初中数学北师大版七年级上册4.2 比较线段的长短随堂练习题

这是一份初中数学北师大版七年级上册4.2 比较线段的长短随堂练习题，文件包含专题10线段中的四种动点问题与四种数学思想专项讲练解析版docx、专题10线段中的四种动点问题与四种数学思想专项讲练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
专题10 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练
线段有关的动点问题（数轴动点题）是北师大版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程；
2.线段等量代换模型：

若，则，即
3.定和型中点模型：

若，分别是，的中点，则
线段的动点问题解题步骤：
1.设入未知量t表示动点运动的距离；
2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3.根据题设条件建立方程求解；
4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：

（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7
【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且，
∴点表示的数为，点P表示的数为，故答案为：-6，；
（2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得，，解得，
∴点运动7秒时追上点；
（3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下：
①当点在点、两点之间运动时：

，
②当点运动到点的左侧时：

，∴线段的长度不发生变化，其值为7．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．
变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．

（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
【答案】（1）6；（2）6；（3）或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图

(1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12解得t=或t= 2
故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查线段的中点，线段的和差倍分，解题关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．

题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．

(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)7(2)3或5
【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．
（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．
(1)，，
，，
如图1，

为中点，
，
，
∴，
∴，
(2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，

或
∵，，
点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，

或
，，
∴，
∴，
．
∵，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．

（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，所以．
（3）分两种情况：如图，当点在线段上时，

因为，所以．
又因为，所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．

题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．

(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．
（1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ，
∵线段，N为BP的中点，
∴．故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，

∵，，
∴，解得：．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，

∵，，
∴，解得：．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，

∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ 　，n＝ 　；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，

∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，

依题意有：解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时

F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t