江苏省宿迁市沭阳县2022-2023学年+九年级下学期第一次联考试卷数学试卷(含答案）

这是一份江苏省宿迁市沭阳县2022-2023学年+九年级下学期第一次联考试卷数学试卷(含答案），共34页。试卷主要包含了单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学第一次联考试卷
一、单项选择题：每小题3分，共8小题，总计24分。
1．（3分）|2023|的值是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．5x2﹣3x2＝2 C．x2+x＝x3 D．﹣8y+3y＝﹣5y
3．（3分）“冠状病毒”是一个大型病毒家族，科学家借助电子显微镜研究发现，某冠状病毒的直径约为0.00000012米，0.00000012用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣6 B．1.2×10﹣7 C．1.2×10﹣8 D．1.2×10﹣9
4．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，∠P＝28°，点P在圆周上，则∠A等于（　　）

A．26° B．30° C．34° D．38°
5．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．直线经过二、三、四象限
C．直线过点（1，1）
D．与坐标轴围成的三角形面积为1
6．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（　　）

A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
7．（3分）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．乙比甲提前出发1h
B．甲行驶的速度为40km/h
C．3h时，甲、乙两人相距80km
D．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km
8．（3分）如图，△ABC中，BC＝6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题：每小题3分，共10小题，总计30分。
9．（3分）16的平方根是 　 　．
10．（3分）因式分解：x4﹣16＝　 　．
11．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2021﹣2a﹣4b的值为 　 　．
12．（3分）使得有意义的x的取值范围是 　 　．
13．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，则∠B＝　 　°．

14．（3分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点F，D，点F是弧BD的中点，连接AF，BD交于点E，若AB＝10，CD＝4，连接DF，则弦DF的长为 　 　．

15．（3分）按如图所示的运算程序，输入x的值为1时，则输出y值为 　 　．


16．（3分）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 　 　s．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点D在以点P（﹣6，﹣5）为圆心，半径为2的圆上运动，过点D作BD⊥x轴于点B，以BD为对角线作矩形ABCD，连接AC，则对角线AC的最小值为 　 　．

18．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数y＝的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D，若OC＝2AC，且△AOD的面积为，则k的值为 　 　．

三、解答题：（8+8+8+10+8+10+10+10+12+12.）共10小题，共计96分。
19．（8分）（1）计算：（+1）0﹣2﹣1﹣tan45°+|﹣|；
（2）解不等式组：．
20．（8分）先化简，再求值：（）；从﹣1，0，1，2中任选一个代入求值．
21．（8分）如图，已知AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O中的两条弦，且AB∥CD，连结AD，BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直径为10，求矩形ABCD的面积．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（n≠0）的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（a，﹣3）．
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）结合图象，当y1＞y2时直接写出自变量x的取值范围．

23．（8分）有四张正面分别标有数字﹣2，0，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
（1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为2的卡片概率为　 　；
（2）随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率．
24．（10分）为进一步实现云端教学的增效赋能，某校对“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”展开了调查．现从八年级随机抽取两个组，每组30名学生，分别记为甲组、乙组，对他们在网课期间平均每日作业完成时长（单位：分钟）进行了整理、描述和分析（作业完成时长用x表示，共分为四个等级：A：x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：x≥80），下面给出部分信息：
甲组学生的作业完成时长在C等级中的全部数据为：70，70，70，75，75，75，75，78，78，78，78，78乙组30名学生的作业完成时长中，B，D两等级的数据个数相同，A，C两等级的全部数据为：55，58，58，70，70，70，72，73，73，73，75，75，75，75，75，75，75，78
甲、乙两组学生平均每日作业完成时长统计表
组名
平均数
中位数
众数
时长低于80分钟所占百分比
甲组
74.1
a
78
70%
乙组
74.1
73
b
m%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　；b＝　 　；m＝　 　，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，你认为从甲、乙两组的平均每日作业完成时长来看，哪个组的学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八年级共有640名学生，请你估计八年级共有多少名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟？

25．（10分）某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数，发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1200元．
（1）如果要使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入＝租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
26．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AB上某一点O为圆心作⊙O使⊙O经过点A和点D，交AB于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝12，CF＝3，求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影区域的面积．

27．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，其中∠ABC＝60°，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG＝60°，交直线DC于点G．
（1）在线段BC上取一点T，使CE＝CT，求证：FT＝CG；
（2）图中AB＝7，AE＝1．
①点F在线段BC上，求△EFG周长的最大值和最小值；
②记点F关于直线AB的轴对称点为点N，若点N落在∠EDC的边上，求CF的值．

28．（12分）如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式的一般式．
（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．
（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．


2023年江苏省宿迁市沭阳县中考数学第一次联考试卷
（参考答案与详解）
一、单项选择题：每小题3分，共8小题，总计24分。
1．（3分）|2023|的值是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【解答】解：|2023|的值是2023．
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．5x2﹣3x2＝2 C．x2+x＝x3 D．﹣8y+3y＝﹣5y
【解答】解：A．2x+3y不是同类项，不能合并，选项A不符合题意；
B．5x2﹣3x2＝2x2，选项B不符合题意；
C．x2+x不是同类项，不能合并，选项C不符合题意；
D．﹣8y+3y＝﹣5y，选项D符合题意；
故选：D．
3．（3分）“冠状病毒”是一个大型病毒家族，科学家借助电子显微镜研究发现，某冠状病毒的直径约为0.00000012米，0.00000012用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣6 B．1.2×10﹣7 C．1.2×10﹣8 D．1.2×10﹣9
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：B．
4．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，∠P＝28°，点P在圆周上，则∠A等于（　　）

A．26° B．30° C．34° D．38°
【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D，
∴＝，∠P＝28°
∴∠AOC＝2∠P＝56°，
∴△AOD是直角三角形，
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝34°．
故选：C．
5．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．直线经过二、三、四象限
C．直线过点（1，1）
D．与坐标轴围成的三角形面积为1
【解答】解：把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，得，
4＝﹣k﹣k，
解得k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+2，
A、k＝﹣2＜0，y随x增大而减小，选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣2，
∴﹣k＝2，
∴直线y＝kx﹣k经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C、当x＝1时，y＝﹣2x+2＝0，，
∴一次函数y＝﹣2x+2的图象经过点（1，0），选项C不符合题意；
D、当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，与坐标轴围成的三角形面积为＝1，选项D符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（　　）

A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
【解答】解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，
即：R＝4r，
R与r之间的关系是R＝4r．
故选：D．
7．（3分）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．乙比甲提前出发1h
B．甲行驶的速度为40km/h
C．3h时，甲、乙两人相距80km
D．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km
【解答】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，
故A正确；
甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），
故B正确；
乙的速度是＝km/h，
3h甲车行走的路程为40×（3﹣1）＝80（km），
3h乙车行走的路程为×3＝40（km），
∴3h后甲、乙相距80﹣40＝40（km），
故C错误；
0.75h乙车走了0.75×＝10（km），
甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶10km，
1.125h乙走了1.125×＝15km，
此时甲行走的路程为（1.125﹣1）×40＝5（km），
乙车比甲车多走了15﹣5＝10（km），
故D正确．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，BC＝6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，

根据相似比可知：＝，
即EF＝2（3﹣x）
所以y＝×2（3﹣x）x＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+．
∴y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣）2+．
纵观各选项，只有（A）选项图象符合．
故选：A．
二、填空题：每小题3分，共10小题，总计30分。
9．（3分）16的平方根是 　±4　．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
10．（3分）因式分解：x4﹣16＝　（x2+4）（x+2）（x﹣2）．　．
【解答】解：x4﹣16
＝（x2+4）（x2﹣4）
＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
11．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2021﹣2a﹣4b的值为 　2023　．
【解答】解：将x＝1代入原方程得：1+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）＝2021﹣2×（﹣1）＝2023．
故答案为：2023．
12．（3分）使得有意义的x的取值范围是 　x＞2　．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故答案为：x＞2．
13．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠ADE＝155°，则∠B＝　65　°．

【解答】解：∵∠ADE＝155°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠EDC＝25°，
∵∠A＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝65°．
故答案为：65．
14．（3分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点F，D，点F是弧BD的中点，连接AF，BD交于点E，若AB＝10，CD＝4，连接DF，则弦DF的长为 　2　．

【解答】解：如图，连接DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴AF⊥BC，BD⊥AC，
∵点F是 的中点，
∴BF＝DF，∠BAF＝∠DAF，
∴AB＝AC，BF＝CF，
∴DF＝BC，
∵AB＝10，CD＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝AB﹣CD＝6，
又∵AB2﹣AD2＝BD2＝BC2﹣CD2，
∴102﹣62＝BC2﹣42，
解得BC＝4 或BC＝−4 （舍去），
∴DF＝×4 ＝2 ．
故答案为：2．

15．（3分）按如图所示的运算程序，输入x的值为1时，则输出y值为 　11　．


【解答】解：把x＝1代入得：y＝x2﹣5＝12﹣5＝1﹣5＝﹣4，
因为﹣4＜0，
所以把x＝﹣4代入得：y＝x2﹣5＝（﹣4）2﹣5＝16﹣5＝11，
因为11＞0，
所以输出y值为11．
故答案为：11．
16．（3分）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 　　s．
【解答】解：∵h＝3.5t﹣4.9t2＝﹣4.9（t﹣）2+，
∴当t＝时，h取得最大值，
故他起跳后到重心最高时所用的时间是s，
故答案为：．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点D在以点P（﹣6，﹣5）为圆心，半径为2的圆上运动，过点D作BD⊥x轴于点B，以BD为对角线作矩形ABCD，连接AC，则对角线AC的最小值为 　3　．

【解答】解：过P点作x轴的垂线与⊙P的交点即为D，垂足为B点，此时的矩形ABCD的对角线BD有最小值，

∵P（﹣6，﹣5），
∴PB＝5，
∵⊙P的半径为2，即PD＝2，
∴BD＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD＝3，
即对角线AC的最小值为3．
故答案为：3．
18．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数y＝的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D，若OC＝2AC，且△AOD的面积为，则k的值为 　﹣2　．

【解答】解：过点C作CH⊥x轴，交OD于M，
∵AB⊥x轴，
∴CH∥AB，
∴△OCM∽△AOD，
∵OC＝2AC，
∴，
∴，
又∵△AOD的面积为，
∴S△OCM＝，
∵△OCH与△OBD的公共部分为△OMH，
∴S△OCM＝S四边形BHMD，
∵CH∥AB，
∴△OMH∽△OBD，
∴，
∴，
∴S△OBD＝1，
∴根据k的几何意义和函数过第二象限可得，
k＝﹣2．
故答案为：﹣2．


三、解答题：（8+8+8+10+8+10+10+10+12+12.）共10小题，共计96分。
19．（8分）（1）计算：（+1）0﹣2﹣1﹣tan45°+|﹣|；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣×1+
＝1﹣﹣+
＝；
（2），
由①得x＞1；
由②得x≤﹣2；
所以不等式组无解．
20．（8分）先化简，再求值：（）；从﹣1，0，1，2中任选一个代入求值．
【解答】解：（）
＝
＝
＝
＝，
根据分式有意义的条件得x≠±1且x≠0，
∴x只能为2，
当x＝2时，原式＝＝1．
21．（8分）如图，已知AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O中的两条弦，且AB∥CD，连结AD，BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直径为10，求矩形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝90°，
∴四边形ABCDABCD是矩形；
（2）解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝10，
∴BC＝AC＝5，AB＝BC＝5，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC
＝5×5
＝25，
∴矩形ABCD的面积为25．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（n≠0）的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（a，﹣3）．
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）结合图象，当y1＞y2时直接写出自变量x的取值范围．

【解答】解：（1）∵y1＝的图象过点A（﹣2，4），
∴n＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式：y1＝﹣；
∵B（a，﹣3）在y1＝﹣的图象上，
∴﹣3a＝﹣8，
∴a＝，
∴B（，﹣3），
把A（﹣2，4），B（，﹣3）两点代入y2＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数的表达式：y2＝﹣x+1；
如图所示：
（2）由图象得：当x＞或﹣2＜x＜0时，y1＞y2．

23．（8分）有四张正面分别标有数字﹣2，0，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
（1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为2的卡片概率为　　；
（2）随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率．
【解答】解：（1）随机抽出一张卡片，则抽到数字绝对值为2的卡片概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有16个等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和是0的结果有3个，
∴两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率为．
24．（10分）为进一步实现云端教学的增效赋能，某校对“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”展开了调查．现从八年级随机抽取两个组，每组30名学生，分别记为甲组、乙组，对他们在网课期间平均每日作业完成时长（单位：分钟）进行了整理、描述和分析（作业完成时长用x表示，共分为四个等级：A：x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：x≥80），下面给出部分信息：
甲组学生的作业完成时长在C等级中的全部数据为：70，70，70，75，75，75，75，78，78，78，78，78乙组30名学生的作业完成时长中，B，D两等级的数据个数相同，A，C两等级的全部数据为：55，58，58，70，70，70，72，73，73，73，75，75，75，75，75，75，75，78
甲、乙两组学生平均每日作业完成时长统计表
组名
平均数
中位数
众数
时长低于80分钟所占百分比
甲组
74.1
a
78
70%
乙组
74.1
73
b
m%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝　75　；b＝　75　；m＝　90　，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，你认为从甲、乙两组的平均每日作业完成时长来看，哪个组的学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八年级共有640名学生，请你估计八年级共有多少名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟？

【解答】解：（1）将甲组30名学生的每日完成作业的时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝75，因此中位数a＝75，
根据题意可得出乙组中A等级的有3人，B等级的有6人，C等级的有18人，D等级的有6人，而C等级中75分钟的有7人，是出现次数最多的，因此众数b＝75，
（3+6+18）÷30×100%＝90%，即m＝90，
故答案为：75，75，90；
（2）乙组较高，理由：甲组与乙组的平均数相同，而乙组的中位数、众数都比甲组的大，
所以乙组的学生学习效率较好；
（3）640×＝480（名），
答：该校八年级640名学生中大约有480名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟．
25．（10分）某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数，发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1200元．
（1）如果要使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入＝租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x﹣1200＞0，
解得x＞24，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每天的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1＝50x﹣1200，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x＝100时，y1的最大值为50×100﹣1200＝3800；
当x＞100时，
y2＝（50﹣）x﹣1200
＝50x﹣x2+20x﹣1200
＝﹣x2+70x﹣1200
＝﹣（x﹣175）2+4925，
当x＝175时，y2的最大值为4925，
∵4925＞3800，
∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是4925元．
26．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AB上某一点O为圆心作⊙O使⊙O经过点A和点D，交AB于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝12，CF＝3，求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影区域的面积．

【解答】（1）证明：直线BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠ACB＝90°，
∵∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE＝90°，
∴AD⊥EF，
∵AD平分∠BAC，AE＝12，
∴AE＝AF＝12，
∵CF＝3，
∴AC＝9，
在Rt△ADF中，∠ACD＝90°，
∴∠FDC+∠ADC＝∠CAD+∠ADC，
∴∠FDC＝∠CAD，
∵∠DCF＝∠ACD＝90°，
∴△DCF∽△ACD，
∴＝，
∴CD2＝AC•CF，
∴，
∵tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝9，
∴AB＝18，
∴BE＝18﹣12＝6；
（3）解：∵OD⊥BC，∠B＝30°，OD＝AE＝6，
∴，
∴，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形EOD＝＝6π，
∴．
27．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，其中∠ABC＝60°，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG＝60°，交直线DC于点G．
（1）在线段BC上取一点T，使CE＝CT，求证：FT＝CG；
（2）图中AB＝7，AE＝1．
①点F在线段BC上，求△EFG周长的最大值和最小值；
②记点F关于直线AB的轴对称点为点N，若点N落在∠EDC的边上，求CF的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCG＝∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵CE＝CT，
∴△CET是等边三角形，
∴CE＝ET，∠ETC＝∠TEC＝60°，
∴∠FTE＝180°﹣∠ETC＝180°﹣60°＝120°，∠GCE＝∠GCT+∠TCE＝60°+60°＝120°，
∴∠FTE＝∠GCE，
∵∠FEG＝60°，∠TEC＝60°，
∴∠FET+∠TEG＝∠GEC+∠TEG，
∴∠FET＝∠GEC，
在△FET和△GEC中，
，
∴△EFT≌△EGC（ASA），
∴FT＝CG；
（2）解：①如下图，当点F与点B重合时，

同（1）可得，FE＝GF，
∵∠FEG＝60°，
∴△FEG是等边三角形，
同理可得，当点F在BC边上时，△FEG均是等边三角形，
当FE⊥BE时，EF最短，如下图，

∵AB＝AC＝7，AE＝1，
∴CE＝AC﹣AE＝7﹣1＝6，
又∵∠ACF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝×6＝3，
∴EF＝＝＝3，
∴等边三角形FEG的周长最小值为：3FE＝9，
当点F与点B重合时，如下图，

过点E作EH⊥BC于H，
则CH＝3，EH＝3，
∴BH＝BC﹣CH＝7﹣3＝4，
在Rt△BHE中，BE＝＝＝＞6，
∴此时△FEG的周长最大，最大值为：3BE＝3，
∴△FEG的周长最小值为9，最大值为3；
②当点N在CD上时，如下图，作CM⊥AB于M，点F关于AB的对称点N在DC上，

∴OF＝ON＝CM，CM＝BC•∠ABC＝BC＝，
∴OF＝，
在Rt△BOF中，∠OBF＝∠ABC＝60°，
∴BF＝＝＝7，
∴CF＝14；
当点N在DE上时，如下图，连接BN，

∵点N与点F关于AB对称，
∴∠ABN＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABN＝∠BAC，
∴BN∥AC，
∴，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CME，△APD∽△BPM，
∴，，
∴，
∴MC＝42，
∴MB＝MC﹣BC＝42﹣7＝35，
∴，
∴，
∴BN＝5，
∴BF＝BN＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
综上所述：CF＝2或14．





28．（12分）如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式的一般式．
（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．
（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．

【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，

∵y＝（x+1）（x﹣3），
∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
∵OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，BC＝3，
∵∠ACO＝∠PCB，
∴tan，
∴BE＝，
∵∠CBE＝90°，
∴∠MBE＝45°，
∴BM＝ME＝1，
∴E（4，﹣1），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CE的解析式为，
∴，
解得，
∴，
当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，

同理求出BF＝，FN＝BN＝1，
∴F（2，1），
求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，
∴，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴P（4，5）．
综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；
（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，
∴y﹣2＝k（x﹣1），
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，
∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，

求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，
∴k＝1，
∴直线l的解析式为y＝x+1，
∴，
解得：，，
∴E（﹣1，0），F（4，5），
∴＝10．