北师大版初二数学上册（秋季班）讲义 第10讲 解二元一次方程组--尖子班

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第10讲 二元一次方程组知识点1 二元一次方程的概念方程、，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1.像这样的方程，叫做二元一次方程.二元一次方程需要满足的条件：1、只含有两个未知数；2、含未知数项的最高次数是1；3、整式方程.【典例】1.若方程是关于的二元一次方程，则． 【方法总结】有关二元一次方程的定义及其相关概念的问题，一般从其定义或概念需要满足的条件入手，通过建立方程模型，从而求出待定系数或相关字母值.【随堂练习】1．（2019春•高邮市期中）若是关于、的二元一次方程，则　　．2．（2019春•滨州期中）已知是关于和的二元一次方程，则的值为　　．3．（2019春•站前区校级期中）若是关于，的二元一次方程，则　　．知识点2 二元一次方程的解适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.如是方程的一个解，记作.【典例】1.已知关于的二元一次方程，当时，；若无论取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为________．【方法总结】1、根据二元一次方程的解，求字母参数的取值，只需把它的解代入方程中，建立关于参数的方程，解方程即可求出参数的值.2、已知方程的解与某个字母参数的取值无关时，只需要对这个方程进行化简，把含字母参数的项进行合并，并令合并后的字母参数的系数为0，即可求得字母参数的值.【随堂练习】1．（2019春•嵊州市期中）方程且，则的值为　　A．5 B．6 C．7 D．82．（2018春•晋江市期中）已知是二元一次方程的解，又是下列哪个方程的解？　　A． B． C． D．3．（2019春•蒸湘区校级月考）已知二元一次方程的一组解为，则　　．4．（2019春•宝应县期末）已知是是二元一次方程的解，则　　．5．（2019春•兴城市期末）已知是方程的解，则　　．6．（2019春•陆川县期末）已知二元一次方程的一个解是，其中，，则　　．7．（2019春•天津期末）若是方程的解，则的值是　　．8．（2018春•工业园区期末）已知是方程的解，那么的值是　　．9．（2018春•姜堰区期末）已知和是二元一次方程的两个解．（1）求、的值；（2）若，求的取值范围．知识点3解二元一次方程组---代入消元法代入消元法：把方程组的一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程，消去一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.【典例】1.用代入法解方程组（1）； （2）.【方法总结】用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.知识点4 解二元一次方程组---加减消元法把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.【典例】1.用加减消元法解下列二元一次方程组（1）&2x+3(y-2)=6&x-y2=2；（2）&7x+4y=2①&3x-6y=24②．【方法总结】先将给出的二元一次方程组进行适当变形，再利用加减消元法进行求解，它的使用场景如下：1.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相相减；2.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反时，把两个方程的两边分别相加.3.当两个二元一次方程中同一个未知数的系数均不相等或互为相反数时，可以找其中一个相同未知数系数的最小公倍数，将它们通过变形，把系数变为相同或相反.【随堂练习】1．（2017秋•滕州市期末）解方程组：（1）（2）【补充练习】1．（2019春•莘县期中）解下列方程组：（1）（2）．2．（2019春•内江期末）已知．当时，；当时，．（1）求出，的值；（2）当时，求代数式的取值范围．3．（2019春•河南期末）解下列方程（组（1）（2）．4．（2019春•南召县期中）解方程组：．5．（2018春•江都区期中）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较大值，，表示、中的较小值．如：，，，．按照这个规定：解方程组：．6．（2016春•平谷区期末）阅读理解：善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组①和②之间存在一定关系，他的解法如下：解：将方程②变形为：③．把方程①代入方程③得：，解得 ．把代入方程①得 ．原方程组的解为．小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：（1）解方程组：；①把方程①代入方程②，则方程②变为　　；②原方程组的解为　 　．（2）解方程组：．知识点5 二元一次方程组的解的概念二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.【典例】1.已知方程组 的解为，则的值为________． 【方法总结】已知二元一次方程组的解，求参数或某些含参代数式的值，只需把它的解代入方程组中，得到关于参数的新方程组，解这个新方程组，求出参数的值，进而求得含参代数式的值.【随堂练习】1．（2018春•顺义区期末）下列方程组：①，②，③，其中是二元一次方程组的是（　　）A．①② B．②③ C．①③ D．③　2．（2017春•长宁县月考）已知方程组是二元一次方程组，求m的值．知识点6 同解方程组【典例】1.（1）已知方程组和方程组的解相同，求的值． （2）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算：．【方法总结】1.已知两个含参方程组的解相同，只需把它们之中不含参的方程组成新的方程组，解方程组，求得它们共有的解，再将它们分别代入含参的方程中，求得参数的值.2.关于看错字母问题，只需把所得的解代入未看错的方程中，分别求解即可.【随堂练习】1．（2017春•太康县期中）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．　知识点7 解三元一次方程组1、一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.2、解三元一次方程组的基本思想是消元，即应用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.【典例1】1.解三元一次方程组． 【方法总结】解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，加减法比较常用，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案.例如：当三个方程中有一个方程是二元一次方程，则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中缺少的那个元，即“缺某元，消某元”.2.若2x﹣3y+z=0，3x﹣2y﹣6z=0，且xyz≠0，求的值． 【方法总结】已知两个一次方程，含有三个未知数（如： ），求关于这三个未知数的代数式的值，只需把其中一个未知数（如：）当作一个常数，解关于另外两个未知数（如： ）的二元一次方程组，将求得的解代入代数式中，即可求得代数式的值.【随堂练习】1．（2018秋•沙坪坝区校级期末）“驴友”小明分三次从地出发沿着不同的线路线，线，线）去地．在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完线，在线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比线上升了，，，若他用了小时穿越丛林、小时涉水行走和小时攀登走完线，且，，都为正整数，则　　．2．（2019春•港南区期中）有甲，乙，丙三种笔，已知买甲种笔2支和乙种1支，丙种3支共12、5元，买甲种1支，乙4支，丙种5支，共18、5元，那么买甲种1支，乙种2支，丙种3支，共需　　元．3．（2019春•监利县期末）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组（2）已知、、，满足试求的值．4．（2019春•洛江区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员：月销售件数200件，月总收入2400元；营业员：月销售件数300件，月总收入2700元；假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元．（1）求、的值；（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？5．（2019春•来宾期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元． 综合运用1.关于的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是____ 2.已知是方程组的解，则． 3.已知方程是二元一次方程，则． 4.解方程组．5.用加减消元法解二元一次方程组&3(x-1)=y+5&5y-6=3(x+4)．6.已知方程组和有相同的解，求的值． 7.甲、乙两人共同解方程组由于甲同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为．请计算代数式的值． 8.解方程组：&3x-y+z=10①&x+2y-z=6②&x+y+2z=17③．9.已知：，求的值．车型甲乙丙汽车运载量（吨辆）5810汽车运费（元辆）400500600