初中数学北师大版八年级上册7 二次根式练习

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第3讲 二次根式


知识点1 二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：①“ ”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
【题干】下列各式中：①y+2；②(-2)4；③a2+3；④x2+6x+9；⑤x2-3，一定是二次根式的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C.
【解析】解：∵y+2有可能小于0，
所以y+2不一定是二次根式；
∵(-2)4=16＞0
∴(-2)4一定是二次根式；
同理，可以判断, a2+3,x2+6x+9一定是二次根式；x2-3不一定是二次根式；
综上可知(-2)4；a2+3；x2+6x+9一定是二次根式．
∴下列各式中：①y+2；②(-2)4；③a2+3；④x2+6x+9；⑤x2-3中，一定是二次根式的个数是3．
故选： C
【方法总结】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．
【随堂练习】
1．（2015春•滨江区期末）当a=﹣3，则=____．
【解答】解：∵a=﹣3，
∴原式==3．
故答案为：3．
　
2．（2018春•东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是　____．
【解答】解：∵8=22×2，
∴n的最小值是2．
故答案为：2．

知识点2 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
1.若代数式x-23有意义，则x满足的条件是______________．
【答案】x≥2．
【解析】解：∵代数式x-23有意义，
x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案是：x≥2．
【方法总结】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．
【随堂练习】
1．（2018春•汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b=　___．
【解答】解：由题意得，a﹣5≥0，5﹣a≥0，
解得，a=5，
则b=﹣4，
则a+b=1，
故答案为：1．
　
2．（2018春•瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____．
【解答】解：根据题意知，2﹣x＞0，
则x＜2，
故答案为：＜2
　
3．（2018春•黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____．
【解答】解：∵与同时成立，
∴故只有x2﹣4=0，即x=±2，
又∵x﹣2≠0，
∴x=﹣2，y==﹣，
4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，
故4y﹣3x的平方根是±．
故答案：±．

知识点3 二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0； a≥0（双重非负性）．
②(a)²=a（a≥0）．
③a2=|a|=&a(a≥0)&-a(a＜0)
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b (a≥0，b≥0)，ab=ab (a≥0，b＞0)
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【典例】
1.实践与探索
（1）填空：32=　　_______； (-5)2=　______　；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时a2=　___　；当a＜0时，a2=　____　；
（3）利用你总结的规律计算：(x-2)2+(x-3)2，其中2＜x＜3．
【解析】解：（1）32=3； (-5)2=5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时a2=a；当a＜0时，a2=﹣a；
故答案为：a，﹣a；
（3）∵2＜x＜3，
∴x﹣2＞0、x﹣3＜0，
原式=| x﹣2|+| x﹣3|
=（x﹣2 ）﹣（x﹣3）
=1．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握a2=|a|=&a(a≥0)&-a(a＜0)，进而化简求出即可．
【随堂练习】
1．（2018春•金乡县期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=，则把x±2变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2=1+2+2=12+（）2+2×1×=（1+）2
∴==1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
【解答】解：（1）∵5+2=3+2+2
=（）2+（）2+2××
=（+）2，
∴==+；

（2）∵7﹣4=4+3﹣4=22+（）2﹣2×2×
=（2﹣）2，
∴==2﹣．
　
2．（2018春•新罗区校级月考）实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|+．

【解答】解：由数轴知2＜a＜4，
则a﹣2＞0、a﹣4＜0，
所以原式=a﹣2+|a﹣4|
=a﹣2+4﹣a
=2．
　
3．（2017秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
（1）（2）．
【解答】解：（1）∵4+2=1+3+2=12++2=（1+）2，
∴==1+；
（2）===﹣．

知识点4 二次根式的乘除法
1．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．
2．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（-4）×（-9）≠（﹣4）×（﹣9）；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
3．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①1a=1a×a∙a=aa；②1a+b=a-b(a+b)∙(a+b)=a-ba-b．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．
【典例】
1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）
A.45 B.a2+b2 C.12 D.3.6
【答案】B.
【解析】解：A、45=35，45不是最简二次根式，错误；
B、a2+b2是最简二次根式，正确；
C、12=22，12不是最简二次根式，错误；
D、3.6=185=3105，3.6不是最简二次根式，错误；
故选：B
【方法总结】
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式．
2.计算(1)2a•8a（a≥0）=　　； （2）12÷6=　　．
【答案】（1）4a； （2）2．
【解析】解：（1）2a•8a（a≥0）=16a2
=4a
（2）12÷6=126
=2．
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则a⋅b=ab；（2）主要考查了二次根式的除法运算法则：ab=ab（a≥0，b＞0）．
3.已知：a=12-3，b=12+3，则a与b的关系是（　　）
A. ab=1 B. a+b=0 C. a﹣b=0 D.a2=b2
【答案】A.
【解析】解：a=12-3=1×(2+3)(2-3)×(2+3)=2+3，
b=12+3=1×(2-3)(2+3)(2-3)=2﹣3，
A、ab=（2+3）×（2﹣3）=4﹣3=1，故本选项正确；
B、a+b=（2+3）+（2﹣3）=4，故本选项错误；
C、a﹣b=（2+3）﹣（2﹣3）=23，故本选项错误；
D、∵a2=（2+3）2=4+43+3=7+43，b2=（2﹣3）2=4﹣43+3=7﹣43，
∴a2≠b2，故本选项错误；
故选：A
【方法总结】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．
【随堂练习】
1．（2018春•遵义期中）观察思考：（）2=，（）2=，（）2=，（）2=…由此得到：
（1）（）2=_______．
（2）计算（）2（说明：式子中的n是正整数，写出解题过程）．
【解答】解：（1）根据题意知（）2=，
故答案为：；

（2）原式=（3×）2
=32×（）2
=9×
=．
　
2．（2017春•分宜县校级期中）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
×___， ×____，
×____， ×____…
用，，表示上述规律为：_______；
（2）利用（1）中的结论，求×的值
（3）设x=，y=试用含x，y的式子表示．
【解答】解：（1）∵×=2×4=8，==8，
∴×=，
×=，
×=
×=，
故答案为：=，=，=，=，•=（a≥0，b≥0）；

（2）×
=
=
=2；

（3）∵x=，y=，
∴=
=
=x•x•y
=x2y．

知识点5 二次根式的加减法
1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【典例】
1.下列各式中，与3是同类二次根式的是（　　）
A.9 B.27 C.18 D.24
【答案】B.
【解析】解：A、9=3与3被开方数不同，不是同类二次根式；
B、27=33与3被开方数相同，是同类二次根式；
C、18=32与3被开方数不同，不是同类二次根式；
D、24=26与3被开方数不同， 不是同类二次根式．
故选：B
【方法总结】
本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．
2.计算212﹣613+8的结果是（　　）
A.32﹣23 B.5﹣2 C.5﹣3 D.22
【答案】A.
【解析】解：212﹣613+8
=2×22﹣6×33+22，
=2﹣23+22，
=32﹣23．
故选：A
【方法总结】
本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
3.计算
（1）18a⋅2a(a≥0)
（2）412÷214
（3）12+18-8-32
（4）(3+10)(2-5)．
【解析】解：（1）18a⋅2aa≥0
=18a×2a
=6a2
=6a
（2）412÷214
=92×49
=2
（3）12+18-8-32
=23+32﹣22﹣42
=23﹣32
（4）3+102-5
=32﹣35+25﹣52
=﹣22﹣5
【方法总结】
本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．
【随堂练习】
1．（2018春•石家庄期中）计算：
（1）÷×
（2）﹣（4﹣）
（3）（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2
（4）|﹣|+|﹣2|+
【解答】解：（1）原式=
=1；
（2）原式=3﹣2+5
=6；
（3）原式=49﹣48﹣（45﹣6+1）
=1﹣46+6
=﹣45+6；
（4）原式=﹣+2﹣+2
=4﹣．
　
2．（2018春•东莞市校级月考）计算；5﹣+2﹣（+3）2．
【解答】解：原式=﹣+6﹣（5+6+9）
=6﹣14﹣6
=﹣14．
　
3．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）=3、•=a（a≥0）、（+1）（﹣1）=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；=．
解答下列问题：
（1）3﹣与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，=，
故答案为：3，；
（2）
=﹣2
=2﹣；
（3）∵，
∴a（﹣1）+b=﹣1+2，
∴﹣a+（a+）=﹣1+2，
∴﹣a=﹣1，a+=2，
解得，a=1，b=2．

知识点6 二次根式化简求值
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【典例】
1.已知x=3+22，y=3﹣22，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2； （2）xy+yx．
【解析】解：∵x=3+22，y=3﹣22，
∴x+y=6，
xy=（3+22）（3﹣22）
=1，
∴x+y=6，xy=1，
（1）∵x+y=6，xy=1，
∴x2y+xy2=xy（x+y）
=1×6
=6；
（2）∵x+y=6，xy=1，
∴xy+yx=x2+y2xy
=(x+y)2-2xyxy
=62-2×11
=34．
【方法总结】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．先计算出x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y），xy+yx变形为(x+y)2-2xyxy，然后利用整体代入的方法计算．
【随堂练习】
1．（2018春•兴义市期中）阅读下面的问题：
﹣1；
=；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
【解答】解：（1）==，
==；
（2）==，
==；
（3）+
=
=﹣1+
=﹣1+10
=9．
　
2．（2018春•包河区期中）已知：a=﹣1，求÷（2﹣）的值．
【解答】解：原式=÷（﹣），
=÷，
=•，
=a（a+2），
当a=﹣1时，
原式=（﹣1）（﹣1+2）=（﹣1）（1）=2﹣1=1．
　
3．（2018春•琼中县期中）已知x+1=，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．
【解答】解：原式=（x+1﹣2）2=（x﹣1）2，
由x+1=，得到x=﹣1，
则原式=7﹣4．

综合运用
1.计算：2xy•8y=　___　，12×27=_________；53÷554=　_____　．
【答案】4yx；18；32．
【解析】解：2xy•8y=2xy∙8y
=4y2∙x
=4y2∙x
=4yx，
故2xy•8y=4yx，
12×27=4×3×3×9
=4×3×3×9
=3×3×4×9
=3²×6²
=3×6
=18；
故12×27=18．
53÷554=53÷554
=53×545
=18
=9×2
=9×2、
=32．
故答案为：4yx；18；32．

2.化简27的结果是____________．
【答案】33．
【解析】解：先把27分解为9×3，再把9开方即可．
∴27=9×3
=9×3
=33；
故化简27的结果是33．

3.已知x=3+22，y=3﹣22，则式子x2y﹣xy2的值为____________．
【答案】42．
【解析】解：∵x=3+22，y=3﹣22，
∴x-y=3+22-（3-22）
=3+22-3+22
=42
xy=（3+22）×（3-22）
=3²-（22）²
=9-8
=1
即x-y=42，xy=1，
∵x-y=42，xy=1，
∴x2y﹣xy2
=xy（x﹣y）
=1×42
=42．
故答案为：42．

4.求下列式子有意义的x的取值范围
（1）14-3x； （2）3-xx-2； （3）x-3x-2；
（4）-x2； （5）2x2+1； （6）2x-3+3-2x．
【解析】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，
解得x＜43．
所以x的取值范围是x＜43．
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；
分母x-2≠0，解得x≠2．
所以x的取值范围是x≤3且x≠2．
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
因为大于或等于3的数中不包含2这个数，
所以x的取值范围是x≥3．
（4）根据题意得：﹣x2≥0，即x2≤0
∵x2≥0，x2≤0，
∴x2=0，
解得x=0．
∴x的取值范围是x=0；
（5）根据题意得：2x2+1≥0，
∵x2≥0，
∴2x2+1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥32；
2x﹣3≤0，解得x≤32．
综上，可知x=32．
∴x的取值范围是x=32．

5.计算：35+212-20-1232．
【解析】解：原式=35+2﹣25﹣22
=5﹣2．

6.计算：①（3﹣7）（3+7）+2（2﹣2） ②48÷3﹣12×12+24
【解析】解：①原式=32﹣（7）2+22﹣2
=9﹣7+22﹣2
=22；
②原式=48÷3﹣12×12+26
=16﹣6+26
=4+6．

7.已知x=3+2，y=3﹣2．
求（1）x3y+xy3；
（2）3x2﹣5xy+3y2的值．
【解析】解：∵x=3+2，y=3﹣2．
∴x+y=3+2+3﹣2
=23
xy=(3+2)×（ 3-2）
=(3 )²-（ 2 ）²
= 3-2
=1
（1）原式=xy（x2+y2）
=xy[（x+y）2﹣2xy]
=1×[（23）2﹣2×1]
=10
（2）原式=3（x2+y2）﹣5xy
=3[（x+y）2﹣2xy]﹣5xy
=3（x+y）2﹣11xy
=3×（23）2﹣11×1
=36-11
=25．