初中数学北师大版九年级上册1 反比例函数当堂检测题

第8讲 反比例函数的综合运用

知识点1反比例函数实际应用

1.分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又符合实际。

2.函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数

3.概括整合
（1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
【典例】

1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．

（1）求这一函数的解析式；

（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？

（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）

3.某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在2017年1月1日投放市场，前3个月只在本地销售，同时每月投入500万元开拓外地市场，3个月后，外地市场开拓成功进行正常销售．

（1）只在本地销售时，该产品的销售价格不低于20元/件，且不能超过80元/件，销售价格x（元/件）与月销售量y（万件）满足函数关系式y=，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（不考虑每月对开拓外地市场的投入）

（2）3个月后正常销售，该种产品销售价格统一为（80﹣m）元/件，公司每月可销售（10+0.2m）万件．从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？

（3）若该产品的销售情况一年内不发生变化（含只在本地销售的3个月），请从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使公司增加多少利润？

【方法总结】

应用反比例函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图象的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。

【随堂练习】

1．（2019春•文登区期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是　　

A．4月份的利润为50万元 

B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 

C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 

D．9月份该厂利润达到200万元

二．填空题（共1小题）

2．（2019•江岸区校级模拟）如图，一块砖的、、三个面的面积比是，如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为　　．

三．解答题（共4小题）

3．（2019春•泰州期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温与开机时间（分满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温与开机时间（分成反比例关系），当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）当时，求水温与开机时间（分的函数关系式；

（2）求图中的值；

（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少？

4．（2019春•西湖区期末）某游泳池有900立方米水，每次换水前后水的体积保持不变．设放水的平均速度为立方米小时，将池内的水放完需小时，

（1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；

（2）若要求在2.5小时至3小时内（包括2.5小时与3小时）把游泳池内的水放完，求放水速度的范围．

5．（2019春•余杭区期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与药物在空气中的持续时间成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：

（1）分别求出药物燃烧时及燃烧后关于的函数表达式

（2）当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？

（3）当室内空气中的含药量每立方米不低于的持续时间超过20分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效，并说明理由．

6．（2019春•鼓楼区期末）小明要把一篇社会调查报告录入电脑当他以100字分的速度录入文字时，经240分钟能完成录入．设他录入文字的速度为字分时，完成录入的时间为分

（1）求与之间的函数表达式；

（2）要在内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？

知识点2反比例函数与一次函数

1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。

2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。

【典例】

1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=（k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为，求直线BC的解析式．

2.如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C

（1）求k的值及C点坐标；

（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积．

【方法总结】

一次函数，反比例两函数比大小：

此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个x1 ,x2且x1＜0＜x2 那么把这个图像分为了4份，分别为Ⅰ:x＜x1，Ⅱ:x1 ＜X＜0，Ⅲ:0＜X＜x2，Ⅳ:X＞x2，树形结合，自变量相同，谁高谁大。（考虑反比例函数时一定要分支考虑，分为0左边，0右边，所以两个交点把图像分为了4部分）

【随堂练习】

1．（2019春•梁溪区期末）在平面直角坐标系中，分别过点，作垂直于轴的直线和，探究直线、与函数的图象（双曲线）之间的关系，下列结论错误的是　　

A．两条直线中总有一条与双曲线相交 

B．当时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等 

C．当时，两条直线与双曲线的交点都在轴左侧 

D．当时，两条直线与双曲线的交点都在轴右侧

2．（2019春•泉港区期末）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标是　　

A． B． C．． D．

3．（2019•定远县一模）已知反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点，一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，其坐标为，则的面积为　　

A．12 B．9 C．6 D．5

4．（2019•安庆一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为　　

A．2 B． C． D．3

5．（2019•包头二模）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（2019春•南岸区校级月考）如图所示，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，边，分别交反比例函数的图象于点，点，边交轴于点，连接．已知四边形的面积为12，，则的值为　　

A． B． C． D．

知识点3反比例函数与几何综合应用

反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换等结合及点坐标的应用。

【典例】

1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面积为1.5，则k的值为　　．

2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1=（x＞0）和y2=（x＞0）的图象上．若OB=AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为　   　．

3.如图，反比例函数y=（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B。

（1）求k的值与B点的坐标；

（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标．

4.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．

（1）当m=4，n=20时．

①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

【方法总结】

反比例函数与几何的综合主要与全等，勾股、相似及反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识结合；熟练掌握这些知识点是解决问题的关键．

求出多解时要注意看象限，判断是否需要舍值。

【随堂练习】

1．（2019春•南关区校级期末）学习完反比例函数的图象及性质后，老师给冋学们留了这样一道作业题：“已知点和点都在反比例函数的图象上，试比较和的大小？”以下是彬彬同学的解题过程：

（1）彬彬的解答过程在第　　步开始出错，出错的原因是　　．请你帮助彬彬写出正确的解答过程．

（2）若点、点和点也在反比例函数的图象上，直接比较、、的大小　　（结果用“”连结）

2．（2019春•永康市期末）如图，平行四边形的顶点在原点上，顶点，分别在反比例函数，的图象上，对角线轴于，已知点的坐标为

（1）求点的坐标；

（2）若平行四边形的面积是55，求的值．

3．（2019•恩施市二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边的边在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过边的中点，且与边交于点．

（1）求的值；

（2）连接，，求的面积；

（3）若直线与直线平行，且与的边有交点，直接写出的取值范围．

4．（2019春•常州期末）在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，、，把点绕坐标原点顺时针旋转得点，若点在反比例函数的图象上．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点、的坐标．

5．（2019春•工业园区期末）如图，的直角边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点

（1）若点，求点的坐标：

（2）若△，求的值．

6．（2019春•泉州期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点和．以线段为一边在第一象限内作，其顶点在双曲线上．

①求证：四边形是正方形；（提示：作垂直轴，垂足为

②探索：将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在双曲线上．（提示：作垂直轴于，交双曲线于点

7．（2019春•沙坪坝区校级期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于点；另一条直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象交于点和点，，连接、．

（1）求反比例函数解析式和点的坐标；

（2）求的面积．

8．（2019春•北碚区校级期末）如图，反比例函数与一次函数相交于，两点，轴于点，则：

（1）求反比例函数与一次函数的解析式：

（2）若则直接写出的取值范围：

（3）若为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足，则求点的坐标．

9．（2019春•九龙坡区校级期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的、两点，与、轴分别交于、两点，过点作轴于点，连接，且的面积为3，作点关于轴对称点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式．

（2）连接、，求的面积．

综合运用: 反比例函数的综合运用

1.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点【选项D】

（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；

（2）求三角形DOE的面积；

（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．

2.如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2=的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）当x为何值时，y1＞0；

（3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围．

3.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）表示（如图所示）．

（1）求k的值．

（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示）