初中数学北师大版七年级上册2.1 有理数当堂检测题

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第2讲 有理数的概念


知识点1 正数、负数和0
像8848.3、100、357、78这样的数是正数；像-154、-38.87、-117.3、-0.102%这样的数是负数.
0既不是正数，也不是负数.
用正负数可以表示具有相反意义的量.
【典例】
1.下列各数3，﹣5，0，-34，+113，﹣0.03，6.75中，正数有（　　）
【解析】解：正数有：3，+113，6.75，共3个．
【方法总结】
本题主要考查正、负数的概念．根据正、负数的概念可知其中正数有3，+113，6.75．掌握正、负数的定义是解题的关键． 注意：0既不是正数，也不是负数.

2.如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45-0.04+0.03．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm，﹣0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的是（　　）

A. 45.02 B. 45.01 C.44.98 D. 44.93所有
【解析】解：由题意得，合格品的直径最小为45﹣0.04=44.96（mm），最大为45+0.03=45.03（mm），
而44.93＜44.96，
故可得D产品不合格．
故选D.
【方法总结】
正负数可以表示具有相反意义的量.根据题意可得出合格的轴的直径范围，从而可判断出所给选项中的直径是否为合格品的直径．本题考查正数和负数的知识，注意先求出合格品的直径的范围是关键．
【随堂练习】
1．（2018秋•龙华区期末）读懂“中美贸易战”先要了解贸易顺差与逆差，出口额大于进口额成为顺差，反之则差.2018年1﹣9月，中国队美国贸易顺差为3013.7亿美元，记作+3013.7亿美元，那么中国队韩国贸易逆差为447.5亿美元，应记作（　　）
A．+447.5亿美元 B．﹣447.5亿美元
C．447.5亿美元 D．2566.2亿美元
【解答】解：中国队美国贸易顺差为3013.7亿美元，记作+3013.7亿美元，那么中国队韩国贸易逆差为447.5亿美元，应记作﹣447.5亿美元．
故选：B．
2．（2019•沙坪坝区校级一模）两千多年前，中国人就开始使用负数，且在世界上也是首创《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100，那么支出40元应记作（　　）
A．﹣60 B．﹣40 C．+40 D．+60
【解答】解：根据题意，收入100元记作+100，
则支出40元应记作﹣40．
故选：B．
3．（2019春•南岗区期末）如果向东走2m记为+2m，则向西走3m可记为　　m．
【解答】解：若向东走2m记作+2m，则向西走3m记作﹣3m，
故答案为：﹣3．
4．（2018秋•秦安县期末）高新一中新图书馆在“校园书香四溢”活动中迎来了借书高潮，上周借书记录如下表：（超过100册的部分记为正，少于100册的部分记为负）
（1）上星期借书最多的一天比借书最少的一天多借出图书多少册？
（2）上星期平均每天借出多少册书？
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
+18
﹣6
+15
0
﹣12
【解答】解：（1）18﹣（﹣12）＝30（册）．
答：上星期借书最多的一天比借书最少的一天多借出图书30册；
（2）18+（﹣6）+15+0+（﹣12）＝15（册），
15÷5＝3（册），
100+3＝103（册）．
答：上星期平均每天借出103册书．


知识点2 有理数的分类
有理数的分类：
（1）

（2）
非负数是指正数和零的总称，即正数和零.
非正数是指负数和零的总称，即负数和零.
非正整数指不是正整数的其它整数，它包括负整数和0.
非负整数指不是负整数的其它整数，它包括正整数和0.
【典例】
1.把下列各数填在相应的横线上：
+5，﹣12，﹣20，0，3.14，﹣1，﹣9.8，100
分数：________________________________________；
非负整数：____________________________________.
【解析】解：根据分数、非负整数的定义依次对每个数归类，得分数有﹣12，3.14，﹣9.8，
非负整数有+5，0，100.
【方法总结】
考查了有理数，要求熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别.0是整数，但不是正数．
【随堂练习】
1．（2019•沙坪坝区校级模拟）下列四个数中，是正整数的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．
【解答】解：A、﹣2是负整数，故选项错误；
B、﹣1是负整数，故选项错误；
C、1是正整数，故选项正确；
D、是非正整数，故选项错误．
故选：C．
2．（2019•渝中区校级模拟）下列各数中是负整数的是（　　）
A．﹣2 B．5 C． D．﹣
【解答】解：A、﹣2为负整数，故选项正确；
B、5为正整数，故选项错误；
C、为正分数，故选项错误；
D、﹣为负分数，故选项错误．
故选：A．
3．（2019•沙坪坝区校级三模）下列各数中，是负整数的是（　　）
A．﹣6 B．3 C．0 D．
【解答】解：A、﹣6为负整数，故选项正确；
B、3为正整数，故选项错误；
C、0不是正数，也不是负数，故选项错误；
D、为正分数，故选项错误．
故选：A．
4．（2019•张家港市模拟）下列四个数中，是正整数的是（　　）
A．﹣2 B．π C． D．10
【解答】解：∵大于零的整数即为正整数．
故选：D．
5．（2019•武汉模拟）下列各数中，属于正有理数的是（　　）
A．π B．0 C．﹣1 D．2
【解答】解：由题意得：
π是无理数，故选项A错误；
0是有理数，但不是正数，故选项B错误；
﹣1是负有理数，故选项C错误；
2是正有理数，故选项D正确；
故选：D．
6．（2019•黄浦区二模）下列自然数中，素数是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．9
【解答】解：素数是2，
故选：B．

知识点3 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上任意一点都表示一个有理数或无理数.
数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
【典例】
1.如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（　　）

A. 在点A，B之间 B. 在点B，C之间
C. 在点C，D之间 D. 在点D，E之间
【解析】解：∵11+5=16，AB=BC=CD=DE=EF，
∴AB=BC=CD=DE=EF=165=3.2，
∴A点向右移动1个格，到B点，B点表示的数为负数.
∴A点向右移动2个格，到C点，C点表示的数为正数.
∴这条数轴的原点在B与C之间．
故选B.
【方法总结】
此题主要考查了数轴的特征和应用，利用数形结合的思想，根据图示，求得AF间的距离，然后由已知条件AB=BC=CD=DE=EF确定每一个小格的长度，再由正数都大于0，负数都小于0来确定条数轴的原点的大致位置．
【随堂练习】
1．（2019春•长安区期末）如图，已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列不等式中不正确的是（　　）

A．c＜b＜a B．ac＞ab C．cb＞ab D．c+b＜a+b
【解答】解：由题意，可知a＞0＞b＞c．
A、∵a＞0＞b＞c，∴c＜b＜a，故此选项错误；
B、∵b＞c，a＞0，∴ac＜ab，故此选项正确；
C、∵c＜a，b＜0，∴cb＞ab，故此选项错误；
D、∵c＜a，∴c+b＜a+b，故此选项错误；
故选：B．
2．（2019•鹿城区校级二模）在数轴上表示﹣1的点与表示2的点之间的距离是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【解答】解：表示﹣1的点与表示2的点间距离为：2﹣（﹣1）＝3．
故选：D．
3．（2019•梧州二模）在如图的数轴上，A，B两点表示的数分别是a，b，则a与b的大小关系是（　　）

A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
【解答】解：如图，根据数轴上右边的数总是比左边的数大的规律可知答案为a＜b．
故选：C．
4．（2019•新乐市二模）如图，纸上画有一个数轴，对折纸面，使数轴上表示﹣3的点与表示4的点重合，那么同时重合的还有（　　）

A．表示﹣1的点与表示3的点
B．表示﹣2的点与表示2的点
C．表示﹣的点与表示的点
D．表示﹣的点与表示的点
【解答】解：（﹣3+4）÷2＝0.5，
∵0.5﹣（﹣1）＝1.5≠3﹣0.5＝2.5，
0.5﹣（﹣2）＝2.5≠2﹣0.5＝1.5，
0.5﹣（﹣）＝2≠﹣0.5＝，
0.5﹣（﹣）＝﹣0.5＝3．
故同时重合的还有表示﹣的点与表示的点．
故选：D．
5．（2019春•肥城市期末）如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是　　．

【解答】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边．
∴A点对应的数是1﹣2π．
故答案为：1﹣2π．
6．（2019春•香坊区期末）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段AB是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第一次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是　　．（π取3.14）

【解答】解：∵把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，
∴滚动的距离＝π，
∴点C表示的数是﹣π＝﹣3.14；
故答案为：﹣3.14．
　
知识点4 相反数
如果两个数只有符号不同，那么其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
0的相反数是0.
互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.
【典例】
1.对于﹣a表示的数理解不正确的是（　　）
A. 一定是负数 B. 可以表示a的相反数
C. 有可能是正数 D. 有可能是0
【解析】解：A、当a=0时，﹣a=0，0既不是正数，也不是负数，故本选项正确；
B、﹣a可以表示a的相反数，故本选项错误；
C、当a＜0时，﹣a＞0，即﹣a有可能是正数，故本选项错误；
D、当a=0时，﹣a=0，即﹣a表示0，故本选项错误；
故选A.
【方法总结】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2.如图，数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，则a，﹣a，b，﹣b，1比较大小正确的是（　　）

A. a＜﹣a＜b＜﹣b＜1 B. a＜﹣b＜b＜1＜﹣a
C. a＜b＜﹣a＜﹣b＜1 D. a＜﹣b＜1＜b＜﹣a
【解析】解：由数轴可知，a＜﹣1，b＞1，
在数轴上依次标出a，﹣a，b，﹣b，1的位置，如图，

可知a＜﹣b＜1＜b＜﹣a，
故选D.
【方法总结】
本题考查的是互为相反数的两数的几何意义和利用数轴比较有理数的大小.正确运用数形结合思想，在数轴上确定a，b及他们的相反数的位置，根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，从而得到答案．
【随堂练习】
1．（2019•锦州）﹣2019的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2019 D．﹣2019
【解答】解：﹣2019的相反数是2019．
故选：C．
2．（2019•鄂尔多斯）有理数﹣的相反数为（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【解答】解：有理数﹣的相反数为：．
故选：C．
　
3．（2018•东营模拟）在左右一条直线共种有100棵树，从左数第35棵树，从最右边数这棵树是第a棵树，则a的相反数是（　　）
A．﹣65 B．﹣66 C．﹣64 D．66
【解答】解：由题意，得
a=100﹣34=66，
a的相反数是﹣66，
故选：B．
　
4．（2018•黑山县一模）一个数a的相反数是2018，则的值是（　　）
A．2018 B．﹣2018 C．﹣1009 D．1009
【解答】解：∵一个数a的相反数是2018，
∴a=﹣2018，
∴=﹣1009．
故选：C．
　
知识点5 绝对值
绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

【典例】
1.化简：
（1）﹣|+2.5|；
（2）|+5|；
（3）|﹣（﹣3）|；
（4）﹣[﹣（+5）]．
【解析】解：（1）﹣|+2.5|=﹣2.5；
（2）|+5|=5；
（3）|﹣（﹣3）|=3；
（4）﹣[﹣（+5）]=5．
【方法总结】
（1）先求绝对值，再求相反数；（2）直接求绝对值；（3）先求相反数，再求绝对值；（4）连续求两次相反数.
本题考查了绝对值和相反数的求法.求一个数的相反数是求一个数的绝对值的基础.
【随堂练习】
1．（2019•永州）﹣2的绝对值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：﹣2的绝对值为：2．
故选：D．
2．（2019春•浦东新区期末）下列说法正确的是（　　）
A．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数
B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
C．绝对值越大，这个数越大
D．两个负数，绝对值大的那个数反而小
【解答】解：A．一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数或0，故选项A不合题意；
B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数或0，故选项B不合题意；
C．负数绝对值越大，这个数越小，故选项C不合题意；
D．两个负数，绝对值大的那个数反而小．正确．
故选：D．
3．（2019•汉阳区模拟）有理数﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．
【解答】解：﹣5的绝对值是|﹣5|＝5．
故选：A．
4．（2019•潮阳区一模）|﹣2019|＝（　　）
A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣
【解答】解：|﹣2019|＝2019，
故选：B．
5．（2019•武侯区校级自主招生）满足|ab|+|a﹣b|﹣1＝0的整数对（a，b）共有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：∵|ab|+|a﹣b|＝1，
∴0≤|ab|≤1，0≤|a﹣b|≤1，
∵a，b是整数，
∴|ab|＝0，|a﹣b|＝1或|a﹣b|＝0，|ab|＝1
①当|ab|＝0，|a﹣b|＝1时，
Ⅰ、当a＝0时，b＝±1，
∴整数对（a，b）为（0，1）或（0，﹣1），
Ⅱ、当b＝0时，a＝±1，
∴整数对（a，b）为（1，0）或（﹣1，0），
②当|a﹣b|＝0，|ab|＝1时，
∴a＝﹣b，∴a2＝b2＝1，
∴a＝1，b＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，
∴整数对（a，b）为（1，﹣1）或（﹣1，1），
即：满足|ab|+|a﹣b|＝1的所有整数对（a，b）为（0，1）或（0，﹣1）或（1，0）或（﹣1，0）或（1，﹣1）或（﹣1，1）．
∴满足|ab|+|a﹣b|﹣1＝0的整数对（a，b）共有6个．
故选：C．
二．填空题（共1小题）
6．（2019春•北京期末）如果|x﹣2|＝x﹣2，那么x的取值范围是　　．
【解答】解：∵|x﹣2|＝x﹣2，
∴x﹣2≥0，即x≥2．
故答案为：x≥2．

综合运用
1.-32的相反数是__________,绝对值是____________.
【解析】解：-32的相反数是32，绝对值是|-32|=32.
故答案为：32 ， 32.
2.每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是______ kg．

【解析】解：50﹣0.7=49.3(kg)，
故答案为：49.3kg．
3.纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：

当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是_____________________________________.
【解析】解：悉尼的时间是：6月15日23时+2小时=6月16日1时，
纽约时间是：6月15日23时﹣13小时=6月15日10时．
故答案为6月16日1时；6月15日10时.
4.下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期________水位最低.

【解析】解：由于用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数，由图表可知，周一水位比上周末上升0.12米，从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
故选C.
5._____的绝对值是它本身，绝对值最小的数是___，最小的正整数是___，最大的负整数是____，最小的自然数是___．
【解析】解：非负数的绝对值是它本身，绝对值最小的数是0，最小的正整数是1，最大的负整数是：﹣1，最小的自然数是：0．
故答案为：非负数，0，1，﹣1，0．
6.把下列各数分别填人对应的集合里．
﹣5，|﹣34|，0，﹣3.14，227，﹣12，+1.99，﹣（﹣6）
（1）正整数数集合：{_______…}
（2）负分数集合：{_______…}
（3）非正整数集合：{__________…}
（4）分数集合：{________________…}．
【解析】解：（1）正整数集合：{﹣（﹣6）…}
（2）负分数集合：{﹣3.14…}
（3）非正整数集合：{﹣5，0，﹣12…}
（4）分数集合：{|﹣34|，﹣3.14，227，+1.99…}．
7.化简：
（1）﹣|+2.5|；
（2）﹣（﹣3.4）；
（3）+|﹣4|；
（4）|﹣（﹣3）|．
【解析】解：（1）﹣|+2.5|=﹣2.5；
（2）﹣（﹣3.4）=3.4；
（3）+（﹣4）=﹣4；
（4）|﹣（﹣3）|=3．
8.（1）画一条数轴，在数轴上表示下列数：﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5．
（2）求出（1）中各数的相反数；
（3）求出（1）中各数的绝对值．
【解析】解：（1）依题意得：数轴可表示为：

如图所示数轴上的A、B、O、C、D、E分别表示﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5．
（2）依题意可得：﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5的相反数为2，﹣1.5，0，﹣7，3.5，﹣5．
（3）|﹣2|=2，|1.5|=1.5，|0|=0，|7|=7，|﹣3.5|=3.5，|5|=5．
9.邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B 村，然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；

（2）C村离A村有多远？
（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？
【解析】解：（1）依题意得，数轴为：

（2）依题意得：点C与点A的距离为：2+4=6（km）.
（3）依题意得，邮递员骑了：2+3+9+4=18（km）.
∴耗油量为：18×0.03=0.54（升）
答：这趟路共耗油0.54升．