2022-2023学年天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

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1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解
详解】由题意得，则，
故选：C
2. 已知，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解.
【详解】若时，则,因此，
若时，比如，但不满足，
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.
【详解】因为，定义域为R
所以
所以为奇函数，且，排除CD
当时，，即，排除A
故选：B.
4. 已知函数是偶函数，则的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解
【详解】函数的定义域为，
因为函数是偶函数，
所以，
所以，
，所以，
得，
故选：A
5. 已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
【答案】A
【解析】
分析】由偶函数可得，由可得对称性，再化简整理可得周期，进而根据性质转换到，再代入解析式求解即可.
【详解】由题，因为偶函数，所以，又，所以,即，所以是周期函数，，故
故选：A
6. 已知函数，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】，，，所以.
故选：B．
7. 已知且，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得，即得.
【详解】令，
则，，又，
∴，即，
∴.
故选：C.
8. 设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】先由定义证为奇函数，结合均值不等式可证，得在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为对恒成立．
令，用导数法求最小值，即有.
【详解】因为，所以，所以为R上的奇函数．
因为，所以在R上单调递增．
不等式可转化为，
所以，即对恒成立．
令，则，
令，则．
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．
所以，即，
所以，且当时，取最小值0，
故，即实数a的最大值为0．
故选：D.
【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；
2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.
一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.
当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
9. 已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由在上的最大值为，讨论可求出，从而，若有4个零点，则函数与有4个交点，画出图象，结合图象求解即可
【详解】若，则函数在上单调递增，
所以的最小值为，不合题意，则，
要使函数在上的最大值为．
如果，即，则，解得，不合题意；
若，即，则解得即，
则．
如图所示，若有4个零点，则函数与有4个交点，
只有函数的图象开口向上，即．
当与）有一个交点时，方程有一个根，
得，此时函数有二个不同的零点，
要使函数有四个不同的零点，与有两个交点，则抛物线的图象开口要比的图象开口大，可得，
所以，即实数a的取值范围为．
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出的值，然后将问题转化为函数与有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题
二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10. 复数_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算直接求解.
【详解】解：.
故答案为:.
11. 已知函数的导函数，满足，则等于_______________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，令，可解得，进而可得.
【详解】由，得，
令，得，解得，
所以，
故答案为：.
12. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.
【答案】##20立方米
【解析】
【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.
【详解】设用水量为立方米，水价为元，
则，
整理得到：，
当时，；时，；
故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，
令，则（立方米），
故答案为：.
13. 函数是定义在上的奇函数，满足，当，时，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分析可得，则函数是周期为4的周期函数，由此可得，结合函数的解析式计算可得答案．
【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，满足，
则，
则有，则函数是周期为4的周期函数，
则，
又由当，时，，则，则，
故答案为：．
14. 已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分别在条件，下化简不等式，再求其解，由此可得不等式的解集.
【详解】当时，即时，，所以不等式可化为，所以且，所以满足条件的不存在，
即当时，不等式无解，
当时，即时，，此时不等式可化为，得或，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
15. 已知正数满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】把平方得到，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.
【详解】解：由，得，
则
，
当且仅当，即，，即时取“等号”，
所以当时，
的最小值为．
故答案为：
三､解答题（本大题共5小题，共75分）
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求的值；
（2）若，的面积为，求边a，b的值.
【答案】（1）
（2），或，
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由同角三角函数的基本关系求出，即可求出、，最后利用两角和的余弦公式计算可得；
（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
即，
因为，，所以，
由为三角形内角得；
由，则，
所以，
，
；
【小问2详解】
解：因为的面积，所以①，
由余弦定理得，则②，
由①②解得，或，
17. 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）正弦值为1
【解析】
【分析】(1)由四棱柱的性质证明，根据线面平行判定定理证明平面；
(2)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量利用空间向量求解线面角；
(3)求平面的法向量，利用向量夹角公式求二面角的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.
【小问1详解】
在四棱柱中，，，故四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面，，平面，
所以，，
因为，，所以，，所以，，因为，所以，又，
所以为等腰直角三角形，所以，因为，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为
∴，即，令，则，，∴
设直线与平面所成角为，
∴.
所以直线与平面所成角的正弦值是.
【小问3详解】
平面的法向量为，
因为平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以为平面的法向量，所以平面的法向量为
∴，∴
所以，二面角的正弦值为1.
18. 已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）关于的方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m的值，进而求出函数的解析式即可；
(2)利用分离参数法将原不等式转化为在上恒成立，结合函数的单调性求出即可；
(3)令，将原方程转化为直线与函数的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.
【小问1详解】
依题意得，解得，
经检验，符合题意.
当时，，则，
因为是定义在R上的奇函数，所以，
即当时，；
【小问2详解】
当时，恒成立，即恒成立．
设，易知在上是减函数，，
所以，即实数a的取值范围为；
【小问3详解】
方程在上有两个不相等的实根，
即函数在上有两个零点，
令，
则关于t的方程在上有两个不相等的实根，
由于，
则直线与的图象有两个交点．如图，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，，，所以，
解得，即实数n的取值范围为．
19. 设函数，，其中，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，；
（3）若不等式在时恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；
（2）构造函数，求导分析单调性与最值，证明当时，即可；
（3）结合（1）（2）讨论的正负判断，同时结合与1的大小关系，构造函数，求导放缩判断单调性，进而证明即可.
【小问1详解】
定义域为，．
当时，，在内单调递减；
当时，由，得．当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，当时，内单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
令，则．
当时，，单调递增，，
所以，从而．
【小问3详解】
由（2）得，当时，．
当时，时，，不符合题意．
当时，，由（1）得，
当时，，不符合题意．
当时，令，．

在区间上单调递增．
又因为，所以当时，，即恒成立．
综上，．
【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.
20. 已知，设函数是的导函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上存在两个不同的零点，
①求实数a范围；
②证明：．
注，其中是自然对数的底数．
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】(1)把代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程；
(2)①可设，因为，所以与零点相同，可根据的单调性与极值情况来确定的范围；
②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出与的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.
【小问1详解】
当时，，所以．根据点斜式可得曲线在处的切线方程为．
【小问2详解】
①当时，等价于．
设，则．
当时，单调递减；当时，单调递增；
所以，当时，，
因为在区间上存在两个不同的零点，
所以，解得．
当时，取，则，
故，又，
所以在区间和上各有一个零点．
综上所述：．
②设，
则，它是上的增函数．
又，所以，于是在上递增．
所以，即，当时取等号．
因为，所以，解得．(1)
因为，所以，
结合知．
处理1：设函数，则，
所以当时，递减，当时，递增，
所以，所以．
处理2：因为，所以，即，当时取等号，
所以．
由①可知，在上单调递增，且，所以，即．
因为在上是减函数，且，
且．
综上可知：．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/