北师大版初三数学上册（秋季班）讲义 第4讲 图形的相似--提高班

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第4讲 图形的相似

知识点1：相似多边形及性质
相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.
如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.

当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.
【典例】
1.图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．

【解析】解：不相似．
理由：∵∠D=360°﹣135°﹣95°﹣72°=58°，∠E=360°﹣135°﹣95°﹣59°=71°，
∴两个四边形中不可能有“对应角相等”，
又∵没法判定对应边成比例，
∴不相似．
2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．
（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；
（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．
【解析】解：（1）设较大多边形的周长是x cm．则
∵两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和12cm，
∴两个相似多边形的相似比是15：12=5：4，
又∵相似多边形的周长的比等于相似比，
∴x：（x﹣24）=5：4，
解得：x=120，
较小多边形的周长120﹣24=96（cm）；
答：两个多边形的周长分别为120cm，96cm；
（2）设较大多边形的面积为acm2，由题意得：
a：（a﹣270）=25：16，
解得：a=750，
则较小多边形的面积为750﹣270=480（cm2）．
答：两个多边形的面积分别为750cm2，480cm2．
【方法总结】
相似图形：所谓形状相同，就是与图形的大小，位置无关，与摆放角度，摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异，但也不能认为是形状相同
相似多边形：（1）在相似多边形中，对应变成比例，对应角相等，这两个条件必须同时成立，才能说明这两个多边形是相似多边形；
（2）相似多边形的性质可以用来确定两个相似多边形中未知的边的长度或未知的角的度数；
（3）相似比得值与两个多边性的前后顺序有关；
（4）相似比1:1的两个相似多边形是全等多边形；
【随堂练习】
1．（2018秋•博野县期末）如图所示，长为，宽为的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是　　

A． B． C． D．
【解答】解：依题意，在矩形中截取矩形，
则矩形矩形，
则，
设，得到：
解得：，
则剩下的矩形面积是：．
故选：．
2．（2019•河北一模）如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是　　

A． B．
C． D．
【解答】解：作于，
则四边形为矩形，
，，
，
由勾股定理得，，
四边形的四条边之比为，
选项中，四条边之比为，
故选：．

3．（2018秋•北海期末）如图，，分别为矩形的边，的中点，若矩形与矩形相似，，则矩形的面积是　　

A．4 B．2 C． D．
【解答】解：矩形与矩形相似，
，即，
解得，，
矩形的面积，
故选：．
4．（2018秋•南山区期末）下列说法不正确的是　　
A．所有矩形都是相似的
B．若线段，，则
C．若线段，是线段的黄金分割点，且，则
D．四条长度依次为，，，的线段是成比例线段
【解答】解：所有矩形对应边的比不一定相等，不一定都是相似的，不正确，符合题意；
若线段，，则，正确，不符合题意；
线段，是线段的黄金分割点，且，
则，正确，不符合题意；
四条长度依次为，，，的线段是成比例线段，正确，不符合题意；
故选：．

知识点2平行线分线段成比例
1比例性质：
①；②（其中b叫做比例中项）
2 更比性质(交换比例的内项或外项)：

3反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
4合、分比性质：．
5等比性质：如果，那么
6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）
7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
【典例】
1.已知a，b，c，d是四条线段，试判断的它们是不是成比例线段．
（1）a=1mm，b=0.8cm，c=0.02cm，d=4cm；
（2）a=1cm，b=0.4cm，c=40cm，d=3cm．
【解析】解：（1）∵0.02×4=0.08，1mm=0.1cm，0.1×0.8=0.08，0.08=0.08，
∴它们是成比例线段；
（2）∵0.4×40=16，1×3=4，16≠4，
∴它们不是成比例线段．
2.如图，△ABC∽△ADE，AD=8cm，BD=4cm，BC=15cm，EC=7cm．
（1）DE∥BC吗？为什么？
（2）求DE，AE的长．
（3）你还能发现哪些线段成比例？

【解析】解：（1）DE∥BC．理由如下：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴==，即==，
∴DE=10cm，AE=14cm；
（3）成比例线段还有：=．
3.如图，l1//l2//l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．

【解析】解：∵l1//l2//l3，

∵AB=3，AD=2，DE=4，
,解得BC=6，
∵l1//l2//l3，

,解得BF=2.5．
【方法总结】
1.由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，，，，．
2.比例的合比性质做题时可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：

3.等比性质
①此性质的证明运用了“设K法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．
4.平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
【随堂练习】
1．（2019•香坊区二模）如图，直线，直线分别交直线、、于点、、，直线分别交直线、、于点、、，直线、交于点，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，正确，不符合题意；
，正确，不符合题意；
，错误，符合题意；
，
，正确，不符合题意；
故选：．
2．（2019•南岗区模拟）如图，如果，那么下列比例式中，错误的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，，
，
故选：．
3．（2018秋•嘉兴期末）如图，直线，直线分别交，，于点，，：直线分别交，，于点，，．若，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
4．（2018秋•昌图县期末）已知：如图，，，那么下列结论正确的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，错误；
的值无法确定，错误；
，正确；
的值无法确定，错误；
故选：．
5．（2018秋•大连期末）在中，点、、分别在、、上，且，，若，则的值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
故选：．
6．（2018秋•福田区期末）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、，若，，则的长是　　

A．9 B．10 C．2 D．15
【解答】解：，
，即，
解得：，
．
故选：．
7．（2018秋•新乐市期末）如图，，，，，则的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：，
，
，，，
，
故选：．
8．（2018秋•宜兴市期末）如图，，直线、与分别交于点、、和点、、若，，则的长是　　

A． B． C．6 D．10
【解答】解：，
，即，
解得，，
故选：．
9．（2018秋•杭州期末）如图，直线，直线交、、于点、、，直线交、、于点、、，已知，若，则的长是　　

A． B．4 C． D．7
【解答】解：直线，
．
，，
，
，
．
故选：．
10．（2018秋•张家港市期末）如图，在中，点，分别为边，上的点，且，若，，，则的长为　　

A．3 B． C．4 D．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
知识点3 相似三角形
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
【典例】
1.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．
（1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）；
（2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由．

【解析】解：（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF．
（2）选△EAF∽△EBC，
理由如下：在ABCD中AD∥BC，
∴∠EAF=∠B．
又∵∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一个动点（不运动到点C或D），BE的延长线交AD的延长线于点F，问图中共有几对相似三角形？试证明其中的一对三角形相似．

【解析】答：图中共有3对相似三角形，分别是：△DEF∽△CEB；△DEF∽△ABF；△CEB∽△ABF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DF∥BC，
∴△DFE∽△CBE．
【方法总结】
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
【随堂练习】
1．（2018•吉林模拟）如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（　　）对．

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴△ABF∽△DEF∽△CEB，
∴相似三角形共有三对．
故选：B．

知识点4 位似
定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质：位似形的有关性质：(1)两个位似形一定是相似形；(2)各对对应顶点所在的直线都经过同一点；(3)各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比；此时，把这个点叫做位似中心.这时的相似比叫做位似比。

【典例】
1.利用位似图形的方法把四边形ABCD放大到原来的2倍，并使新四边形A′B′C′D′与原图形分别在对称中心的两旁．

【解析】解：如图

2.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标；
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标；
（3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心 M，并写出点M的坐标．

【解析】解：（1）如图，△OA1B1为所作，点A1、B1的坐标分别为（4，2），（2，﹣4）；
（2）如图，△O2A2B2为所作，点A2、B2的坐标分别为（0，2），（﹣1，﹣1）；
（3）△OA1B1和△O2A2B2是位似图形，如图，点M为所，位似中心 M的坐标为（4，2）．

【方法总结】
1位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
2两个位似图形的位似中心有一个或两个（偶数边正多边形时，比如两个正方形如果位似，则有两个位似中心）；
3两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
4位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似
6位似图形满足的条件：两图形相似；每组对应点所在直线都经过同一点；
同时满足上述两个条件的两个图形才叫做位似图形.两条件缺一不可
【随堂练习】
1．（2019春•济南期末）如图，菱形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述正确的是　　

A．和都是等边三角形
B．四边形和四边形都是菱形
C．四边形与四边形是位似图形
D．且
【解答】解：不一定等于为，
和不一定都是等边三角形，错误；
不一定等于，
四边形和四边形不一定都是菱形，错误；
四边形为菱形，
，又，
，，
同理，，，
四边形与四边形是以为位似中心的位似图形，正确；
，但不一定等于，错误；
故选：．
2．（2019春•北碚区校级月考）如图，已知与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，则的值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，
，，
，
．
故选：．
3．（2019春•九龙坡区校级期末）下列说法正确的是　　
A．四条边相等的平行四边形是正方形
B．一条线段有且仅有一个黄金分割点
C．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
D．位似图形一定是相似图形
【解答】解：、四条边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误；
、一条线段有且仅有一个黄金分割点，有两个黄金分割点，故此选项错误；
、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此选项错误；
、位似图形一定是相似图形，正确．
故选：．
4．（2019春•潍城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．以原点为位似中心，把扩大到原来的2倍则点的对应点的坐标为　　

A． B．
C．或 D．或
【解答】解：以原点为位似中心，把扩大到原来的2倍，点，
点的对应点的坐标为或，即或，
故选：．
5．（2019•岳麓区校级三模）如图，以原点为位似中心，把缩小为原来的后得到△，若点坐标为，则的坐标为　　

A． 2， B．
C． 2，或 D． 2，或
【解答】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的后得到△，若点坐标为，
则的坐标为，或，，即 2，或，
故选：．
6．（2019春•太仓市期末）如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，使得△的边长是的边长的2倍．设点的横坐标是，则点的横坐标是　　

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：作轴于，轴于，
则，
由题意得，，
，
△，
，即，
解得，，
则，
点的横坐标是3，
故选：．

7．（2019•会宁县模拟）如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，与为位似图形，
，
由题意得，，，
与的相似比为，
点的坐标为，即，
故选：．
8．（2019•梧州一模）以原点为位似中心，作的位似图形△，与△相似比为3，若点的坐标为，则点’的坐标为　　
A． B．或
C． D．或
【解答】解：与△相似比为3，若点的坐标为，
点的坐标为或，，
点的坐标为或，
故选：．
9．（2019•建宁县模拟）如图，在所在平面上任意取一点（与、、不重合），连接、、，分别取、、的中点、、，再连接、、得到△，则下列说法不正确的是　　

A．与△是位似图形
B．与是△相似图形
C．与△的周长比为
D．与△的面积比为
【解答】解：点、、分别是、、的中点，
，，，
与△是位似图形，正确；
与是△相似图形，正确；
与△的周长比为，正确；
与△的面积比为，错误；
故选：．

综合运用：图形的相似
1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．
【解析】解：设=x，
得a=4x，b=5x，c=7x．
∵a+b+c=48，
∴4x+5x+7x=48，
解得x=3，
∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．
2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．

【解析】解：设BE=x，
∵EF=32，GE=8，
∴FG=32﹣8=24，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴=，
∴则==+1①．
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△CBG，
∴== 代入①，
=+1，
解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．

3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．

【解析】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．

4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．

【解析】解：（1）C点坐标为（，1），A点坐标为（，0）；
（2）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：（OB+6）=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为（3，2）．

5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．

【解析】解答：正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC=45°，
又∵∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG是矩形，∠AEG=90°-∠DAC=45°，
∴∠GAE=∠AEG=45°，
∴GE=AG，
∴矩形AFEG是正方形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形AFEG∽正方形ABCD，
∴=（）2=（）2=，
∴S正方形AFEG=S正方形AFEG=×62=16．

6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．

【解析】解：（1）由已知得MN=AB，MD=AD=BC，
∵ 矩形DMNC与矩形ABCD相似，，
∵ MN=AB，DM=AD，BC=AD，
∴ AD2=AB2， ∴ 由AB=4得，AD=；
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为