8，﹣20）或（．
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