初中数学北师大版八年级上册6 实数同步训练题

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第2讲  实数知识点1 平方根平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．也就是说，若，则就叫做的平方根．一个非负数的平方根可用符号表示为“”．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.【典例】1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____【答案】-1
【解析】解：因为一个正数有两个平方根，它们互为相反数所以：2a﹣1﹣a+2=0，解得：a=﹣1，【方法总结】本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.2.下列说法正确的是（　　）A.正数的平方根是它本身 
B.100的平方根是10C.﹣10是100的一个平方根 
D.﹣1的平方根是﹣1【答案】C.
【解析】解：A、正数的平方根是它本身，错误；B、100的平方根是10，错误，应为±10；C、﹣10是100的一个平方根，正确；D、﹣1没有平方根，故此选项错误；故选：C【方法总结】本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 【随堂练习】1．（2019春•武胜县期中）已知的平方根是，的平方根是，求．【解答】解：的平方根是，的平方根是，，，解得：，．．2．（2019春•防城港期中）一个正数的平方根是与，求和这个正数．【解答】解：由题意得：，解得：，，，则这个正数为9． 知识点2 算术平方根算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根． 【典例】的算术平方根为____【答案】3
【解析】解：∵=9，32=9∴的算术平方根为3．【方法总结】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【随堂练习】1．（2019春•浦东新区期中）先计算下列各式：，，　3　，　 　，　 　．（1）通过观察并归纳，请写出：　 　．（2）计算：　 　．【解答】解：（1）；，，，观察上述算式可知：．（2），，，．故答案为：3；4；5；（1）；（2）．2．（2019春•长白县期中）已知实数，，满足：，的平方根等于它本身．求的值．【解答】解：，把代入得：的平方根等于它本身，．3．（2018春•奈曼旗期末）张华想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？【解答】答：不同意李明的说法解：设长方形纸片的长为 ，则宽为 ，依题意得，，，，，长方形纸片的长为 ，， ， ，即长方形纸片的长大于，由正方形纸片的面积为400 ，可知其边长为，长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．4．（2017春•青山区期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为的长方形纸片．（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；（2）若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．【解答】解：（1）设面积为的正方形纸片的边长为 ，，又，，又要裁出的长方形面积为若以原正方形纸片的边长为长方形的长，则长方形的宽为：可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形； （2）长方形纸片的长宽之比为，设长方形纸片的长为，则宽为，，，又，，长方形纸片的长为，又即：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．知识点3 立方根立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根. 一个数的立方根可用符号表示“”，其中“”叫做根指数，不能省略．前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．【典例】1.计算的结果是（　　）【答案】3
【解析】解：==3，【方法总结】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若则就叫做的立方根. 2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．【答案】4
【解析】解：∵m2=36，n3=﹣64，=5，∴m=6或﹣6、n=﹣4、x=5或﹣5，当m=6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=6﹣4﹣5=﹣3；当m=6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=6﹣4+5=7；当m=﹣6、n=﹣4、x=5时，m+n﹣x=﹣6﹣4﹣5=﹣15；当m=﹣6、n=﹣4、x=﹣5时，m+n﹣x=﹣6﹣4+5=﹣5；【方法总结】此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.【随堂练习】1．（2019春•黄石期中）已知实数的两个平方根分别为和，实数的立方根为，求的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，所以，，则原式．2．（2019春•莘县期中）已知是的算术平方根，是的立方根，求：的值的平方根．【解答】解：是的算术平方根，，解得，；是的立方根，，即，解得，，，的值的平方根是．3．（2019春•海安县校级月考）若与互为相反数，求的值．【解答】解：与互为相反数，，，，． 知识点4 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率及一些含的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：4  实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．【典例】1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个【答案】3
【解析】解：，，﹣π，是无理数，【方法总结】本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．常见的无理数形式有四种：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率及一些含的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数； 2.把下列各数填入相应的集合：﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣（1）有理数集合{                 }；（2）无理数集合{                 }（3）整数集合{                 }（4）负实数集合{                 }【答案】
【解析】解：（1）有理数集合{﹣1、﹣3.14、、0、0.131331333、﹣}；（2）无理数集合{、π、﹣、}；（3）整数集合{﹣1、、0、﹣}；（4）负实数集合{﹣1、﹣3.14、﹣、、﹣}．【方法总结】本题主要考察了实数的分类：3.与最接近的整数是______【答案】6
【解析】解：∵36＜37＜49，∴＜＜，即6＜＜7，∵37与36最接近，∴与最接近的是6．【方法总结】本题考查了估算无理数的大小，在紧邻前后两个完全平方数的算数平方根之间.3.计算：﹣12+（﹣2）3×﹣×（）【答案】
【解析】解：﹣12+（﹣2）3×﹣×（）=﹣1﹣8×+3×（﹣）=﹣1﹣1﹣1=﹣3．【方法总结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【随堂练习】1．（2019春•邳州市期中）规定：一个数的平方等于，记作，于是可知，，按照这样的规律，等于　　A．1 B． C． D．【解答】解：，，，，从上计算可知，的指数循环周期是4，①当指数除以4余数为0时，其结果是1；②当指数除以4余数为1时，其结果是；③当指数除以4余数为2时，其结果是；④当指数除以4余数为3时，其结果是；．故选：．二．填空题（共2小题）2．（2018秋•北仑区期末）数轴上从左到右依次有、、三点表示的数分别为、、，其中为整数，且满足，则　5或6　．【解答】解：因为，所以，即．，，即，由于，且是整数，所以或3．当时，，当时，．故答案为：5或63．（2019春•聊城期中）如图，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作矩形，以数轴上的原点为圆心，矩形的对角线为半径作弧与数轴交于点，则点表示的数为　　．【解答】解：由图可得，点表示的数是：，故答案为：．三．解答题（共3小题）4．（2018秋•大冶市期末）若点、、在数轴上对应的数分别为、、满足．（1）在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；（2）若点，，同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，试问的值是否会随着时间的变化而变化？请说明理由．【解答】解：（1），，，，解得，，，设点表示的数为，，①在之间，，，，；②在的左边，，，，；③在的中间，，，，（舍去）；④在的右边，，，（舍去）．综上所述，或． （2）运动时间为，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度，的速度为每秒5个单位长度，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，①当，即时，，，，的值会随着时间的变化而变化．②当时，，，，的值不会随着时间的变化而变化．综上所述，当时，的值会随着时间的变化而变化．当时，的值不会随着时间的变化而变化．5．（2018秋•龙湖区期末）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点．（1）点表示的数为　30　，点表示的数为　　，线段的长为　　．（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为　　．（3）现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？【解答】解：（1），，，解得，，．故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36．（2）点在线段上，，，点在数轴上表示的数为；点在射线上，，，点在数轴上表示的数为．故点在数轴上表示的数为6或；（3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，当时，点还在点处，；当时，点在点的右侧，，解得：；当时，点在点的左侧，，解得：．综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度．故答案为：30，，36；6或．6．（2018秋•定兴县期末）如图1，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是9．点在数轴上从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．（1）　15　；时，点表示的数是　 　；当　 　时，、两点相遇；（2）如图2，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；（3）如图3，若点为线段的中点，点为线段中点，则点表示的数为　 　；点表示的数为　 　；　 　．（用含的代数式填空）【解答】解：（1），时，，，设秒后相遇，由题意，，故答案为15，6，3 （2）答：长度不变，理由如下：为中点，为中点，，．（3）则点表示的数为；点表示的数为；；故答案为，，； 综合运用
1.的平方根是     ．【答案】±
【解析】解：的平方根是±，故答案为：±． 2.（﹣4）2的算术平方根是   ．【答案】4
【解析】解：（﹣4）2=16．16的算术平方根是4．故答案为：4． 3.计算：=      ．【答案】﹣0.4
【解析】解：∵（﹣0.4）3=﹣0.064，∴=﹣0.4，故答案为：﹣0.4．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为   ．【答案】1
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，∴2m﹣6+3+m=0，解得：m=1，∴（﹣m）2018=（﹣1）2018=1．故答案为：1．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是    ．【答案】±3
【解析】解：2a﹣1=（±3）2，3a+b﹣1=（±4）2，∴a=5，b=2，a+2b=5+4=9，±，故答案为：±3． 6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有   个．【答案】4
【解析】解：无理数有2π、0.454454445…、﹣、这4个，故答案为：4．
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为   ．【答案】8
【解析】解：∵＜＜，∴8＜＜9，∵n＜＜n+1，∴n=8，故答案为：8．
8.比大且比小的整数是   ．【答案】3
【解析】解：比大且比小的整数是：=3．故答案为：3．9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…①       有理数集合{           …}　②       无理数集合{             …}③       负实数集合{             …}．【答案】
【解析】解：①有理数集合{﹣3.14，，﹣，0，，…}　②无理数集合{﹣，π，1010010001…}④       负实数集合{﹣3.14，﹣，﹣，…}．
10.计算：﹣2+|﹣2|．【答案】
【解析】解：原式=2﹣2+2﹣=4﹣3．
11.计算：﹣﹣（﹣2）2．【答案】
【解析】解：﹣﹣（﹣2）2=3+3﹣4=2．
12.一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为16时．输出的y值是  ；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：     ．【答案】
【解析】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，∴2的算术平方根是，是无理数，输出，故答案为：（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，∴当x=0和1时，始终输不出y的值；（3）9的算术平方根是3，3的算术平方根是，故答案为：3和9．