重庆市永川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

重庆市永川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列方程是一元二次方程的是（   ）

A． B． C． D．

2．下列事件是必然事件的是（    ）

A．抛一枚硬币，正面朝上 B．一个标准大气压下加热到100℃，水沸腾

C．明天会下雨 D．经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯

3．下面四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，内接于，若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（    ）

A． B． C． D．

6．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（  ）

A． B． C． D．

7．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ）

A．12个 B．16个 C．20个 D．30个

8．对抛物线y=－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是（    ）

A．与x轴有两个交点 B．开口向上

C．与y轴交点坐标是(0，3) D．顶点坐标是(1，-2)

9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2，则AC等于（    ）

A．4 B．6 C．  D．

10．由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【   】

A．1cm B．2cm C．πcm D．2πcm

12．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )

A． B． C． D．

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为________．

14．如图，菱形的对角线，相交于点，，，以为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为________．

15．现有5张正面分别标有数字，，0，1，2的同种卡片，将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则使关于的方程有实数根，且以为自变量的函数的顶点落在第一象限的概率是_________．

16．如图，已知点是正方形内的一点，连接，若，，，则的长为_______．

三、解答题

17．解方程：．

18．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，且点，．

(1)画出绕点О顺时针方向旋转后得到的并写出、的坐标；

(2)求点A在旋转过程中所走过的路径长．

19．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．

20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

(1)求的取值范围；

(2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值．

21．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．

（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？

（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．

（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．

22．如图，在中，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的长．

23．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是元时，销售量是件，而销售单价每降低1元，就可多售出件．

(1)写出销售量件与销售单价元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润元与销售单价元之间的函数关系式；

(2)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，，．点P从点О出发，沿x物以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点Р运动的时间是t秒．将线段的中点F绕点Р按顺时针方向旋转得到点D，点D随点P的运动面运动，连接、．

(1)点F和点D的坐标分别为：F__________，D___________（用含t的代数式表示）；

(2)求当t为何值时，的面积最大，最大面积为多少？

(3)在点P从点О向点A运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）、直线与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2．

(1)求A、B两点的坐标及直线的函数表达式；

(2)若点Р是线段上的一个动点，过点Р作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段长度的最大值；

(3)若点G是抛物线上的一个动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案：

1．C

【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断．

【详解】A．是一元一次方程，故本选项不符合题意；

B．是二元二次方程，故本选项不符合题意；

C．是一元二次方程，故本选项符合题意；

D．是分式方程，故本选项不符合题意；

故选 ：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．

2．B

【分析】必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件．

【详解】解：选项，抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；

选项，一个标准大气压下加热到100℃，水沸腾必然事件，符合题意；

选项，明天会下雨是随机事件，不符合题意；

选项，经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯是随机事件，不符合题意；

故选：．

【点睛】本题主要考查事件的分类，理解随机事件，必然事件的定义是解题的关键．

3．D

【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断后即可求解．

【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意；

D、是中心对称图形，故本选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．D

【分析】根据等腰的两个底角，三角形的内角和定理求得，然后由圆周角定理求得．

【详解】解：在中，

，

，

又，

；

；

（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），

．

故选：D．

【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的内角和定理，解答此类题目时，经常利用圆的半径都相等的性质，将圆心角置于等腰三角形中解答．

5．B

【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项．

【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为，

∴下一个呈现出来的图形是

故选：B．

【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是准确得到规律．

6．D

【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．

【详解】解：利用配方法如下：

．

故选D．

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．

7．A

【详解】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，

∴有30次摸到白球．

∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3．

∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3．

∴4×3=12（个）．

故选A．

8．D

【分析】根据判别式的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．

【详解】解：A、∵△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；

B、∵二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；

C、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴交点坐标为（0，-3），本选项错误；

D、∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），本选项正确．

故选D．

9．B

【分析】连接OB,则△AOB是直角三角形,利用三角函数即可求得OA的长,则AC即可求解

【详解】解：连接OB．

∵AB是⊙O的切线,B为切点,

∴OB⊥AB,

在直角△OAB中，OB＝AB•tanA＝2×＝2，

则OA＝2OB＝4，

∴AC＝4+2＝6．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了切线的性质以及利用三角函数特殊角度求长度

10．D

【分析】通过连续两次降价后，我省某地的房屋价格原价为8400元/米，售价变为6000元/米，可列方程．

【详解】解：设连续两次降价，

．

故选：D．

【点睛】本题考查增长率问题，知道经过两次变化，知道变化前和变化后的结果，从而可列方程．

11．A

【详解】圆锥的计算．

根据半圆的弧长＝圆锥的底面周长，则圆锥的底面周长＝2π，∴底面半径＝2π÷2π＝1cm．故选A．

12．B

【分析】由点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，得到，则，再根据正方形的性质得，，然后根据“”可判断，所以，这样，于是，然后配方得到，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．

【详解】解：根据题意，，

四边形为正方形，

，，

在和中

，

，

，

，

，

与的函数图象为抛物线一部分，顶点为，自变量为．

故选：B．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是掌握先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

13．

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行解答即可．

【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键．

14．

【分析】先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去的面积即可得．

【详解】四边形ABCD是菱形，，，

，

，

则阴影部分的面积为，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题关键．

15．##

【分析】首先根据使关于的方程有实数根，求出，再根据以为自变量的函数的顶点落在第一象限得到关于a的不等式，结合a的可能取值求出a为1或2，再根据概率公式计算即可．

【详解】解：∵使关于的方程有实数根，

∴，

解得：，

的顶点为，

∵以为自变量的函数的顶点落在第一象限，

∴，

∵a的取值为，，0，1，2，

∴满足条件的a值为1，2，

∴使关于的方程有实数根，且以为自变量的函数的顶点落在第一象限的概率是，

故答案为：

【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，也考查了二次函数的顶点，象限内坐标特征，以及一元二次方程根的判别式．

16．

【分析】根据题意，将绕点顺时针旋转得，可得是等腰直角三角形，再根据，可得，根据勾股定理即可求解．

【详解】解：如图所示，正方形，，

∴将绕点顺时针旋转，则与重合，得，

∴，，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

∵，，

∴，即，且，

∴在中，，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，掌握旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键．

17．，

【分析】利用因式分解法解方程即可．

【详解】解：，

∴，

∴或，

解得：，．

【点睛】本题考查的是解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．

18．(1)画图见解析，，

(2)

【分析】（1）补成网格结构，找出点、的位置，然后顺次连接，根据平面直角坐标系写出点、的坐标即可；

（2）利用勾股定理列式求出的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．

【详解】（1）解：如图所示；

其中，；

（2）

由勾股定理得，，

所以，点在旋转过程中所走过的路径长．

【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，在平面直角坐标系中准确确定出对应点的位置是解题的关键．

19．，1．

【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可．

【详解】解：原式

．

∵是方程的根，

∴．

∴．

∴ 原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；

（2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得．

【详解】（1）解：根据题意得，

解得：；

（2）是方程的一个实数根，

，即，

代入中，得：

，

解得：或，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．

21．（1）（2）（3）这种游戏方案设计对甲、乙双方公平

【详解】解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，

∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：．

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，

∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：．

（3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）共6种情况，

∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．∴P（甲胜）=P（乙胜）．

∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．

（1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案．

（2）首先画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可求得答案．

（3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．

22．(1)见解析

(2)6

【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可．

（2）过点D作于点E，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明，根据相似三角形的性质得出的长．

【详解】（1）证明：连接，

∵是的平分线，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

∴是的切线；

（2）解：过点D作于点E，

∵是的平分线，，

∴．

在中，，

由勾股定理得：，

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

【点睛】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到的长，及相似三角形的性质．

23．(1)， ；

(2)元．

【分析】（1）根据销售单价是元时，销售量是件，而销售单价每降低1元，就可多售出件即可列出销售量件与销售单价元之间的函数关系式，根据总利润是单件利润乘以销售量，即可得到答案；

（1）先根据销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务列出不等式组，求出的取值范围，再根据二次函数的性质求出商场销售该品牌童装获得的最大利润即可．

【详解】（1）解：由题意得：．        

∴销售量件与销售单价元之间的函数关系式为：．    

由题意得：

．

∴利润元与销售单价元之间的函数关系式为：

．

（2）由题意得：，解得．

对于，对称轴为．

又∵，

∴当时，随的增大而减小．

∴当时，有最大值，此时．

∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是元

【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的应用，还考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

24．(1)，

(2)当时，面积最大，最大面积为1

(3)2秒或3秒

【分析】（1）设出点坐标，再求出的中点坐标，根据相似的性质即可求出点坐标；

（2）根据点的坐标及三角形的面积公式直接求解即可；

（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；

【详解】（1）解：点从点出发， 沿轴以每秒 1 个单位长的速度向点匀速运动，

，而，

，

设的中点为，过点作，垂足为，

则点的坐标为，，

点绕点按顺时针方向旋转得点，

，

，

又，，

，

，

，

，

，，

点坐标为，

故答案为：，；

（2）点坐标为，，

，

当时，；

（3）

能构成直角三角形 ．

①当时，，

由勾股定理得，，，，

即，

解得，或（舍去）．

秒 ．

②当时， 此时点在上，

可知，，

，

，

，

即，秒 ．

综上，可知当为2秒或3秒时，能成为直角三角形．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质相似三角形的判定和性质，直角三角形，二次函数的最值，是动点问题在实际生活中的运用，结合了函数、直角三角形的相关性质，具有一定的综合性．

25．(1)，，

(2)

(3)存在，，，，，，

【分析】（1）因为抛物线与轴相交，所以可令，解出、的坐标．再根据点在抛物线上，点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出点的坐标．再根据两点式方程即可解出的函数表达式；

（2）根据点在上可设出点的坐标．点坐标可根据已知的抛物线求得．因为都在垂直于轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；

（3）分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出点的坐标．

【详解】（1）解：令，解得或，

，，

将点的横坐标代入得，

，

设直线的解析式为，

则，解得：，

直线的函数解析式是；

（2）设点的横坐标为，

则、的坐标分别为：，，

点在点的下方，，

当时，的最大值；

（3）存在这样的点，

①如图，

连接点与抛物线和轴的交点，那么轴，此时，

∴点的坐标是；

②如图，

则，

∵点的坐标为，

∴点的坐标为；

③如图，

此时，两点的纵坐标互为相反数，

∴点的纵坐标为，代入抛物线中即可得：点的坐标为，，

设直线的解析式为，

将点代入后可得出直线的解析式为，

令，则，

因此直线与轴的交点的坐标为，；

④如图，

同③可求出的坐标为，．

综上：存在这样的点F，坐标为，，，，，．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．