人教版数学九年级下册同步讲义第8课相似全章复习与巩固（原卷版）

第8课  相似全章复习与巩固

知识点01  相似图形及比例线段

1．相似图形：在数学上，我们把            称为相似图形(similar figures).

要点诠释：
　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
   (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两   个图形全等；

2.相似多边形

如果两个多边形的          ，对应边的           ，我们就说它们是相似多边形．

要点诠释：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点诠释：

（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．

知识点02  相似三角形

1. 相似三角形的判定:

判定方法（一）：                    ，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：                    ，那么这两个三角形相似.　

判定方法（三）：                   ，那么这两个三角形相似.

要点诠释：
　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：                    ，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

2. 相似三角形的性质：

（1）相似三角形的          ，对应边的          ；

（2）相似三角形中的          等于相似比；

     相似三角形           ，          ，           都等于相似比.

要点诠释：

要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

(3) 相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于          ．

知识点03  位似

1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且  ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在           ；
（2) 位似图形的          等于相似比；
（3）位似图形中           的对应线段平行.

要点诠释：

(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
 

知识点04  黄金分割

1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫                   ．

2.黄金三角形：  的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

知识点04  射影定理

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）

∴                             ；

                               ；

                               （射影定理）；

                              （等积）．

考法01   相似三角形

【典例1】已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？

【即学即练1】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；  （2）求线段OM的长度.

【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（    ）

A．    B．      C．    D．

考法02  相似三角形的综合应用

【典例3】已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．

【典例4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．

（1）求证：△ADF∽△ACG；

（2）若，求的值．

【即学即练2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

（1）求证：△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

【典例5】如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．

设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．

【即学即练3】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
　　(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
　　(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?
　　　　　　　　　

考法03  黄金分割用

【典例6】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

【即学即练4】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点．