初中数学北师大版九年级上册8 图形的位似课时训练

图形的位似--知识讲解

【学习目标】

1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.

【要点梳理】

要点一、位似多边形

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点诠释：

位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

4. 作位似图形的步骤
　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　　第四步：顺次连接各对应点.

要点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

要点二、坐标系中的位似图形

    在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.

要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.

【典型例题】

类型一、位似多边形

1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）.

A.      B.    C.   D.

【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．

【答案】D

【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．
故选D．

【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．

举一反三

【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的   （  ）.

A.  3倍      B.   C.   D.不知AB的长度，无法判断

【答案】C

2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.

【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比

为1.5.   

画法是：

    1．在平面上任取一点O.

    2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.

3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.

    4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.

这样：＝＝＝＝＝1.5.

   则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.

【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.

举一反三

【变式】在已知三角形内求作内接正方形．

【答案与解析】

作法：

（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；

（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；

（3）连接BF′，延长交AC于F；

（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD；

∴四边形DEFG即为所求．

类型二、坐标系中的位似图形

3.（2020•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．

（1）在图中画出四边形AB′C′D′；

（2）填空：△AC′D′是　     　三角形．

【思路点拨】

（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；

（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．

【答案与解析】

解：（1）如图所示：

（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，

∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，

∴△AC′D′是等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角．

【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．

4. （2020春•威海期末）如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．

（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．

（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为　                       　．

【思路点拨】

（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；

（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．

【答案与解析】

解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；

（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．

故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．

【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

举一反三：

【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？

【答案】

解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的.