2023年广东省茂名市祥和中学数学一模试卷（含答案）

2023年广东省茂名市祥和中学数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的绝对值是（      ）

A． B． C．2021 D．

2．某市五月份共接待游客约人次，将用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

3．下列图形中，不是中心对称图形是（    ）

A． B． C． D．

4．下列各式计算正确的是（    ）

A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．a8÷a4＝a2（a≠0）

C．2a3•3a2＝6a5 D．（﹣a2）3＝a6

5．如图，a∥b，则∠A的度数是（　　）

A．22° B．32° C．68° D．78°

6．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数是（  ）

A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2

7．如图，，若，，则与的相似比是(　　)

A． B． C． D．

8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，则使的x的取值范围是（ ）

A． B．或 C． D．或

9．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点，点的坐标为，是第三象限内上一点，，则的半径长为（  ）

A．5 B．4 C．3 D．

10．二次函数的图象如右图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(　　)

A． B． C． D．

二、填空题

11．代数式中的取值范围是__________．

12．一个多边形内角和等于，则这个多边形的边数为_______．

13．分解因式：=______．

14．不等式组 的解集是_______．

15．如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是__．

16．如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝_____．

17．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，则第(5)个图形中包含____________个小正方形．

三、解答题

18．计算：．

19．先化简，再求值：，其中．

20．某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：

（1）写出被抽取的学生人数　   　，并补全条形统计图．

（2）被抽取的学生的年龄的众数是　   　岁，中位数是　   　岁．

（3）若共有600名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在15岁及以上的学生人数．

21．如图，某电视塔高为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角，在楼顶D处测得塔顶B的仰角．

（1）求大楼与电视塔之间的距离；

（2）求大楼的高度．（答案精确到1米，）

22．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买、两种防疫物品．如果购买种物品件，种物品件，共需元；如果购买种物品件，种物品件，共需元．

(1)求、两种防疫物品每件各多少元；

(2)现要购买、两种防疫物品共件，总费用不超过元，那么种防疫物品最多购买多少件？

23．如图，已知的边是的切线，切点为点．经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点．

（1）求证：平分；

（2）若，，求的半径．

24．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，都在直线上，四边形ABCD为平行四边形，点在轴上，，反比例函数的图象经过点．

(1)求出和的值；

(2)将线段向右平移个单位长度()，得到对应线段，和反比例函数的图象交于点．

①在平移过程中，如图2，求当点为线段中点时点的坐标；

②在平移过程中，如图3，连接，．若是直角三角形，请直接写出所有满足条件的值．

25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值．

(3)如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．

参考答案：

1．C

【分析】利用绝对值的性质计算后判断即可．

【详解】解：，

故答案为：C．

【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．

2．C

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．

【详解】解：．

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．

3．D

【分析】一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】解：．是中心对称图形，故本选项不合题意；

．是中心对称图形，故本选项不合题意；

．是中心对称图形，故本选项不合题意；

．本是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．C

【分析】A、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；

B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；

C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．

【详解】A、原式＝a2＋b2﹣2ab，错误；

B、原式＝a4，错误；

C、原式＝6a5，正确；

D、原式＝﹣a6，错误．

故选：C

【点睛】本题考查了幂的运算性质、整式的乘法，熟练掌握幂的运算性质及整式的乘法法则、完全平方公式是正确判断的前提．

5．A

【详解】试题解析：如图

∵a∥b，∴∠1=50°，∴∠A=50°-28°=22°．故选A．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

6．B

【分析】根据题意知，，代入数据，即可求解．

【详解】由题意知：一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，

∴

解得

∴．

∴k的最大整数是0．

故选B．

【点睛】本题主要考查了利用一元二次方程根的情况求参数范围，正确掌握利用一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解题的关键．

7．B

【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．

【详解】解：∵，

∴

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．

8．B

【分析】当y1＞y2时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方；由图知：符合条件的函数图象有两段：①第一象限，x＞2时，y1＞y2；②第三象限，-1＜x＜0时，y1＞y2．

【详解】解：从图象上可以得出：

在第一象限中，当x＞2时，y1＞y2成立；

在第三象限中，当-1＜x＜0时，y1＞y2成立．

所以使y1＞y2的x的取值范围是x＞2或-1＜x＜0．

故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．

9．B

【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果．

【详解】解：连接，如图所示

因为为的直径

因为

所以

因为

所以是等边三角形

所以的半径

故选B

【点睛】此题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．

10．B

【分析】由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象

【详解】解：∵的图象开口向下，

∴，

对称轴在轴的左侧，

∴，

∴，

∴反比例函数在第二、四象限，正比例函数在第二、四象限，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数、正比例函数的图象与性质，判断出的符号是解题的关键．

11．；

【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，列出不等式即可求出取值范围.

【详解】∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0

∴

解得

故答案为：.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于0是解题的关键.

12．6

【详解】解：设这个多边形的边数为，

则，

解得．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．

13．x（x+2）（x﹣2）

【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．

【详解】解：

=

=x（x+2）（x﹣2）．

故答案为：x（x+2）（x﹣2）．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．

14．﹣1＜x＜5

【详解】试题解析：，

解①得x＞-1，

解②得x＜5．

则不等式组的解集是-1＜x＜5．

15．

【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．

【详解】如图所示：连接OA，

∵正六边形内接于⊙O，

∴△OAB，△OBC都是等边三角形，

∴∠AOB=∠OBC=60°，

∴OC∥AB，

∴S△ABC=S△OBC，

∴S阴=S扇形OBC，

则飞镖落在阴影部分的概率是；

故答案为．

【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．

16．

【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA=EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论．

【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°，

根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴EA=CE=BC-BE=2-BE，

在Rt△ABE中，根据勾股定理，得，

∴，

解得BE=，

故答案为．

【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

17．41

【分析】由图形可得：第个图形中正方形的个数为：，第个图形中正方形的个数为：，第个图形中正方形的个数为：，，据此规律可求解．

【详解】解：第个图形中正方形的个数为：，

第个图形中正方形的个数为：，

第个图形中正方形的个数为：，

第个图形中正方形的个数为：，

，

第个图形中正方形的个数为：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．

18．

【分析】根据特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，掌握以上知识是解题的关键．

19．，

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．

【详解】解：

，

当时，

原式＝．

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（1）50，图见解析；（2）15岁，14岁；（3）240人

【分析】（1）根据12岁的人数和所占的百分比，可以计算出本次被抽查的学生人数，然后即可计算出户14岁和16岁的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（2）根据条形统计图中的数据，可以得到被抽取的学生的年龄的众数和中位数；

（3）根据统计图中的数据，可以计算出活动中年龄在15岁及以上的学生人数．

【详解】解：（1）被抽取的学生人数：6÷12%＝50（人），

故答案为：50，

14岁的学生有：50×28%＝14（人），

16岁的学生有50﹣6﹣10﹣14﹣18＝2（人），

补全的条形统计图如图所示；

（2）由条形统计图可知，

被抽取的学生的年龄15岁最多，故众数是15岁，从小到大排列后，第25、26个数据都是14岁，所以中位数是14岁，

故答案为：15，14；

（3）600×＝240（人），

即估计活动中年龄在15岁及以上的学生有240人．

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21．（1）610米；（2）116米．

【分析】（1）判断出为等腰直角三角形，即可求出的长；

（2）根据矩形的对边相等可知：米．在中，运用直角三角形的边角关系即可求出的长，．

【详解】解：（1），，

，

（米；

答：大楼与电视塔之间的距离为610米；

（2）根据题意可知,四边形为矩形，

则，米，

在中，

，

，

（米,

答：大楼的高为116米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟悉等腰三角形的性质和三角函数的定义是解题的关键．

22．(1)种防疫物品每件元，种防疫物品每件元

(2)种防疫物品最多购买件

【分析】（1）设种防疫物品每件元，种防疫物品每件元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；

（2）设购买种防疫物品件，则购买种防疫物品件，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．

【详解】（1）解：设种防疫物品每件元，种防疫物品每件y元，

依题意，得，

解得：．

答：种防疫物品每件元，种防疫物品每件元；

（2）设购买种防疫物品件，则购买种防疫物品件，

依题意，得：，

解得：，

的最大值为．

答：种防疫物品最多购买件．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键．

23．（1）见解析；（2）

【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到结果；

（2）过点作于点，设，根据已知条件可得，，，在中利用勾股定理列方程可得结果．

【详解】

（1）证明：如图1，连接OB

∵AB是⊙O的切线，

∴OB⊥AB，

∵CE丄AB，

∴OB∥CE，

∴∠1＝∠3，

∵OB＝OC，

∴∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3，

∴CB平分∠ACE；

（2）过点作于点，设．

平分，，，

，∠E=∠BFC=90°

∵CB=CB

，

∴，

，

在中，，即，

解得：，即圆的半径为．

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．(1)，

(2)①；②或

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)①根据平移的性质，以及中点坐标公式，得出，即可求解；

②当为直角时，在中，，进而求解；当为直角时，证明根据，进而求解．

【详解】（1）解：点在直线上，

，

，

直线的解析式为，

令，可得，

点坐标为，，

即，

四边形为为平行四边形，，

，

，

将点代入反比例函数的解析式中，得．

（2）①∵为的中点，

为中点，的纵坐标为0，

∴，

又在反比例函数上，

，

解得，

②当为直角时，即，

设点的坐标为，，则点，，

在中，，

即，

解得，

故点的坐标为，，

则；

当为直角时，过点作轴交于点，

，，

，

，，

，

同理可得：，

，

故设，则，

故点的坐标为，，

将点的坐标代入反比例函数表达式得：，

解得舍去或，

故点的坐标为，，

则，，

，  

，

即，即

由点的坐标知，点，，而点，，则，

即．  

解得，

综上，或．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，正切的定义，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．

25．(1)抛物线的解析式为：

(2)，C的最小值为

(3)最大值为

【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论；

（2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则，则，作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论；

（3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论．

【详解】（1）解：∵  

∴

∵   

∴，

将、的坐标代入

得：  

∴

∴抛物线的解析式为：；

（2）解：由，

令，即，

解得：，

∴，

∴，

∴

作点关于轴的对称点，过点作于点， 与轴的交点即为所求点，连接，

，

，

，

，

，

，

，

综上所述，当时，的最小值为；

（3）如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于，

设直线解析式为：，

由(1)得：，

将， 分别代入得：，

解得：，

直线的表达式为：，

，故的横坐标，代入，得：，

，

，

设，则，

，

轴于点，轴，

，

，

，

将、分别看作、为底边，则它们的高相同，

，

，

时，有最大值，最大值为

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法，解直角三角形，相似三角形的性质与判定问题，解本题的关键是设出点的横坐标，并正确表达面积的比值．