数学八年级上册2 平面直角坐标系达标测试

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第4讲 平面直角坐标系

知识点1 有序数对
像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
注意：当时，和是不同的两个有序数对．
【典例】
1.如下图所示，B表示为（4，5），B左侧第二个人的位置是 （ ）

A. （2，5） B. （5，2） C. （2，2） D. （5，5）
【答案】A.
【解析】解：B的位置是四列五行，表示为（4，5），列数在前，行数在后，
B左侧第二个人的位置是二列五行，表示为（2，5）
故选：A

2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？

【答案】略
【解析】解：2街4巷为点（2，4），4街2巷为点（4，2），如下图所示：

从2街4巷到4街2巷，走最短的路线
从点（2，4）到点（4，2）有6种走法，分别为
1、（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）；
2、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
3、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
4、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
5、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
6、（2，4）→（2，3）→（2，2）→（3，2）→（4，2）．
【方法总结】
第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求各点的位置．
第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题意，因为“走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找出符合条件的线段．
【随堂练习】
1．（2018春•嘉祥县期中）雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息﹣距离和角度，目标的表示方法为（m，α），其中，m表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B，C处有目标出现，其中，目标A的位置表示为A（5，30°），目标C的位置表示为C（3，300°）．用这种方法表示目标B的位置，正确的是（　　）

A．（﹣4，150°） B．（4，150°） C．（﹣2，150°） D．（2，150°）
【解答】解：∵A（5，30°），C（3，300°），
∴B（4，150°）．
故选：B．
　
2．（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（　　）

A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）
【解答】解：如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2﹣16=9，
OA=OD﹣AD=40﹣30=10，
∴P（9，10）；
故选：C．

　
3．（2018•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．
故选：D．

知识点2 各象限内点的坐标特征
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做横轴或轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．

2、象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．

3、点的坐标
对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作．如下图为A（4，5）点坐标．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．

4、各象限内点的坐标特征
点在第一象限；
点在第二象限；
点在第三象限；
点在第四象限．


【典例】
1.在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长度的点有____________．
【答案】（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）
【解析】解：设该点坐标为（x，y）
∵满足条件的点到x轴的距离等于2个单位长度，
∴该点纵坐标的绝对值等于2，即，
∵到y轴的距离等于3个单位长度，
∴该点横坐标的绝对值等于3，即
∴满足条件的点一共有4个，分别是：
（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2），

2.已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第______象限．
【答案】三
【解析】解：∵a•b＞0，
∴a、b同号
∵a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴点M（a，b）在第三象限．
故答案为：三
【方法总结】
第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值．
第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于a•b＞0，则a、b同号，而a+b＜0，可得a＜0，b＜0．同理当 a•b＞0，a+b>0时，可得a>0，b>0．
四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【随堂练习】
1．（2018•扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【解答】解：由题意，得
x=﹣4，y=3，
即M点的坐标是（﹣4，3），
故选：C．
　
2．（2018•沈河区一模）在平面直角坐标系内，点P（a，a+3）的位置一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：当a为正数的时候，a+3一定为正数，所以点P可能在第一象限，一定不在第四象限，
当a为负数的时候，a+3可能为正数，也可能为负数，所以点P可能在第二象限，也可能在第三象限，
故选：D．
　
3．（2018•深圳模拟）点P（x﹣1，x+1）不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：本题可以转化为不等式组的问题，看下列不等式组哪个无解，
（1），解得x＞1，故x﹣1＞0，x+1＞0，点在第一象限；
（2），解得x＜﹣1，故x﹣1＜0，x+1＜0，点在第三象限；
（3），无解；
（4），解得﹣1＜x＜1，故x﹣1＜0，x+1＞0，点在第二象限．
故选：D．
　
4．（2018•雨花区校级一模）若点A（﹣6，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点A（﹣6，n）在x轴上，
∴n=0，
∴点B（n﹣1，n+1）为：（﹣1，1），
则点B在第二象限．
故选：B．

知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征
1、坐标轴上点的坐标特征：
点在轴上，为任意实数；
点在轴上，为任意实数；
点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为．
2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：
点在第一、三象限夹角的角平分线上；
点在第二、四象限夹角的角平分线上．
【典例】
1.如果点P（a，b）在x轴上，那么点Q（ab，﹣1）在（　　）
A. y轴的正半轴上 B. y轴的负半轴上
C. x轴的正半轴上 D. x轴的负半轴上
【答案】B.
【解析】解：∵点P（a，b）在x轴上，
∴b=0，
∴ab=0，
∴点Q（ab，﹣1）在y轴负半轴上．
故选：B
2.已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，则点P的坐标是_________．
【答案】（6，﹣6）
【解析】解：∵点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，
∴（2﹣a）+（3a+6）=0，
解得a=﹣4，
∴横坐标：2﹣a=2﹣（﹣4）=6，
∴点P的坐标为（6，﹣6）．
故答案为：（6，﹣6）．
【方法总结】
第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为0；点在y轴上时，横坐标为0．
第二题考查坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数．
【随堂练习】
1．（2018•平南县二模）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是（　　）
A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2）或（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）或（2，﹣2）
【解答】解：∵点N在第一、三象限的角平分线上，
∴点N到y轴的距离也为2，
当点N在第一象限时，点N的坐标为（2，2）；
点N在第三象限时，点N的坐标为（﹣2，﹣2）．
所以，点N的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．
故选：C．
　
2．（2018•滨湖区二模）已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m的值为 （　　）
A．6 B．﹣1 C．2或3 D．﹣1或6
【解答】解：∵点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限角平分线上，
∴m2﹣2=5m+4，
∴m2﹣5m﹣6=0，
解得m1=﹣1，m2=6，
当m=﹣1时，m2﹣2=﹣1，
点A（﹣1，﹣1）在第三象限，不符合题意，
所以，m的值为6．
故选：A．
　
3．（2018春•迁安市期末）已知点P（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　）
A．（3，3） B．（6，﹣6） C．（3，﹣3） D．（3，3）或（6，﹣6）
【解答】解：∵点P（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，
∴|2﹣a|=|3a+6|，
∴2﹣a=3a+6或2﹣a=﹣（3a+6），
解得a=﹣1或a=﹣4，
当a=﹣1时，2﹣a=2﹣（﹣1）=2+1=3，
当a=﹣4时，2﹣a=2﹣（﹣4）=2+4=6，
∴点P的坐标为（3，3）或（6，﹣6）．
故选：D．

知识点4 规律性--点的坐标
在平面直角坐标系内找点的规律：
1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；
2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；
3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A1，逆时针旋转90°后前进2个单位长度到达A2，逆时针旋转90°后前进3个单位长度到达A3，…，逆时针旋转90°后前进2018个单位长度到达点A2018，则点A2018的坐标为________．

【答案】（1009，1010）
【解析】解：如图所示：
∵A1（1，0），A2（1，2），A3（﹣2，2），A4（﹣2，﹣2），
A5（3，﹣2），A6（3，4），A7（﹣4，4），A8（﹣4，﹣4），
A9（5，﹣4），A10（5，6），
A11（﹣6，6）…
观察图形规律，一三象限内是偶次数点，其中第三象限的点次数是4的整数倍，第一象限的点次数除以4余2；
因为2018÷4=504……2，所以点A2018在第一象限；
观察第一象限内点的坐标规律：A2（1，2），A6（3，4），A10（5，6）……，可得A2018点的坐标为（1009，1010）．
故答案为：（1009，1010）．
【方法总结】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐标规律，即可判断点A2018在第一象限；再观察第一象限内的点A2（1，2），A6（3，4），A10（5，6）的规律，发现第一象限内的点An的横坐标为，纵坐标为，所以第一象限内点A的坐标为，所以点A2018点的坐标为（1009，1010）．
【随堂练习】
1．（2018春•曲阜市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（　　）

A．（﹣26，50） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（25，50）
【解答】解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2=50；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．
故点P100的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．
故选：C．
　
2．（2018春•新罗区期末）如图，在直角坐标系中，A（1，3），B（2，0），第一次将△AOB变换成△OA1B1，A1（2，3），B1（4，0）；第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，A2（4，3），B2（8，0），第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，……，则B2018的横坐标为（　　）

A．22016 B．22017 C．22018 D．22019
【解答】解：B2018的横坐标是（22019，0），
故选：D．
　
3．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第10次跳动至点A10的坐标是______，点A第100次跳动至点A100的坐标是_____．

【解答】解：由图象可知，点A每跳两次，纵坐标增加1，A2、A4、A6、A8…各点坐标依次为（2，1）、（3，2）、（4，3）、（5，4）…
则A2n横坐标为：n+1，纵坐标为n
则A10坐标为（6，5）
A100坐标为（51，50）
故答案为：（6，5），（51，50）

综合运用
1.如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示____________．
【答案】九年级六班
【解析】解：根据（7，3）表示七年级三班，即第1个数表示年级，第2个数表示班级，所以（9，6）表示九年级六班．

2.如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：（3，1）→（_______）→（_______）→（_______） → （1，3）．（答案不唯一）

【答案】（2，1）；（2，2）；（2，3）
【解析】解：答案不唯一．

3.已知点A（3a，2b）在x轴上方，y轴的左边，则点A到x轴、y轴的距离分别为____________．
【答案】2b， ﹣3a
【解析】解：∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，
∴点A到y轴的距离是﹣3a
所以点A到x轴的距离是2b，到y轴的距离是﹣3a
故答案为：2b， ﹣3a

4.已知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）在第_________象限．
【答案】三
【解析】解：∵点（a，b）在笫二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，a﹣b＜0，
∴点（ab，a﹣b）在第三象限．
故答案为：三

5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出，从里向外第41个正方形（实线）四条边上的整点个数共有_______个．

【答案】164
【解析】解：设从里向外第n个正方形四条边上的整点个数共有an（n为正整数）个，
观察，发现：a1=4，a2=8，a3=12，a4=16，…，
∴an=4n．
当n=41时，a41=41×4=164．
所以从里向外第41个正方形四条边上的整点个数共有164个
故答案为：164．

6. 如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从点P（0，1）出发，沿着图示折线方向移动，第一次到达点（1，1），第二次达到点（1，0），第三次达到点（1，﹣1），第四次达到点（2，﹣1），…，按照这样的规律，第2018次到达点的坐标应为_______．

【答案】（673，0）
【解析】解：设第n次到达的点为Pn，
观察，发现规律：P0（0，1），P1（1，1），P2（1，0），P3（1，﹣1），P4（2，﹣1），P5（2，0），P6（2，1），…，
蚂蚁移动6次是一个循环，每个循环向右移动2个单位
∵2018÷6=336……2
∴点P2018是由点P2（1，0）向右经过336个循环后得到的
∴点P2018的坐标为（2×336+1，0）即（673，0）．
故答案为：（673，0）．

7.请写出点A，B，C，D，的坐标．

【答案】略
【解析】解：A（3，2）；B（﹣3，4）；C（﹣4，﹣3）；D（3，﹣3）．

8.已知点P的坐标为（2m﹣1，m+7）．
（1）若点P在x轴上，试求m的值；
（2）若点P在二四象限的角平分线上，求m的值；
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在x轴上，
∵m+7=0，
m=﹣7；
（2）∵点P在二、四象限的角平分线上，
∴2m﹣1与m+7互为相反数
即：2m﹣1+m+7=0，
∴m=﹣2；

9.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在第三象限的角平分线上
∴4x与 x﹣3相等，即4x=x﹣3，
解得x=﹣1
∴点P在第三象限的角平分线上时，x=﹣1．
（2）∵点P在第四象限
∴4x>0，x﹣3