初中数学北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.5 探索与表达规律当堂检测题

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知识点1：规律探究之数字变化
数字的变化问题一般有找循环周期、等差数列、等比数列、平方数等类型。
【典例】
1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第2016个结点在（ ）
线OA上 B. 线OB上 C. 线OC上 D. 线OF上
【解析】解：根据数的排布发现：1在OA上，2在OB上，3在OC上，4在OD上，5在OE上，6在OF上，7在OA上，…，
射线上的数字以6为周期循环，
∵2016÷6=336，
∴2016与6在同一条射线上，即2016在射线OF上．故选：D
【方法总结】
遇到循环节问题首先找到循环节（循环周期）是什么，循环节可以通过将图形中的元素一一列举得到；其次要找到所求元素所在的循环节；最后找到在循环节中的位置。
2.一组数23，45，67，89…按一定的规律排列着，请你根据排列规律，推测这组数的第10个数应为_____
【解析】解：设该数列中第n个数为an（n为正整数），
观察，发现规律：a1=23，a2=45，a3=67，a4=89，…，
∴an=2n2n+1．
当n=10时，a10=2×102×10+1=2021．
【方法总结】
等差数列问题首先找出公差，即后一项与前一项的差，其次用第一项与公差、序号来表示每一项；遇到分数数列，如果找不到公差，可以考虑将分子、分母作为两个不同的数列分别找出其中的规律，最后确定数字的正负与序号奇偶的关系。
3.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2008个数是_______
【解析】解：第1个数1=1，
第2个数2=21，
第3个数4=22，
第4个数8=23，
第5个数16=24，
…，
第2008个数是：22007．
【方法总结】
等比数列问题首先找出后一项与前一项的比值；其次通过列举观察、用第一个数字和公比来表示每一个数字。
4.按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数（n为正整数）分别是______
【解析】解：根据数值的变化规律可得：
第1个数：﹣2=（﹣1）1（12+1）．
第2个数：5=（﹣1）2（22+1）．
第3个数：﹣10=（﹣1）3（32+1）．
∴第9个数为：（﹣1）9（92+1）=﹣82
第n个数为：（﹣1）n（n2+1）．
【方法总结】
平方数问题要找准数列的序数与每一个数字的平方关系。解决这种问题首先将序数平方；其次对比序列中每一个数字的绝对值与序数平方的大小关系；最后确定数字的正负与序数奇偶的关系。
5.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为____
【解析】解：答案正方形中的四个数：
∵第一个正方形中0+3=3，0+4=4，3×4+1=13；
第二个正方形中2+3=5，2+4=6，5×6+1=31；
第三个正方形中4+3=7，4+4=8，7×8+1=57．
∴c=6+3=9，a=6+4=10，b=9×10+1=91．
【方法总结】
规律表格问题首先找出表格内部各数字之间的关系，其次表示出相邻两个表格内相同位置的数字的关系，通常找最小数字之间的关系。
【随堂练习】
1．（2019春•山亭区期末）计算+++++…+的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：原式＝+++…+
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故选：D．
2．（2019春•昌平区期末）观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，39＝19683，……
它们的个位数字有什么规律，用你发现的规律直接写出92019的个位数字是（ ）
A．3B．9C．7D．1
【解答】解：3的指数从1到4，末位数字从3，9，7，1进行循环，
92019＝34038，
4038÷4＝1009…2，
则92019的个位数字是9．
故选：B．
3．（2019•青山区模拟）将连续正奇数按如图所示规律排列，将（1，3，5，7）称为正方形1组，（9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31）称为正方形2组，（33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71）称为正方形3组，…则2019在正方形（ ）组．
A．16B．17C．23D．25
【解答】解：由题意可得，
正方形1组有1×4＝4个数，
正方形2组有3×4＝12个数，
正方形3组有5×4＝20个数，
…，
则正方形n组有（2n﹣1）×4＝（8n﹣4）个数，
则前n组奇数的个数为：，
∵n＝15时，4n2＝900，当n＝16时，4n2＝1024，
（2019+1）÷2＝1010，则2019是第1010个奇数，
∴2019在第正方形16组，
故选：A．
4．（2019•贺州）计算++++…+的结果是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
故选：B．
5．（2019•十堰模拟）按照一定规律排列的n个数：，若最后两个数的乘积为，则n的值为（ ）
A．12B．16C．17D．18
【解答】解：∵一列数为，
∴当n为奇数时，第n个数为n（n+1），
当n为偶数时，第n个数为，
∵最后两个数的乘积为，
∴当n为奇数时，×[n（n+1）]＝，得n＝17，
当n为偶数时，[（n﹣1）n]×＝，得n＝﹣17（舍去），
故选：C．
6．（2019•常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
故选：A．
7．（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）
A．50B．60C．62D．71
【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，
∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，
故选：B．
8．（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（ ）
A．﹣7.5B．7.5C．5.5D．﹣5.5
【解答】解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故选：A．

知识点2：规律探究之图形变化
图形变化规律题是数字变化规律的变形和综合，涉及到数字规律的各个公式。在完成该类题型的时候也要将序号与图形个数联系，尝试从等差、等比、平方数等各种数列的规律中寻找突破口。
【典例】
1.下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有8个圆，第③个图形中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是______
【解析】解：观察图形可知，每个图形的最上面都有两个圆圈，而下面的圆圈分布分别是：2、2×3、3×4、4×5
即第①个图形中一共有1×（1+1）+2=4个圆，
第②个图形中一共有2×（2+1）+2=8个圆，
第③个图形中一共有3×（3+1）+2=14个圆，
第④个图形中一共有4×（4+1）+2=22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；
所以第⑨个图形中圆的个数9×（9+1）+2=92，
【方法总结】
该题解题时可以先从不同角度尝试，纵向切割后得到的数字跟序号联系得不到明显的规律，所以需要从横向切割，发现最上面的都是两个圆，下面的行和列呈现自然数列相乘。
【随堂练习】
1．（2018秋•大渡口区期末）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（7）个图案中阴影小三角形的个数是（ ）
A．26B．27C．28D．29
【解答】解：由图可知：
第一个图案有阴影小三角形2个．
第二图案有阴影小三角形2+4＝6个．
第三个图案有阴影小三角形2+8＝10个，
那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）＝4n﹣2个，
当n＝7时，4n﹣2＝4×7﹣2＝26
故选：A．
2．（2019•惠安县一模）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如用9枚图钉将4张作品钉在墙上如图）．若有28枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（ ）
A．16张B．18张C．20张D．21张
【解答】解：①如果所有的画展示成一行，28÷（1+1）﹣1＝13（张），
∴28枚图钉最多可以展示15张画；
②如果所有的画展示成两行，28÷（2+1）＝9（枚）……1（枚），
9﹣1＝8（张），2×18＝16（张），
∴28枚图钉最多可以展示16张画；
③如果所有的画展示成三行，28÷（3+1）＝7（枚），
7﹣1＝6，3×6＝18（张），
∴28枚图钉最多可以展示18张画；
④如果所有的画展示成四行，28÷（4+1）＝5（枚）……3（枚），
5﹣1＝4（张），4×4＝16（张），
∴28枚图钉最多可以展示16张画；
⑤如果所有的画展示成五行，28÷（5+1）＝4（枚），
4﹣1＝3（张），5×3＝15（张），
∴28枚图钉最多可以展示15张画．
综上所述：28枚图钉最多可以展示18张画．
故选：B．
3．（2019•乐陵市二模）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2：按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019：若h1＝1，则h2019的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2h1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣．
∴h2019＝2﹣．
故选：B．
4．（2019•重庆模拟）如图，下列图形都是由大小和形状完全相同的菱形按照一定的规律排列组成的，其中第①个图形中一共有5个菱形第②个图形中一共有8个菱形，第③个图形中一共有11个菱形，第④个图形中一共有14个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数是（ ）
A．25B．26C．27D．29
【解答】解：第①个图形中一共有5个菱形，5＝3×1+2；
第②个图形中共有8个菱形，8＝3×2+2；
第③个图形中共有11个菱形，11＝3×3+2；
…，
第n个图形中菱形的个数为：3n+2；
∴第③个图形中共有菱形的个数为：3×9+2＝29；
故选：D．
5．（2019•沙坪坝区模拟）下列图形都是由同样大小的小黑点按照一定规律所组成的，图1中共有8个小黑点，图2中共有11个小黑点，…，按此规律，则图7中小黑点的个数是（ ）
A．29B．26C．23D．20
【解答】解：∵搭第1个图形需要8个小黑点，8＝5+3，
搭第2个图形需要11个小黑点，11＝5+2×3，
搭第3个图形需要14个小黑点，14＝5+3×3，
…，
∴搭第n个图形需要的小黑点的个数是5+3n．
∴图7中小黑点的个数是5+3×7＝26，
故选：B．
6．（2019•南岸区模拟）用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑦个图形需要的火柴棒的根数是（ ）
A．32B．37C．42D．47
【解答】解：∵搭第1个图形需要7根火柴棒，7＝5+2，
搭第2个图形需要12根火柴棒，12＝5×2+2，
搭第3个图形需要17根火柴棒，17＝5×3+2，
…，
∴搭第n个图形需要的火柴棒的根数是5n+2．
∴第⑦个图形需要的火柴棒的根数5×7+2＝37，
故选：B．
7．（2019春•槐荫区期中）观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（ ）
A．第504个菱形的左边B．第505个菱形的左边
C．第504个菱形的上边D．第505个菱形的下边
【解答】解：观察图形发现菱形的四个角上的数字排列规律为1为下边，2为上边，3为左边，4为右边，
∵2019＝504×4+3，
∴2019应该在第505个菱形的左边，
∴所以数2019应标在第505个菱形左边，
故选：B．
8．（2019春•北碚区校级月考）下列图形都是由同样大小的〇按一定的规律组成，其中第l个图形有3个〇，第2个图形有10个〇，第3个图形有19个〇，算4个图形有30个〇，……依照此规律，第6个图形中共有（ ）个〇．
A．43B．55C．58D．65
【解答】解：由图示规律可知，第n个图形〇的个数为3n+（n+2）（n﹣1），
当n＝6时，3×6+（6+2）（6﹣1）＝58（个）．
故选：C．
9．（2019•九龙坡区模拟）如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案．第1个图案有5个菱形纸片，第2个图案有9个菱形纸片，第3个图案有13个菱形纸片，按此规律，第7个图案中菱形纸片数量为（ ）
A．17B．21C．25D．29
【解答】解：观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1+1个菱形纸片；
第2个图案中有9＝4×2+1个菱形纸片；
第3个图形中有13＝4×3+1个菱形纸片，
…
第n个图形中有4n+1个菱形纸片，
当n＝7时，4×7+1＝29个菱形纸片，
故选：D．
综合运用
1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是_________．
【解析】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3﹣3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣5个，
…
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）．
故答案为：n（n+2）．
2.观察如图给出的四个点阵，请按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数为_________个．
【解析】解：由上图可以看出4个点阵中点的个数分别为：1、5、9、13
且5﹣1=4、9﹣5=4，、13﹣9=4，
所以上述几个点阵中点的个数呈现的规律为：每一项都比前一项多4，
即：第n个点阵中点的个数为：1+4（n﹣1）=4n﹣3．
故答案为：4n﹣3
【难度】中
【结束】
3.根据图中数字的规律：
在空格中填上适当的数字是_________．
【解析】解：左下角规律：2=1×1+1，5=2×2+1，10=3×3+1，17=4×4+1
右边规律：5=2×2+1，12=5×2+2，23=10×2+3，
所以17=4×4+1，17×2+4=38．
故答案为：左下角数字：17；右边数字：38．
4.下面是按一定规律排列的一列数：23，﹣45，87，﹣169…那么第8个数是_________．
【解析】解：设第n个数为anbn（n为正整数）．
∵a1=2，a2=﹣4，a3=8，a4=﹣16，…，
∴an=﹣（﹣2）n；
∵b1=3，b2=5，b3=7，b4=9，…，
∴bn=2n+1．
∴第8个数是a8b8=-(-2)82×8+1=﹣25617．
故答案为：﹣25617．
5.观察一组数2，5，10，17，26，37，…，则第n个数是_________．
【解析】解：∵第1个数2=12+1，
第2个数5=22+1，
第3个数10=32+1，
…
∴第n个数为n2+1，
故答案为：n2+1．
6.将一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中排列规律可知，“峰1”中峰顶位置（C的位置）是4，那么，“峰206”中C的位置的有理数是_________．
【解析】解：由图可知，每5个数为一个循环组依次循环，
所以，“峰n”中峰顶C的位置的数的绝对值5n﹣1，
当n=206时，5×206﹣1=1030﹣1=1029，
∵1029是奇数，
∴“峰206”中C的位置的有理数是﹣1029．
故答案为：﹣1029．
7.一组按规律排列的数：14，-39，716，-1325，2136，⋯，请你推断第n个数是_________．
【解析】解：由分子1=1×0+1，3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1…
得出第n个数的分子为n（n﹣1）+1，分母是从2开始连续自然数的平方，
第n个数的分母为（n+1）2，再根据偶数项是负数，
所以第n个数是（﹣1）n+1•n(n-1)+1(n+1)2．
故答案为（﹣1）n+1•n(n-1)+1(n+1)2．
8.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632中得到巴尔末公式，从而打开了光滑奥妙的大门，请你按这种规律写出第9个数据是_________．
【解析】解：由数据95，1612，2521，3632可得规律：
分子是32，42，52，62，72，82，92…（n+2）2
分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…n(n+4），
∴第9个数据是(9+2)2９(９+４）=121117，
故答案为：121117．
序号
1
2
3
4
……
n
分子
2
4
6
8
……
2n
分母
3
5
7
9
……
2n+1
41
43
45
47
49
51
39
13
15
17
19
53
37
11
1
3
21
55
35
9
7
5
23
57
33
31
29
27
25
59
71
69
67
65
63
61