初中数学北师大版八年级上册6 实数巩固练习

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第2讲  实数知识点1 平方根平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．也就是说，若，则就叫做的平方根．一个非负数的平方根可用符号表示为“”．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.【典例】1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____ 【方法总结】本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.2.下列说法正确的是（　　）A.正数的平方根是它本身 
B.100的平方根是10C.﹣10是100的一个平方根 
D.﹣1的平方根是﹣1 【方法总结】本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 【随堂练习】1．（2019春•江宁区校级月考）如果，则的平方根是　　．2．（2019春•寿光市期中）一个正数的平方根是与，则这个正数是　 　．3．（2019春•西城区期末）49的平方根是　 　．4．（2019春•利辛县期末）若有平方根，则实数的取值范围是　 　．5．（2019春•丰城市期末）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数为　 　．6．（2019春•丹江口市期中）若一个正数的两个不同的平方根为与，则这个正数为　 　． 7．（2019春•嘉陵区期中）（1）已知的平方根是，的平方根是士4，求的平方根； （2）若与是同一个正数的平方根，求的值． 8．（2019春•新左旗期中）已知一个数的两个平方根分别是和，求这个数． 9．（2019春•费县期中）已知与是的平方根，求和的值． 10．（2019春•白城期中）解方程：． 知识点2 算术平方根算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根． 【典例】的算术平方根为____  【方法总结】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【随堂练习】1．（2019春•东西湖区期末）计算：的值是　 　．2．（2019•历下区模拟）将一组数，2，，，，，按下面的方式进行排列：，2，，，；，，4，，；，，，，；若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为　 　．3．（2019•沈丘县一模）计算：　 　．二．解答题（共5小题）4．（2019春•丹江口市期中）观察下列各式①②③（1）观察①②③等式，猜想写出第⑤个等式，并验证你的猜想的正确性；（2）根据上述规律，直接写出　　．5．（2018秋•丹江口市期末）观察下列等式：等式；等式；等式；（1）猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为　　，第9个等式为　　，并通过计算验证两式结果的准确性；（2）归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为　　，证明猜想的准确性．6．（2019春•和县期末）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？通过计算说明．7．（2019春•蚌埠期中）已知，，是9的平方根，求：的值．8．（2019•昆明模拟）观察下列各式及其验证过程：，验证：，，验证：．（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用的整数）表示的等式． 知识点3 立方根立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根. 一个数的立方根可用符号表示“”，其中“”叫做根指数，不能省略．前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．【典例】1.计算的结果是（　　） 【方法总结】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若则就叫做的立方根. 2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个． 【方法总结】此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.【随堂练习】一．填空题（共5小题）1．（2019春•路北区期中）若、为实数，且满足，则的立方根为　　．2．（2018秋•福田区校级期末）若，，则　　．3．（2019•信阳二模）计算：　 　．4．（2018秋•榆林期末）的立方根是　 　．5．（2019春•定远县期末）若，则　 　．二．解答题（共4小题）6．（2019春•丹江口市期中）解方程：（1）（2）．7．（2019春•洛宁县期末）正数的两个平方根分别为和．（1）求的值；（2）求这个数的立方根．8．（2019春•恩施市期末）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根．9．（2019春•大通区期中）已知3既是的平方根，也是的立方根，求的平方根． 知识点4 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率及一些含的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．2 无理数的性质：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：4  实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．【典例】1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个 【方法总结】本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．常见的无理数形式有四种：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率及一些含的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数和无理数的结合，例如：设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数； 2.把下列各数填入相应的集合：﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣（1）有理数集合{                 }；（2）无理数集合{                 }（3）整数集合{                 }（4）负实数集合{                 } 【方法总结】本题主要考察了实数的分类：3.与最接近的整数是______ 【方法总结】本题考查了估算无理数的大小，在紧邻前后两个完全平方数的算数平方根之间.3.计算：﹣12+（﹣2）3×﹣×（）  【方法总结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【随堂练习】一．填空题（共3小题）1．（2018秋•南召县期末）　 　．2．（2018秋•沈河区期末）如图所示，已知四边形是等边长为2的正方形，，则数轴上点所表示的数是　 　．3．（2019•江油市模拟）设，，，，，设，则　 　（用含的代数式表示，其中为正整数）．二．解答题（共4小题）4．（2019•海港区校级自主招生）（1）已知正数，满足，求的值．（2）先填空：，，　　，　　，　　，然后根据发现的规律，试写出的结果（用表示）．可参考公式，为正整数．5．（2019春•江夏区校级月考）计算（1）（2）；6．（2018秋•渝中区校级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且、两点之间的距离为12．（1）填空：点在数轴上表示的数是　　，点在数轴上表示的数是　　．（2）若线段的中点为，线段上一点，，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒；当　　秒时，原点恰为线段的三等分点．（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为，求与的关系式．7．（2018秋•通州区期末）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”．解答下列问题：（1）若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为　　；（2）若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为　　；（3）点表示的数为，点，表示的数分别是，，点为数轴原点，点为线段上一点．①设点表示的数为，若点可以为点与点的“平衡点”，则的取值范围是　　；②当点以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为秒，求的取值范围，使得点可以为点与点的“平衡点”．   综合运用
1.的平方根是     ． 2.（﹣4）2的算术平方根是   ．3.计算：=      ．   
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为   ． 
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是    ． 6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有   个． 
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为   ． 
8.比大且比小的整数是   ． 9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…①       有理数集合{           …}　②       无理数集合{             …}③       负实数集合{             …}． 
10.计算：﹣2+|﹣2|．  
11.计算：﹣﹣（﹣2）2．      
12.一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为16时．输出的y值是  ；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：     ．