初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数练习

第10课  锐角三角函数

知识点01  锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的          ，也叫做∠B的         ，∠B所对的边AC记为b ，叫做∠B的        ，也是∠A的          ，直角C所对的边AB记为c，叫做         ．
　

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作         ，即          ；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作          ，即         ；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作          ，即         .

同理         ；         ；         ．

要点诠释：
　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值  ，角的度数变化时，比值也随之         ．
　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
　 　　，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
　 　　“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
　　(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<∠A<90°间变化时，        ，          ，         ．

知识点02  特殊角的三角函数值

　　　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：

要点诠释：
　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角        ．
　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而         ；
　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而         ．
 

知识点02  锐角三角函数之间的关系

　　如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
　　(1)互余关系：        ，        ；
　　(2)平方关系：        ；
　　(3)倒数关系：        或；
　　(4)商数关系：        ．
　　要点诠释：
　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
 

考法01   锐角三角函数值的求解策略

【典例1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．

【即学即练1】在中，，若，，则      ，

            ，         ，      ，         ．

考法02  特殊角的三角函数值的计算

【典例2】求下列各式的值：

 (1) 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；

 (2) sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；

(3) +tan60°﹣．

【即学即练2】在中，，若∠A=45°，则      ，

           ，         ，      ，          ．

考法03  锐角三角函数之间的关系

【典例3】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0

（1）试判断△ABC的形状．

（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．

考法04  锐角三角函数的拓展探究与应用

【典例4】如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，

若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．

【典例5】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)sad60°＝________．

(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．

(3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．

题组A  基础过关练

1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）

A． B． C． D．

2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

　 A．2 B．  C．  D． 

3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝(    )

A．25°     B．55°     C．65°      D．75°

4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为  (    )

A．       B．       C．      D．

5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是(    )

A．       B．      C．      D．

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值(   )

A．扩大2倍     B．缩小2倍     C．扩大4倍     D．不变

7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为(    )

A．cm      B．cm      C．cm      D．cm

8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为(    )

A．         B．       C．       D．

题组B  能力提升练

9．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是　   　．

10. 用不等号连接下面的式子．

(1)cos50°________cos20°     (2)tan18°________tan21°

11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为       .

12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．

13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．

         第12题                           第15题

14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．

15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________．

16.若α为锐角，且，则m的取值范围是             　．

题组C  培优拔尖练

17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，

求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．

18. 计算下列各式的值．

   (1) ；

(2) sin45°+tan45°﹣2cos60°．

(3) ﹣cos60°．

19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

 (1)求证：AB＝DF；

(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．

20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．

(1)求∠BAC的度数；

(2)求△ABC面积的最大值．

(参考数据：，，．