高中数学新教材必修第一册 第3章 3.1.2　第3课时　分段函数课件PPT

这是一份高中数学新教材必修第一册 第3章 3.1.2　第3课时　分段函数课件PPT，共60页。

高中数学新教材 同步课件（必修第一册）第3课时　分段函数第三章　3.1.2　函数的表示法1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.学习目标大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴.导语随堂演练课时对点练一、分段函数求值(范围)问题二、分段函数的图象及应用三、分段函数在实际问题中的应用内容索引一、分段函数求值(范围)问题提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.分段函数(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.注意点：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集.知f(－5)＝－5＋1＝－4，(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.解　因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，延伸探究1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去；当－22x，求x的取值范围.解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－22x可化为2x－1>2x，则x∈∅.综上可得，x的取值范围是(－∞，2).反思感悟　(1)分段函数求值的方法①先确定要求值的自变量属于哪一段区间.②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.跟踪训练1　(1)已知f(x)＝ 使f(x)≥－1成立的x的取值范围是A.[－4,2) B.[－4,2] C.(0,2] D.(－4,2]当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1，解得x∈[0,2]，综上，x∈[－4,2].√(2)函数f(x)＝ 若f(x0)＝8，则x0＝__________.二、分段函数的图象及应用例2　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；解　在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝(2)求函数φ(x)的定义域，值域.解　由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1].反思感悟　分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.跟踪训练2　函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的值.解　当x<－1时，设f(x)＝ax＋b，所以f(x)＝x＋2；当－1≤x≤2时，设f(x)＝kx2，由4＝k·22得k＝1，所以f(x)＝x2；三、分段函数在实际问题中的应用例3　国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为A.2 800元 B.3 000元C.3 800元 D.3 750元√解析　由题意知，纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为当8004 000时，令0.112x＝420，解得x＝3 750(舍).反思感悟　分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.跟踪训练3　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解　设票价为y元，里程为x公里.由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：函数图象如图.1.知识清单：(1)分段函数的概念及求值.(2)分段函数的图象及应用.2.方法归纳：分类讨论、数形结合法.3.常见误区：(1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.课堂小结随堂演练1234√解析　∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴D(D(x))＝1.12342.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是√1234√1234解析　当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去；课时对点练基础巩固12345678910111213141516√2.下列图象是函数y＝x|x|的图象的是12345678910111213141516√123456789101112131415163.(多选)设函数f(x)＝ 若f(a)＝4，则实数a等于A.－4 B.2 C.4 D.－2√√123456789101112131415164.设x∈R，定义符号函数sgn x＝ 则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是√12345678910111213141516解析　由题意知f(x)＝则f(x)的图象为C中图象所示.1234567891011121314155.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为A.13立方米 B.14立方米C.18立方米 D.26立方米16√123456789101112131415由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.16123456789101112131415166.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则A.f(f(1))＝3B.f(2)>f(0)C.f(x)＝－x＋1＋2|x－1|，x∈[0,4]D.∃a>0，不等式f(x)≤a的解集为√√12345678910111213141516解析　因为f(1)＝0，f(0)＝3，所以f(f(1))＝3，A正确；f(0)＝3,01时，f(x)＝x2＋x－2，当x≤1时，f(x)＝1－x2，1234567891011121314151612.设函数f(x)＝ 若f(a)＝a，则实数a的值为A.±1 B.－1 C.－2或－1 D.±1或－2解析　由题意知，f(a)＝a，√所以实数a的值是－1.13.AQI表示空气质量指数，AQI的数值越小，表明空气质量越好，当AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI的数值的统计数据，图中点A表示3月1日的AQI的数值为201.则下列叙述不正确的是12345678910111213141516A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.从3月9日到12日，空气质量越来越好D.从3月4日到9日，空气质量越来越好√1234567891011121314151612345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________.{y|y≤2}12345678910111213141516解析　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.根据函数解析式作出函数图象，如图所示.由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}.16.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：12345678910111213141516(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？解　最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？12345678910111213141516解　10：30开始第一次休息，休息了半小时.(3)第一次休息时，离家多远？解　第一次休息时，离家17千米.(4)11：00到12：00他骑了多少千米？解　11：00至12：00他骑了13千米.(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？12345678910111213141516解　9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14 千米/时.(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解　从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.