2022-2023学年四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试（月考）理科数学试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试（月考）理科数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
秘密★启用前【考试时间：2022年11月1日15：00—17：00】绵阳市高中2020级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A  B.  C.  D. 2. 若，则一定有（    ）A.  B.  C.  D. 3. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 4. 设，则的值是（    ）A 1 B. 2 C. 4 D. 95. 在中，点为边上一点，，若，则（    ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 6. 已知是等差数列的前项和，若，则（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 67. 某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年开采量为本年年初储量的（，且为常数）倍，那么第（）年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（    ）年．（参考数据：）A 4 B. 5 C. 6 D. 88. 若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 9. 函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 10. 已知，则（    ）A. 2 B.  C.  D. 11. 已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ）A. 0 B.  C. 0或 D. 或12. 若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）①的一个周期为2                ②③的一条对称轴为            ④A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，且，则______．14. 已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．15. 某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．16. 已知函数c若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）求在上的解．18. 已知数列满足：，，（）．（1）证明：数列等比数列；（2）求数列的通项公式．19. 在锐角中，角，，所对的边为，，，且．（1）证明：；（2）求的取值范围．20. 已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值．21. 已知函数，当时，．（1）求的取值范围；（2）求证：（）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． [选修4—4：坐标系与参考方程]22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）判断直线和圆的位置关系，并说明理由；（2）设是圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的值． [选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数．（1）求的最小值；（2）若，，均为正数，且，证明：                        秘密★启用前【考试时间：2022年11月1日15：00—17：00】绵阳市高中2020级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式，再求交集即可.【详解】由，可得，由，可得，所以.故选：B2. 若，则一定有（    ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数、指数函数、反比例函数和幂函数单调性依次判断各个选项即可.【详解】对于A，在上单调递增，当时，，A错误；对于B，在上单调递增，，即，B错误；对于C，在上单调递减，，C错误；对于D，在上单调递增，，D正确.故选：D.3. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.【详解】，函数的最大值是，根据命题是真命题可知，，即.故选：A4. 设，则的值是（    ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 9【答案】B【解析】【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.【详解】由，则，，.故选：B.5. 在中，点边上一点，，若，则（    ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.【详解】由得，所以，所以，即，故选：C.6. 已知是等差数列的前项和，若，则（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，则.故选：B.7. 某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的（，且为常数）倍，那么第（）年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（    ）年．（参考数据：）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意得关系式，进而根据指数与对数式的互化即可求解.【详解】设第年开采完后剩余储量为，则 ，当时， ，所以，，故，进而 ，设第年时，，故，故, 故选：B8. 若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.【详解】当，，由于（）在区间上恰有唯一极值点，故满足，解得，故选：C9. 函数图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先利用导函数研究上的单调性，得到在上单调递减，在上单调递增，且，进而研究上的单调性，得到在上单调递减，在上单调递增，且，从而选出正确答案.【详解】当时，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，，当时，，故，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，显然，综上：只有D选项满足要求.故选：D10. 已知，则（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：因为，所以，所以，即，即，即.故选：A11. 已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ）A. 0 B.  C. 0或 D. 或【答案】D【解析】【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为，通过等量关系可得到的取值.【详解】,,，设切点分别为，则曲线的切线方程为：，化简得，，曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.当e，切线方程为，故.当，切线方程为，故，则.故的取值为或.故选：D12. 若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）①的一个周期为2                ②③的一条对称轴为            ④A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意，根据函数的对称性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判④的正误.【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，对于①，，，则函数的周期，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，，故③正确；对于④，，则，，则，由，则，故④正确.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，且，则______．【答案】2【解析】【分析】根据向量加法的坐标公式，结合垂直向量的坐标表示，可得答案.【详解】由题意，，因为，所以，则，解得.故答案为：.14. 已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式，结合，可求得公比，进而得到，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，，，又，，，.故答案为：.15. 某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．【答案】10.5【解析】【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，根据三角函数的定义有，地面与坐标系交线方程为 ，则第10分钟时他距离地面的高度大约为米.故答案为：16. 已知函数c若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是______．【答案】(-2，1)【解析】【分析】根据函数图象与的交点即可求解.【详解】在直角坐标系中画出的图象，当时，至多有2个实数根，如图（1），当时，至多有2个实数根，如图（2），当时，恰好有3个实数根，如图（3），故的取值范围为，故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）求在上的解．【答案】（1）()    （2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变化化简三角函数，根据正弦函数的单调性，结合整体思想，可得答案；（2）利用整体思想，结合正弦函数求值，可得答案.小问1详解】．令()，解得()，∴函数的单调递减区间为()．【小问2详解】由，得，∵，∴．∴，解得．18. 已知数列满足：，，（）．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．【小问2详解】由（1）知，， 当时， 当n=1时，满足上式．所以，．19. 在锐角中，角，，所对的边为，，，且．（1）证明：；（2）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得，所以，即可证明.（2）因为△ABC为锐角三角形，可求出的范围，即可求出的范围，由正弦定理化简，令，，由函数的单调性即可求出的取值范围．【小问1详解】∵，由正弦定理，得，即，∴， ∴或（舍），即，∴，∴．【小问2详解】由锐角△ABC，可得，，．即， ∴．∵． 令，，因为在上单调递增，所以当，当，∴．20. 已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析    （2）【解析】【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解，（2）根据第一问可知的单调性，进而可判断在上恰有两个零点 ，满足，根据零点存在性定理即可列不等式求解.【小问1详解】由题意得．   当时，由，函数在上单调递增．当时，令,令或故函数在上单调递减，在和上单调递增．  当时，令，令或函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增．【小问2详解】当或时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减． 要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：且 解得．∴． 又，∴当时，；当时，．又 ，∴21. 已知函数，当时，．（1）求的取值范围；（2）求证：（）．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数法对、分类讨论是否满足即可；（2）由（1）结论，当时，恒成立，即可得，即可列项得，构造，由导数法证，则有，即，最后结合对数运算性质即可证【小问1详解】由题意得．令，则．∴函数在区间上单调递增，则函数的最小值为．①当，即时，可得，∴函数在上单调递增．又，∴恒成立．②当，即时，函数的最小值为<0，且存在，当时，．又，∴当时，，这与时，相矛盾．   综上，实数a的取值范围是．【小问2详解】由（1） 得当时，不等式恒成立，∴．令，得．  ∴．  令，则，时，，为上的增函数；时，，为上的减函数；∴，则．∴，   ∴=<=．∴．【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． [选修4—4：坐标系与参考方程]22. 在直角坐标系中，圆参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）判断直线和圆的位置关系，并说明理由；（2）设是圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的值．【答案】（1）直线和圆C相离；理由见解析    （2）【解析】【分析】（1）把直线方程和圆的方程都化为普通方程，利用圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系.（2）用参数方程表示点坐标，利用点到直线距离求值，再计算向量坐标和向量数量积.【小问1详解】圆的参数方程为（为参数），消参得圆C的普通方程为，圆心坐标为，半径为3．直线的参数方程为（为参数），消参得直线的普通方程为．∵圆心C到直线的距离，∴直线和圆C相离．【小问2详解】设，由点到直线的距离：，∴，则． ∴，则，  ∴，   ，∴． [选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数．（1）求的最小值；（2）若，，均为正数，且，证明：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求解；（2）由题意得，再由基本不等式及不等式的性质可证明.【小问1详解】≥= ≥．(当且仅当时，取等号) ∴函数f(x)的最小值为．【小问2详解】因为，，均为正数，所以，∴．由≥9，得． ∵，∴． ∴，∴．