北师大版七年级上册2.1 有理数复习练习题

这是一份北师大版七年级上册2.1 有理数复习练习题，文件包含北师大版初一数学上册秋季班讲义第2讲有理数的概念--尖子班教师版docx、北师大版初一数学上册秋季班讲义第2讲有理数的概念--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
2讲 有理数的概念


知识点1 正数、负数和0
像8848.3、100、357、78这样的数是正数；像-154、-38.87、-117.3、-0.102%这样的数是负数.
0既不是正数，也不是负数.
用正负数可以表示具有相反意义的量.
【典例】
1.下列各数3，﹣5，0，-34，+113，﹣0.03，6.75中，正数有（　　）
【解析】解：正数有：3，+113，6.75，共3个．
【方法总结】
本题主要考查正、负数的概念．根据正、负数的概念可知其中正数有3，+113，6.75．掌握正、负数的定义是解题的关键． 注意：0既不是正数，也不是负数.

2.如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45-0.04+0.03．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm，﹣0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的是（　　）

A. 45.02 B. 45.01 C.44.98 D. 44.93所有
【解析】解：由题意得，合格品的直径最小为45﹣0.04=44.96（mm），最大为45+0.03=45.03（mm），
而44.93＜44.96，
故可得D产品不合格．
故选D.
【方法总结】
正负数可以表示具有相反意义的量.根据题意可得出合格的轴的直径范围，从而可判断出所给选项中的直径是否为合格品的直径．本题考查正数和负数的知识，注意先求出合格品的直径的范围是关键．
【随堂练习】
1．（2019春•道里区校级月考）已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
进、出记录
+35
﹣20
﹣30
+25
﹣24
+50
﹣26
（1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？
（2）若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨2000元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2300元，则这一周的利润为多少？
（3）若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到200吨？
【解答】解：（1）星期一100+35＝135吨；
星期二135﹣20＝115吨；
星期三115﹣30＝85吨；
星期四85+25＝110吨；
星期五110﹣24＝86吨；
星期六86+50＝136吨；
星期日136﹣26＝110吨．
故星期六最多，是136吨；

（2）2300×（20+30+24+26）﹣2000×（35+25+50）
＝2300×100﹣2000×110
＝230000﹣220000
＝10000元；

（3）（200﹣100）÷（35+25+50﹣20﹣30﹣24﹣26）﹣1
＝100÷10﹣1
＝10﹣1
＝9周．
故再过9周粮库存粮食达到200吨．
2．（2018秋•梁平区期末）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒．
﹣0.87
+1
﹣1.2
0
﹣0.7
+0.6
﹣0.4
﹣0.1
问：（1）这个小组男生的达标率为多少？
（2）这个小组男生的平均成绩是多少秒？
【解答】解：（1）根据题意可知达标人数为6人，
达标率＝＝75%．
答：（1）这个小组男生的达标率为75%；
（2）15+
＝15+
＝14.79125（秒）．
答：这个小组男生的平均成绩是14.79125秒．

知识点2 有理数的分类
有理数的分类：
（1）

（2）
非负数是指正数和零的总称，即正数和零.
非正数是指负数和零的总称，即负数和零.
非正整数指不是正整数的其它整数，它包括负整数和0.
非负整数指不是负整数的其它整数，它包括正整数和0.
【典例】
1.把下列各数填在相应的横线上：
+5，﹣12，﹣20，0，3.14，﹣1，﹣9.8，100
分数：________________________________________；
非负整数：____________________________________.
【解析】解：根据分数、非负整数的定义依次对每个数归类，得分数有﹣12，3.14，﹣9.8，
非负整数有+5，0，100.
【方法总结】
考查了有理数，要求熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别.0是整数，但不是正数．
【随堂练习】
1．（2017•六盘水）定义：A={b，c，a}，B={c}，A∪B={a，b，c}，若M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，则M∪N={_______}．
【解答】解：∵M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，
∴M∪N={1，0，﹣1}，
故答案为：1，0，﹣1．
　
2．（2017秋•椒江区期末）观察下列两个等式：3+2=3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：
我们称使等式a+b=ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是______；
（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）_____“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．
（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”_____
（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）
【解答】解：（1）﹣2+1=﹣1，﹣2×1﹣1=﹣3，
∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”，
∵5+=，5×﹣1=，
∴5+=5×﹣1，
∴（5，）中是“椒江有理数对”；

（2）由题意得：
a+3=3a﹣1，
解得a=2．

（3）不是．
理由：﹣n+（﹣m）=﹣n﹣m，
﹣n•（﹣m）﹣1=mn﹣1
∵（m，n）是“椒江有理数对”
∴m+n=mn﹣1
∴﹣n﹣m=﹣（mn﹣1）=﹣（﹣n）×（﹣m）+1=﹣[（﹣n）×（﹣m）﹣1]，
∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”，

（4）（5，1.5）等．
故答案为：（5，）；不是；（5，1.5）．

知识点3 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上任意一点都表示一个有理数或无理数.
数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
【典例】
1.如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（　　）

A. 在点A，B之间 B. 在点B，C之间
C. 在点C，D之间 D. 在点D，E之间
【解析】解：∵11+5=16，AB=BC=CD=DE=EF，
∴AB=BC=CD=DE=EF=165=3.2，
∴A点向右移动1个格，到B点，B点表示的数为负数.
∴A点向右移动2个格，到C点，C点表示的数为正数.
∴这条数轴的原点在B与C之间．
故选B.
【方法总结】
此题主要考查了数轴的特征和应用，利用数形结合的思想，根据图示，求得AF间的距离，然后由已知条件AB=BC=CD=DE=EF确定每一个小格的长度，再由正数都大于0，负数都小于0来确定条数轴的原点的大致位置．
【随堂练习】
1．（2018•陆丰市校级一模）如图所示，把半径为2个长度单位的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是______．

【解答】解：该圆的周长为2π×2=4π，
所以A′与A的距离为4π，
由于圆形是逆时针滚动，
所以A′在A的左侧，
所以A′表示的数为﹣4π，
故答案为﹣4π，
　
2．（2018•广阳区一模）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于____，数字2018对应的点将与△ABC的顶点　_____重合．

【解答】解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，
∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；
∴﹣3x=9，
x=﹣3．
故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，
点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，
即等边三角形ABC边长为1，
数字2018对应的点与﹣4的距离为：2018+4=2022，
∵2022÷3=674，C从出发到2018点滚动674周，
∴数字2018对应的点将与△ABC的顶点C重合．
故答案为：﹣3，C．
　
3．（2018•高邑县一模）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）
（1）数轴上点B对应的数是___．
（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？

【解答】（1）∵OB=3OA=30，
∴B对应的数是30．
故答案为：30．
（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，
此时点M对应的数为3x﹣10，点N对应的数为2x．
①点M、点N在点O两侧，则
10﹣3x=2x，
解得x=2；
②点M、点N重合，则，
3x﹣10=2x，
解得x=10．
所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
4．（2018秋•新吴区期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．

【解答】解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．
则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，
解得x＝．
故相遇点M所对应的数是．
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．

知识点4 相反数
如果两个数只有符号不同，那么其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
0的相反数是0.
互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.
【典例】
1.对于﹣a表示的数理解不正确的是（　　）
A. 一定是负数 B. 可以表示a的相反数
C. 有可能是正数 D. 有可能是0
【解析】解：A、当a=0时，﹣a=0，0既不是正数，也不是负数，故本选项正确；
B、﹣a可以表示a的相反数，故本选项错误；
C、当a＜0时，﹣a＞0，即﹣a有可能是正数，故本选项错误；
D、当a=0时，﹣a=0，即﹣a表示0，故本选项错误；
故选A.
【方法总结】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2.如图，数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，则a，﹣a，b，﹣b，1比较大小正确的是（　　）

A. a＜﹣a＜b＜﹣b＜1 B. a＜﹣b＜b＜1＜﹣a
C. a＜b＜﹣a＜﹣b＜1 D. a＜﹣b＜1＜b＜﹣a
【解析】解：由数轴可知，a＜﹣1，b＞1，
在数轴上依次标出a，﹣a，b，﹣b，1的位置，如图，

可知a＜﹣b＜1＜b＜﹣a，
故选D.
【方法总结】
本题考查的是互为相反数的两数的几何意义和利用数轴比较有理数的大小.正确运用数形结合思想，在数轴上确定a，b及他们的相反数的位置，根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，从而得到答案．
【随堂练习】
1．（2018•双清区模拟）若a，b互为相反数，则下面四个等式中一定成立的是（　　）
A．a+b=0 B．a+b=1 C．|a|+|b|=0 D．|a|+b=0
【解答】解：∵a与b互为相反数，
∴a+b=0．
故选：A．
2．（2018•永定县一模）当a，b互为相反数，则代数式a2+ab﹣2的值为_____．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab﹣2=a（a+b）﹣2=0﹣2=﹣2，
故答案为：﹣2．
　
3．（2017秋•袁州区校级月考）①已知x的相反数是﹣2，且2x+3a=5，求a的值．
②已知﹣[﹣（﹣a）]=8，求a的相反数．
【解答】解：①∵x的相反数是﹣2，且2x+3a=5，
∴x=2，
故4+3a=5，
解得：a=；

②∵﹣[﹣（﹣a）]=8，
∴a=﹣8，
∴a的相反数是8．
4．（2019•娄底）2019的相反数是（　　）
A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣
【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．
故选：A．
5．（2019春•兴化市期末）﹣（﹣6）等于（　　）
A．﹣6 B．6 C． D．±6
【解答】解：﹣（﹣6）＝6．
故选：B．

知识点5 绝对值
绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

【典例】
1.化简：
（1）﹣|+2.5|；
（2）|+5|；
（3）|﹣（﹣3）|；
（4）﹣[﹣（+5）]．
【解析】解：（1）﹣|+2.5|=﹣2.5；
（2）|+5|=5；
（3）|﹣（﹣3）|=3；
（4）﹣[﹣（+5）]=5．
【方法总结】
（1）先求绝对值，再求相反数；（2）直接求绝对值；（3）先求相反数，再求绝对值；（4）连续求两次相反数.
本题考查了绝对值和相反数的求法.求一个数的相反数是求一个数的绝对值的基础.
【随堂练习】
3．（2018秋•东丽区期末）已知a，b，c都是有理数，且满足＝1，那么6﹣＝　7　．
【解答】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或﹣1．
又＝1，则其中必有两个1和一个﹣1，即a，b，c中两正一负．
则＝﹣1，
则6﹣＝6﹣（﹣1）＝7．
故答案为：7．
4．（2018秋•皇姑区期末）如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b﹣a|为绝对误差，为相对误差．现有一零件实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是　0.04　．
【解答】解：若实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，
则本次测量的相对误差为＝0.04，
故答案为：0.04．
　
综合运用
1.-32的相反数是__________,绝对值是____________.
【解析】解：-32的相反数是32，绝对值是|-32|=32.
故答案为：32 ， 32.
2.每袋大米以50kg为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是______ kg．

【解析】解：50﹣0.7=49.3(kg)，
故答案为：49.3kg．
3.纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：

当北京6月15日23时，悉尼、纽约的时间分别是_____________________________________.
【解析】解：悉尼的时间是：6月15日23时+2小时=6月16日1时，
纽约时间是：6月15日23时﹣13小时=6月15日10时．
故答案为6月16日1时；6月15日10时.
4.下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期________水位最低.

【解析】解：由于用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数，由图表可知，周一水位比上周末上升0.12米，从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
故选C.
5._____的绝对值是它本身，绝对值最小的数是___，最小的正整数是___，最大的负整数是____，最小的自然数是___．
【解析】解：非负数的绝对值是它本身，绝对值最小的数是0，最小的正整数是1，最大的负整数是：﹣1，最小的自然数是：0．
故答案为：非负数，0，1，﹣1，0．
6.把下列各数分别填人对应的集合里．
﹣5，|﹣34|，0，﹣3.14，227，﹣12，+1.99，﹣（﹣6）
（1）正整数数集合：{_______…}
（2）负分数集合：{_______…}
（3）非正整数集合：{__________…}
（4）分数集合：{________________…}．
【解析】解：（1）正整数集合：{﹣（﹣6）…}
（2）负分数集合：{﹣3.14…}
（3）非正整数集合：{﹣5，0，﹣12…}
（4）分数集合：{|﹣34|，﹣3.14，227，+1.99…}．
7.化简：
（1）﹣|+2.5|；
（2）﹣（﹣3.4）；
（3）+|﹣4|；
（4）|﹣（﹣3）|．
【解析】解：（1）﹣|+2.5|=﹣2.5；
（2）﹣（﹣3.4）=3.4；
（3）+（﹣4）=﹣4；
（4）|﹣（﹣3）|=3．
8.（1）画一条数轴，在数轴上表示下列数：﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5．
（2）求出（1）中各数的相反数；
（3）求出（1）中各数的绝对值．
【解析】解：（1）依题意得：数轴可表示为：

如图所示数轴上的A、B、O、C、D、E分别表示﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5．
（2）依题意可得：﹣2，1.5，0，7，﹣3.5，5的相反数为2，﹣1.5，0，﹣7，3.5，﹣5．
（3）|﹣2|=2，|1.5|=1.5，|0|=0，|7|=7，|﹣3.5|=3.5，|5|=5．
9.邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B 村，然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；

（2）C村离A村有多远？
（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？
【解析】解：（1）依题意得，数轴为：

（2）依题意得：点C与点A的距离为：2+4=6（km）.
（3）依题意得，邮递员骑了：2+3+9+4=18（km）.
∴耗油量为：18×0.03=0.54（升）
答：这趟路共耗油0.54升．