高中数学新教材必修第一册 第2章 §2.1　第1课时　不等关系与不等式课件PPT

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高中数学新教材 同步课件（必修第一册）第1课时　不等关系与不等式第二章　§2.1　等式性质与不等式性质1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.学习目标大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫情传播速度的快与慢的比较.正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.导语随堂演练课时对点练一、用不等式(组)表示不等关系二、作差法比较大小三、重要不等式内容索引一、用不等式(组)表示不等关系问题1　生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？提示　①最低限速50 km/h，v≥50；②限制质量10 t,0<ω≤10；③限制高度3.5 m,0< ≥≤注意点：(1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致；(2)用适当的不等号连接；(3)多个不等关系用不等式组表示.例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).解　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，反思感悟　用不等式(组)表示不等式关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等式关系的关键词语：至多、至少、大于等.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.跟踪训练1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系.(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；解　0b.基本事实a－b>0a－b＝0a－b<0差0注意点：(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式；(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小；(3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小.例2　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤跟踪训练2　比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小.解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6).三、重要不等式问题4　如图是由在北京召开第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？提示　正方形的边长为 .这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab.于是就有a2＋b2≥2ab.证明a2＋b2－2ab＝(a－b)2.因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋b2－2ab≥0.因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.例3　已知a>0，b>0.(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；证明　∵a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a2＋3b2≥2b(a＋b).(2)求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.证明　因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.反思感悟　比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明.跟踪训练3　已知a>0，求证：a＋ ≥2.证明　方法一　利用a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝1时，等号成立.1.知识清单：(1)用不等式(组)表示不等关系.(2)作差法比较大小.(3)重要不等式.2.方法归纳：作差法.3.常见误区：实际问题中变量的实际意义.课堂小结随堂演练1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为A.v≤120 km/h且d≥10 mB.v≤120 km/h或d≥10 mC.v≤120 km/hD.d≥10 m1234√解析　v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m.12342.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是A.5x＋4y<200 B.5x＋4y≥200C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200解析　依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.√12343.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是A.M>N B.M＝NC.Mb，则a2－ab_____ba－b2.(填“>”或“<”)解析　因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.>课时对点练基础巩固1234567891011121314151.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为A.a＋b<0 B.a＋b>0C.a＋b≤0 D.a＋b≥0解析　a与b的和是非正数，即a＋b≤0.16√2.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是A.30x－60≥400 B.30x＋60≥400C.30x－60≤400 D.30x＋40≤400123456789101112131415√16123456789101112131415163.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是√解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.123456789101112131415164.若x∈R，y∈R，则A.x2＋y2>2xy－1 B.x2＋y2＝2xy－1C.x2＋y2<2xy－1 D.x2＋y2≤2xy－1√解析　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.1234567891011121314155.已知0NC.M＝N D.M≥N√16解析　∵00，∴M>N.123456789101112131415166.(多选)下列说法正确的是A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”B.小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y”C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”√√√解析　对于A，x应满足x≤2 000，故A错；BCD正确.123456789101112131415167.某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为___________.|x－500|≤1解析　∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，∴|x－500|≤1.123456789101112131415168.若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是_____.x1.5，身高不足1.2米可表示为h<1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.12345678910111213141516如下表所示：1234567891011121314151610.某单位计划去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往.甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.12345678910111213141516解　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元.当n>5时，y1y2，所以，当单位去的人数为5时，两辆车收费相同；多于5时，选甲车队更优惠；少于5时，选乙车队更优惠.123456789101112131415综合运用1611.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满.则A队有出租车A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆√12345678910111213141516解析　设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，而x为正整数，故x＝10.12345678910111213141516√因为a1>1，a2>1，所以a1－1>0,1－a2<0，a1a2>0，13.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是12345678910111213141516A.h2>h1>h4 B.h1>h2>h3C.h3>h2>h4 D.h2>h4>h1√解析　根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.12345678910111213141516P>R>Q∴P>R.∴P>R>Q.拓广探究1234567891011121314151615.已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是____，当且仅当a＝b＝____，取得最小值.2±1解析　根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立.16.有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.1234567891011121314151612345678910111213141516解　设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，∵x∈N*，∴x＝10,11或12.学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.