北师大版初二数学上册（秋季班）讲义 第1讲 勾股定理 --基础班

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第15讲  勾股定理知识点1 勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.                          a2+b2=c2在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则c2=a2+b2，c=；a2 =c2-b2，a=； b2=c2-a2，b=.【典例】例1 （2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　）A．6 B．8 C．10 D．12【方法总结】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．  例2 （2020秋•长春期末）如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（　　）A．7 B．10 C．20 D．25 【方法总结】本题考查了勾股定理．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．  例3 （2020春•番禺区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ADC＝150°，CD＝3，求BC的长．  【方法总结】本题考查勾股定理、等边三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．例4（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为__________． 【方法总结】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．例5（2020秋•淮阴区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为__________． 【方法总结】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•长春期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则斜边的长为（　　）A． B． C．3 D．5 2．（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　）A．6 B．36 C．64 D．8 3．（2020秋•法库县期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝__________． 知识点2 勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.【典例】例1（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． 【方法总结】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．例2 （2020秋•碑林区校级月考）我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．若每平方米草皮需要200米，则共需要投入多少钱？  【方法总结】本题考查勾股定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例3 （2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．  【方法总结】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．【随堂练习】1．（2020秋•太原期中）如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．  2．（2020秋•溧水区期中）小明拿着一根竹竿进一个宽3米的大门，他竖起来拿，结果竹竿比大门高米．当他把竹竿斜着时，两端恰好顶着大门的对角，问这根竹竿长多少米？    3．（2020秋•高州市期中）如图，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已被粘住的苍蝇，这只蜘蛛从A点出发，沿着圆柱体的侧面爬到B点，最短路程是多少？（π取3）  知识点3 勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【典例】例1（2020秋•九龙县期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，13，12 【方法总结】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．例2（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积． 【方法总结】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形解答．例3 （2020秋•本溪期末）如图，已知在△ABC中，AB＝25，BC＝14，BC边上的中线AD＝24．求证：AB＝AC．  【方法总结】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°解答．【随堂练习】1．（2020秋•山西月考）下列各组数中，是勾股数的是（　　）A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C． D．10，15，18 2．（2020秋•福田区校级期末）如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．（1）连接BC，求BC的长；（2）判断△BCD的形状，并说明理由． 3．（2020秋•绿园区期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．    综合运用1．（2020春•和县期末）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为__________． 2．（2020秋•朝阳区校级月考）图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？ 3．（2020秋•南京期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，AC＝15．（1）求AD的长；（2）求BC的长． 4．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 5．（2020秋•兴庆区校级期中）如图所示，已知等腰△ABC的底边BC＝15cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝9cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．   6．（2020春•海安市月考）如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形ABCD的周长及面积；（2）连接BD，判断△BCD的形状．