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北师大版初二数学上册（秋季班）讲义 第11讲二元一次方程组的应用--尖子班
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第11讲 二元一次方程组的应用 知识点1 配套问题在配套问题中，已知a件甲商品和b件乙商品恰好配成一套，即一套中甲乙的数量比是a：b，要使生产出的产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为a：b.【典例】1.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】略 【解析】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，则每天可生产大齿轮16x个，每天可生产小齿轮10y个.等量关系：1. 生产大齿轮的工人数+生产小齿轮的工人数=85名；2.大齿轮的数量：小齿轮的数量=2：3→大齿轮数量×3=小齿轮数量×2.根据等量关系列出方程组：，整理得，，解得：．答：需安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮．【方法总结】对于配套问题中的“二合一”问题，可以利用“甲乙两物品在总量中的数量比等于它们在每一套中的数量比”列出比例关系，根据比例的内项之积等于外项之积转化为方程进行求解即可.【随堂练习】1．（2018•市南区一模）某学校要新购置一批课桌椅，现有甲、乙两种规格的课桌椅可供选择．已知购买甲种课桌椅3套比购买乙种2套共多60元；购买甲种5套和乙种3套，共需1620元．求甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是多少元？若设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是x和y元，根据题意，可列方程组为 ．【解答】解：设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是x和y元，根据题意可得：，故答案为：， 2．（2016春•长春校级期末）某生产车间共有36名工人，已知每名工人每小时可以生产螺丝帽50个，或者生产螺丝钉20个，已知一个螺丝钉要配两个螺丝帽，则如何安排人员才能使所生产的螺丝帽与螺丝钉正好配套．【解答】解：设安排x人生产螺丝帽，安排y人生产螺丝钉，由题意得，，解得：，答：安排16人生产螺丝帽，安排20人生产螺丝钉．知识点2 行程问题一、路程=速度×时间二、设甲、乙两人相距一定距离.1.相遇问题---甲、乙两人相向而行后相遇：甲、乙两人之间的初始距离=甲所走的路程+乙所走的路程.2.追及问题---甲、乙同向而行后相遇：①同时不同地：速度快的所走路程=速度慢的所走路程+甲乙之间的初始距离；②同地不同时：甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+慢者比快者多用用的时间.三、航行问题1.船：顺水速度=静水速度+水速 逆水速度=静水速度-水速.2.飞机：顺风速度=静风速度+风速 逆风速度=静风速度-风速.3.静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷24.水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2【典例】1.甲、乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇，若同向而行，乙要14时才能追上甲，则甲、乙二人每小时各走多少千米？ 【答案】略 【解析】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米．等量关系为：1.相向而行---甲走的路程+乙走的路程=甲乙相距的距离（42km）；2.同向而行---乙走的路程=甲走的路程+甲乙相距的距离（42km）．根据等量关系列出方程：，解得.答：甲、乙两人每小时各走9km、12km.【方法总结】解决此类问题，要弄清题意，按照题意画出线路图，分析各数量之间的关系.在审题时需要注意一些重要问题：是否同时出发，驶的方向是相向还是背向，是否相遇，若未相遇要把相距的路程去掉.2.两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？ 【答案】略 【解析】解：设这艘轮船在静水中的速度为x千米/时，水的流速为y千米/时，则顺水速度为（x+y）千米/时，逆水速度为（x-y）千米/时根据题意得，，解得：．答：这艘轮船在静水中的速度为17千米/时，水的流速为3千米/时．【方法总结】解决航行中的顺流、逆流问题，需要灵活掌握顺流、逆流时速度之间的关系，并能对它们之间的关系进行灵活转化.【随堂练习】1．（2018春•沈丘县期末）客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度．【解答】解：设客车的速度为xm/s，货车的速度为ym/s，由题意得，，解得：．答：客车的速度为30m/s，货车的速度为20m/s． 2．（2018春•荔湾区期末）列方程（组），解应用题甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．【解答】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：，解得：，答：甲的速度分别为m/s，乙的速度分别为m/s．知识点3 销售问题单价×数量=总价利润=实际售价-成本实际售价=标价（原价）×折扣 【典例】1.小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表所示，（1）在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；（2）求出商品A、B的标价；（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】略 【解析】解：（1）对比第二次和第三次可以发现，由购买的A和B的数量都增多时，购买总费用反而降低可知，所以小林在第三次以折扣价购买了商品A和B．故答案为：三；（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得，解得：．答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据“单价×数量=总价”、“标价×折扣=售价”，得（9×90+8×120）×=1062.解得：a=6．答：商店是打6折出售这两种商品的．【方法总结】关于销售相关的应用题，首先需要先找到等量关系，再理清题干中的各种量之间的关系，对应到等量关系中，设出合适的未知数，列出的方程进行求解.在这里需要注意，打几折就是用原价乘以十分之几.2.有一商场计划用7万元从厂家购进60台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场销售一台甲种电视机可获利200元，销售一台乙种电视机可获利300元，销售一台丙种电视机可获利400元，在同时购进两种不同型号电视机方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？ 【答案】略 【解析】解：（1）设购买电视机甲种x台，乙种y台，丙种z台，由题意得：，解得.②解得（舍去）③解得.综上所述，进货方案为：甲种40台，乙种20台或甲种56台，乙种4台；（2）方案一：40×200+20×300=14000（元）．方案二：56×200+4×400=12800（元）．购买甲种电视机40台，乙种电视机20台获利最多．【方法总结】本题是利润问题中的方案选择问题，需要根据花费的钱数，判断每件产品的购买数量，再利用方案中的产品数量乘以每件产品获得的利润，便可得出本方案的总盈利，比较不同方案的大小，得到最优方案.【随堂练习】1．（2018•长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得：，解得：．答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）=3120（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元． 2．（2018•如皋市一模）某专卖店有A，B两种商品．已知在打折前，买20件A商品和10件B商品用了400元；买30件A商品和20件B商品用了640元．A，B两种商品打相同折以后，某人买100件A商品和200件B商品一共比不打折少花640元，计算打了多少折？【解答】解：设打折前A商品的单价为x元/件，B商品的单价为y元/件，根据题意得：，解得：．打折前，购买100件A商品和200件B商品一共要用100×16+200×8=3200（元），打折后，购买100件A商品和200件B商品一共要用3200﹣640=2560（元），∴=．答：打了八折．知识点4 数字问题1.两位数的表示方法：2.三位数的表示方法：【典例】1.有两个两位数，其十位数字均是个位数字的一半，第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1，第一个数加上第二个数后仍为两位数，且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数，求第一个两位数． 【答案】略 【解析】解：设第一个两位数十位数字为x，个位数字为y，则第一个数十位与个位交换数字后的两位数为10y+x.根据等量关系列出方程组：解得.答：第一个两位数是48．【方法总结】1.表示一个两位数或三位数时，需要明确，个位上的数字需要×1，十位上的数字需×10，百位数字需×100，再把每一部分相加即可表示出相应的两位数或三位数.2.当题干中给出的数字关系比较复杂时，可借助表格，便于理清它们之间的关系.2.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数． 【答案】略 【解析】解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，当在较大的两位数的右边接着写较小的两位数时，相当于把较大两位数扩大100倍，这个四位数可表示为100x+y.当在较大的两位数的左边接着写较小的两位数时，相当于把较小两位数扩大100倍，这个四位数可表示为100y+x.根据等量关系列出方程组: ，化简得：，即，解得．答：这两个数是45和23．【方法总结】1.已知两个两位数分别是a和b：当数a在数b左侧时，所得四位数为100a+b；当数a在数b右侧时，所得四位数为100b+a.2.已知一个两位数和一个三位数分别为c和d：当数c在数d的左侧时，所得五位数为1000c+d；当数c在数d的右侧时，所得五位数为100d+c.【随堂练习】1．（2018•姜堰区二模）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利40元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低30元销售该商品3件所获得的利润相等，求该商品每件的进价和定价分别是多少元？【解答】解：设进价为x元，定价为y元根据题意得：解得： 答：该商品每件的进价和定价分别是130元，170元 2．（2018春•房山区期末）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数如下表所示：那么小亮在12：00时看到的两位数是____，并写出解答过程．【解答】解：设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶速度为v，根据题意得：，解得：x=y，∵x，y为1﹣9内的自然数，∴x=7，y=2．答：小亮在12：00时看到的两位数是27．故答案为：27．知识点5 梯度收费问题1.用电收费问题：标准电价部分的电费+超过标准用电量部分的电费=总电费.2.用水收费问题：标准水价部分的水费+超过标准用水量部分的水费=总水费.【典例】1.为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？【答案】略 【解析】解：设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，根据等量关系得，整理得.解得，答：二档电价是0.7元/度、三档电价是0.9元/度．【方法总结】这类题型，需要准确确定每一档的用电量，并按照相应的档位来收费，再根据等量关系建立方程组进行求解.【随堂练习】1．（2017•丹阳市二模）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：（1）求该市居民用水的两种收费价格；（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为___ m3．【解答】解：（1）设基本水费价格为：x元/m3，超过的部分水费价格为：y元/m3，，解得：，答：基本水费价格为：3元/m3，超过的部分水费价格为：5元/m3；（2）∵3×15=45＜80（元），∴这个月一定超过15立方米，则15×3+5（a﹣15）=80，解得：x=22．答：这个月该用户用水22立方米．故答案为：22．综合运用1.某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件x天，乙种零件y天，则根据题意列二元一次方程组是________________________． 【答案】 【解析】解：本题的等量关系由题意可得，，故答案为：．2.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），设用m布料做衣身，用m布料做衣袖，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【答案】略【解析】解：设用m布料做衣身，用m布料做衣袖，等量关系：1.做衣身的布料+做衣袖的布料=132；2.衣身总数量：衣袖的总数量=1:2→衣身的总数量×2=衣袖的总数量×1.根据等量关系列出方程：，解得：．答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖恰好配套．3.已知，甲、乙两人相距36千米．（1）如果甲、乙两人相向而行，若甲比乙先走2小时，则他们在乙出发2.5小时后相遇，若乙比甲先走2小时，则他们在甲出发3小时后相遇，求甲、乙两人每小时各走多少千米？（2）如果甲、乙两人保持（1）中速度，两人同时、同向而行，直接写出1小时后两人相距多少千米． 【答案】略 【解析】解：（1）设甲的速度为千米/时，乙的速度分别为千米/时，等量关系：1.甲乙两人之间的距离=36千米；2.甲走的路程+乙走的路程=36千米根据等量关系列出方程：，解得：．答：甲的速度是6千米/时，乙的速度是3.6千米/时．（2）当两人都往甲的方向行走时，两人之间的距离为：36+6﹣3.6=38.4（千米）.当两人都往乙的方向行走时，两人之间的距离为：36+3.6﹣6=33.6（千米）．答：1小时后，甲、乙相距38.4千米或33.6千米．4.一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，求这个两位数是多少？ 【答案】略【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．则，解得．所以这个两位数为73.5.一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数． 【答案】略 【解析】解：设三位数为x，两位数为y，由题意得：，解得：，答：三位数为250，两位数为25．6.某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，（1）这种商品A的进价为多少元？（2）现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%．对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6670元，则需对商品A、B分别进货多少件？ 【答案】略 【解析】解：（1）设这种商品A的进价为每件a元，由题意得：（1+10%）a=900×90%﹣40，解得：a=700，答：这种商品A的进价为700元；（2）设需对商品A进货x件，需对商品B进货y件，根据题意，得：，解得：，答：需对商品A进货67件，需对商品B进货33件．7.为鼓励居民节约用水，某市试行阶梯水价收费制，具体执行方案如下：例如：一户居民七月份用水12方，则需缴水费12×3.5=42（元）．某户居民六、七月份共用水18方，缴水费54元，已知该用户七月份用水量大于六月份，且六、七月份的用水量均大于5方．问该户居民六、七月份各用水多少方？ 【答案】略 【解析】解：设六月份用水为x方，七月份用水量为y方.依题意得解得答：六月份用水为6方，则七月份用水量为12方． 时刻12：0013：0016：00里程碑上的数是一个两位数十位数和个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了比12：00时看到的两位数中间多了个0月份用水量/m3水费/元4165052070
第11讲 二元一次方程组的应用 知识点1 配套问题在配套问题中，已知a件甲商品和b件乙商品恰好配成一套，即一套中甲乙的数量比是a：b，要使生产出的产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为a：b.【典例】1.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】略 【解析】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，则每天可生产大齿轮16x个，每天可生产小齿轮10y个.等量关系：1. 生产大齿轮的工人数+生产小齿轮的工人数=85名；2.大齿轮的数量：小齿轮的数量=2：3→大齿轮数量×3=小齿轮数量×2.根据等量关系列出方程组：，整理得，，解得：．答：需安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮．【方法总结】对于配套问题中的“二合一”问题，可以利用“甲乙两物品在总量中的数量比等于它们在每一套中的数量比”列出比例关系，根据比例的内项之积等于外项之积转化为方程进行求解即可.【随堂练习】1．（2018•市南区一模）某学校要新购置一批课桌椅，现有甲、乙两种规格的课桌椅可供选择．已知购买甲种课桌椅3套比购买乙种2套共多60元；购买甲种5套和乙种3套，共需1620元．求甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是多少元？若设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是x和y元，根据题意，可列方程组为 ．【解答】解：设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是x和y元，根据题意可得：，故答案为：， 2．（2016春•长春校级期末）某生产车间共有36名工人，已知每名工人每小时可以生产螺丝帽50个，或者生产螺丝钉20个，已知一个螺丝钉要配两个螺丝帽，则如何安排人员才能使所生产的螺丝帽与螺丝钉正好配套．【解答】解：设安排x人生产螺丝帽，安排y人生产螺丝钉，由题意得，，解得：，答：安排16人生产螺丝帽，安排20人生产螺丝钉．知识点2 行程问题一、路程=速度×时间二、设甲、乙两人相距一定距离.1.相遇问题---甲、乙两人相向而行后相遇：甲、乙两人之间的初始距离=甲所走的路程+乙所走的路程.2.追及问题---甲、乙同向而行后相遇：①同时不同地：速度快的所走路程=速度慢的所走路程+甲乙之间的初始距离；②同地不同时：甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+慢者比快者多用用的时间.三、航行问题1.船：顺水速度=静水速度+水速 逆水速度=静水速度-水速.2.飞机：顺风速度=静风速度+风速 逆风速度=静风速度-风速.3.静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷24.水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2【典例】1.甲、乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇，若同向而行，乙要14时才能追上甲，则甲、乙二人每小时各走多少千米？ 【答案】略 【解析】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米．等量关系为：1.相向而行---甲走的路程+乙走的路程=甲乙相距的距离（42km）；2.同向而行---乙走的路程=甲走的路程+甲乙相距的距离（42km）．根据等量关系列出方程：，解得.答：甲、乙两人每小时各走9km、12km.【方法总结】解决此类问题，要弄清题意，按照题意画出线路图，分析各数量之间的关系.在审题时需要注意一些重要问题：是否同时出发，驶的方向是相向还是背向，是否相遇，若未相遇要把相距的路程去掉.2.两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？ 【答案】略 【解析】解：设这艘轮船在静水中的速度为x千米/时，水的流速为y千米/时，则顺水速度为（x+y）千米/时，逆水速度为（x-y）千米/时根据题意得，，解得：．答：这艘轮船在静水中的速度为17千米/时，水的流速为3千米/时．【方法总结】解决航行中的顺流、逆流问题，需要灵活掌握顺流、逆流时速度之间的关系，并能对它们之间的关系进行灵活转化.【随堂练习】1．（2018春•沈丘县期末）客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度．【解答】解：设客车的速度为xm/s，货车的速度为ym/s，由题意得，，解得：．答：客车的速度为30m/s，货车的速度为20m/s． 2．（2018春•荔湾区期末）列方程（组），解应用题甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．【解答】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：，解得：，答：甲的速度分别为m/s，乙的速度分别为m/s．知识点3 销售问题单价×数量=总价利润=实际售价-成本实际售价=标价（原价）×折扣 【典例】1.小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表所示，（1）在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；（2）求出商品A、B的标价；（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】略 【解析】解：（1）对比第二次和第三次可以发现，由购买的A和B的数量都增多时，购买总费用反而降低可知，所以小林在第三次以折扣价购买了商品A和B．故答案为：三；（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得，解得：．答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据“单价×数量=总价”、“标价×折扣=售价”，得（9×90+8×120）×=1062.解得：a=6．答：商店是打6折出售这两种商品的．【方法总结】关于销售相关的应用题，首先需要先找到等量关系，再理清题干中的各种量之间的关系，对应到等量关系中，设出合适的未知数，列出的方程进行求解.在这里需要注意，打几折就是用原价乘以十分之几.2.有一商场计划用7万元从厂家购进60台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场销售一台甲种电视机可获利200元，销售一台乙种电视机可获利300元，销售一台丙种电视机可获利400元，在同时购进两种不同型号电视机方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？ 【答案】略 【解析】解：（1）设购买电视机甲种x台，乙种y台，丙种z台，由题意得：，解得.②解得（舍去）③解得.综上所述，进货方案为：甲种40台，乙种20台或甲种56台，乙种4台；（2）方案一：40×200+20×300=14000（元）．方案二：56×200+4×400=12800（元）．购买甲种电视机40台，乙种电视机20台获利最多．【方法总结】本题是利润问题中的方案选择问题，需要根据花费的钱数，判断每件产品的购买数量，再利用方案中的产品数量乘以每件产品获得的利润，便可得出本方案的总盈利，比较不同方案的大小，得到最优方案.【随堂练习】1．（2018•长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得：，解得：．答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）=3120（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元． 2．（2018•如皋市一模）某专卖店有A，B两种商品．已知在打折前，买20件A商品和10件B商品用了400元；买30件A商品和20件B商品用了640元．A，B两种商品打相同折以后，某人买100件A商品和200件B商品一共比不打折少花640元，计算打了多少折？【解答】解：设打折前A商品的单价为x元/件，B商品的单价为y元/件，根据题意得：，解得：．打折前，购买100件A商品和200件B商品一共要用100×16+200×8=3200（元），打折后，购买100件A商品和200件B商品一共要用3200﹣640=2560（元），∴=．答：打了八折．知识点4 数字问题1.两位数的表示方法：2.三位数的表示方法：【典例】1.有两个两位数，其十位数字均是个位数字的一半，第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1，第一个数加上第二个数后仍为两位数，且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数，求第一个两位数． 【答案】略 【解析】解：设第一个两位数十位数字为x，个位数字为y，则第一个数十位与个位交换数字后的两位数为10y+x.根据等量关系列出方程组：解得.答：第一个两位数是48．【方法总结】1.表示一个两位数或三位数时，需要明确，个位上的数字需要×1，十位上的数字需×10，百位数字需×100，再把每一部分相加即可表示出相应的两位数或三位数.2.当题干中给出的数字关系比较复杂时，可借助表格，便于理清它们之间的关系.2.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数． 【答案】略 【解析】解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，当在较大的两位数的右边接着写较小的两位数时，相当于把较大两位数扩大100倍，这个四位数可表示为100x+y.当在较大的两位数的左边接着写较小的两位数时，相当于把较小两位数扩大100倍，这个四位数可表示为100y+x.根据等量关系列出方程组: ，化简得：，即，解得．答：这两个数是45和23．【方法总结】1.已知两个两位数分别是a和b：当数a在数b左侧时，所得四位数为100a+b；当数a在数b右侧时，所得四位数为100b+a.2.已知一个两位数和一个三位数分别为c和d：当数c在数d的左侧时，所得五位数为1000c+d；当数c在数d的右侧时，所得五位数为100d+c.【随堂练习】1．（2018•姜堰区二模）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利40元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低30元销售该商品3件所获得的利润相等，求该商品每件的进价和定价分别是多少元？【解答】解：设进价为x元，定价为y元根据题意得：解得： 答：该商品每件的进价和定价分别是130元，170元 2．（2018春•房山区期末）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数如下表所示：那么小亮在12：00时看到的两位数是____，并写出解答过程．【解答】解：设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶速度为v，根据题意得：，解得：x=y，∵x，y为1﹣9内的自然数，∴x=7，y=2．答：小亮在12：00时看到的两位数是27．故答案为：27．知识点5 梯度收费问题1.用电收费问题：标准电价部分的电费+超过标准用电量部分的电费=总电费.2.用水收费问题：标准水价部分的水费+超过标准用水量部分的水费=总水费.【典例】1.为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？【答案】略 【解析】解：设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，根据等量关系得，整理得.解得，答：二档电价是0.7元/度、三档电价是0.9元/度．【方法总结】这类题型，需要准确确定每一档的用电量，并按照相应的档位来收费，再根据等量关系建立方程组进行求解.【随堂练习】1．（2017•丹阳市二模）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：（1）求该市居民用水的两种收费价格；（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为___ m3．【解答】解：（1）设基本水费价格为：x元/m3，超过的部分水费价格为：y元/m3，，解得：，答：基本水费价格为：3元/m3，超过的部分水费价格为：5元/m3；（2）∵3×15=45＜80（元），∴这个月一定超过15立方米，则15×3+5（a﹣15）=80，解得：x=22．答：这个月该用户用水22立方米．故答案为：22．综合运用1.某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件x天，乙种零件y天，则根据题意列二元一次方程组是________________________． 【答案】 【解析】解：本题的等量关系由题意可得，，故答案为：．2.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），设用m布料做衣身，用m布料做衣袖，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【答案】略【解析】解：设用m布料做衣身，用m布料做衣袖，等量关系：1.做衣身的布料+做衣袖的布料=132；2.衣身总数量：衣袖的总数量=1:2→衣身的总数量×2=衣袖的总数量×1.根据等量关系列出方程：，解得：．答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖恰好配套．3.已知，甲、乙两人相距36千米．（1）如果甲、乙两人相向而行，若甲比乙先走2小时，则他们在乙出发2.5小时后相遇，若乙比甲先走2小时，则他们在甲出发3小时后相遇，求甲、乙两人每小时各走多少千米？（2）如果甲、乙两人保持（1）中速度，两人同时、同向而行，直接写出1小时后两人相距多少千米． 【答案】略 【解析】解：（1）设甲的速度为千米/时，乙的速度分别为千米/时，等量关系：1.甲乙两人之间的距离=36千米；2.甲走的路程+乙走的路程=36千米根据等量关系列出方程：，解得：．答：甲的速度是6千米/时，乙的速度是3.6千米/时．（2）当两人都往甲的方向行走时，两人之间的距离为：36+6﹣3.6=38.4（千米）.当两人都往乙的方向行走时，两人之间的距离为：36+3.6﹣6=33.6（千米）．答：1小时后，甲、乙相距38.4千米或33.6千米．4.一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，求这个两位数是多少？ 【答案】略【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．则，解得．所以这个两位数为73.5.一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数． 【答案】略 【解析】解：设三位数为x，两位数为y，由题意得：，解得：，答：三位数为250，两位数为25．6.某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，（1）这种商品A的进价为多少元？（2）现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%．对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6670元，则需对商品A、B分别进货多少件？ 【答案】略 【解析】解：（1）设这种商品A的进价为每件a元，由题意得：（1+10%）a=900×90%﹣40，解得：a=700，答：这种商品A的进价为700元；（2）设需对商品A进货x件，需对商品B进货y件，根据题意，得：，解得：，答：需对商品A进货67件，需对商品B进货33件．7.为鼓励居民节约用水，某市试行阶梯水价收费制，具体执行方案如下：例如：一户居民七月份用水12方，则需缴水费12×3.5=42（元）．某户居民六、七月份共用水18方，缴水费54元，已知该用户七月份用水量大于六月份，且六、七月份的用水量均大于5方．问该户居民六、七月份各用水多少方？ 【答案】略 【解析】解：设六月份用水为x方，七月份用水量为y方.依题意得解得答：六月份用水为6方，则七月份用水量为12方． 时刻12：0013：0016：00里程碑上的数是一个两位数十位数和个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了比12：00时看到的两位数中间多了个0月份用水量/m3水费/元4165052070
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