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    高中数学新教材必修第一册 第3章 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念课件PPT

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    这是一份高中数学新教材必修第一册 第3章 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念课件PPT,共60页。

    高中数学新教材 同步课件(必修第一册)第1课时 奇偶性的概念第三章 3.2.2 奇偶性1.了解函数奇偶性的定义.2掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3应用函数的奇偶性解决简单的求值问题.学习目标古语有云:“夫美者,上下,内外,大小,远近皆无害焉,故曰美.”大家知道,我国的建筑,无论宫殿、庙宇、亭台、园林,无不有着对称之美,还能给人以稳重、博大、端庄的感觉,你能说出生活中和对称有关的例子吗?而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致,今天我们来探究数学中的对称美.导语随堂演练课时对点练一、函数奇偶性的概念二、函数奇偶性的判断三、奇、偶函数的图象及应用内容索引四、利用函数的奇偶性求值一、函数奇偶性的概念问题1 观察下列函数图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?提示 这两个函数图象都关于y轴对称.问题2 如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢?不妨取自变量的一些特殊值,观察下表相应函数值的情况.提示 可以发现当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等.问题3 观察函数f(x)=x和g(x)= 的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?你能用符号语言精确地描述这一特征吗?并自主探究结果.提示 可以发现,两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.偶函数的定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函数的定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)注意点:①函数的奇偶性是函数的整体性质;②先判断定义域是否关于原点对称,如果∀x∈I,都有-x∈I,即便定义域关于原点对称,还需判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数,若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数,若f(-x)≠±f(x),则函数为非奇非偶函数;③偶函数图象关于y轴对称,奇函数图象关于原点对称;④若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0;⑤若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集.二、函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=-|x|;解 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),∴f(x)为偶函数.解 函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解 函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.解 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},∵∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},∴f(x)是奇函数.反思感悟 判断函数奇偶性的方法:(1)定义法:(2)图象法:跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)=x2(x2+2).解 f(x)=x2(x2+2)的定义域为R.∵f(-x)=f(x),∴f(x)=x2(x2+2)是偶函数.三、奇、偶函数的图象及应用例2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补全函数y=f(x)的图象;解 由题意作出函数图象如图.(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;解 由图可知,单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.解 由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.反思感悟 巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据:奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.跟踪训练2 定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示.解 由于f(x)是奇函数,则其图象关于原点对称,其图象如图所示.(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象;(2)比较f(1)与f(3)的大小.解 观察图象,知f(3)-1)是奇函数,则a等于A.-1 B.0C.1 D.无法确定√解析 ∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a-1=0,即a=1.12342.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是解析 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.√12343.(多选)下列函数是奇函数的是A.y=x(x∈[0,1]) B.y=3x2C.y= D.y=x|x|解析 利用奇函数的定义,首先定义域关于原点对称,排除选项A;又奇函数需满足f(-x)=-f(x),排除选项B.√√12344.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是________.0解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为0.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数√解析 ∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),又x∈(-a,a)关于原点对称,∴F(x)是偶函数.2.若f(x)=3x3+5x+a-1为奇函数,则a的值为A.0 B.-1 C.1 D.212345678910111213141516解析 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,得a=1.√12345678910111213141516√∴其图象的对称轴为y轴.123456789101112131415164.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为解析 f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)A.-2 B.2 C.1 D.0√12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析 ∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正确.f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正确.当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C不正确.12345678910111213141516√√√解析 选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称,且f(-x)=-f(x),由奇函数的定义可知选ABC.123456789101112131415167.设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是_______________________.{x|-5≤x<-2或20时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是_________________.[-3,-1)∪(1,3]解析 因为当00时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x),所以f(x)是偶函数.1234567891011121314151610.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;12345678910111213141516解 奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于原点的对称点为P′(x,-f(-x)),图③为图①补充后的图象,易知f(3)=-2.12345678910111213141516(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.12345678910111213141516解 偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于y轴的对称点为P′(x,f(-x)),图④为图②补充后的图象,易知f(1)>f(3).123456789101112131415综合运用1611.已知f(x)=ax3+bx2是定义在[a-1,3a]上的奇函数,那么a+b等于√12345678910111213141516解析 ∵f(x)=ax3+bx2是定义在[a-1,3a]上的奇函数,再由奇函数的定义得f(-x)=-f(x),12345678910111213141516解析 若x是有理数,则-x也是有理数,∴f(-x)=f(x)=1;若x是无理数,则-x也是无理数,∴f(-x)=f(x)=0.∴函数f(x)是偶函数.√13.(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中不正确的是A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数12345678910111213141516√√√解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得f(x)|g(x)|为奇函数.1234567891011121314151614.已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=2 021x3-5x+b+2,则f(a)+f(b)的值为________.0解析 奇函数的图象关于原点对称,所以a-4+2a-2=0,所以a=2,因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即b+2=0,故b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0.拓广探究12345678910111213141516故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]16.已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),(1)求证:f(x)是奇函数;12345678910111213141516证明 由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0.所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).12345678910111213141516解 由(1)知f(x)为奇函数.所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a.又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),所以f(12)=-4a.
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