北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课后复习题

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第1讲 特殊的平行四边形

知识点1：矩形
1.矩形的性质：
（1）矩形具备平行四边形的所有性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线平分且相等
（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
【典例】
1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．
（1）求矩形较短边的长．
（2）矩形较长边的长．
（3）矩形的面积．

【答案】略
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA=12AC=5，即矩形较短边的长为5；
（2）在直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，AC=10，则BC=AC2-AB2=102-52=53．
即矩形较长边的长是53；
（3）矩形的面积=AB•BC=5×53=253．

【方法总结】
本题主要考察矩形对角线的性质——相等且互相平分、矩形的四个角都是直角。（1）矩形对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）在上一问的基础上通过勾股定理即可求出长边；（3）直接对公式的应用。
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____

【答案】45°
【解答】解：设∠ADF=3x°，∠FDC=x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴x+3x=90，
x=22.5°，
即∠FDC=x°=22.5°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠DCE=90°﹣22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2EC，BD=2ED，AC=BD，
∴ED=EC，
∴∠BDC=∠DCE=67.5°，
∴∠BDF=∠BDC﹣∠CDF=67.5°﹣22.5°=45°，
∴∠DEC=90°﹣45°=45°
【方法总结】
本题主要考查了矩形的性质——四个角都是直角、对角线相等．本题要求两条对角线的较小的夹角∠DEC，利用矩形的对角线相等以及等腰三角形的性质，先求出∠DCE即对角线与短边的夹角即可得出结论；求∠DCE需要将其放到直角三角形中求出与其互余的锐角，综合已知条件：两互余且有倍数关系．解这种类型题需要将已知与所求相结合，引入方程思想可以将解题过程简化．
3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
求证：
（1）四边形AECF是矩形；
（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．

【答案】略
【解析】证明：（1）如图所示，∵CE、CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线，
∴∠2=12∠ACB，∠3=12∠ACD，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）=90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）答：MN∥BC
∵四边形AECF是矩形，
∴EF=AC，EN=12EF，NC=12AC，
∴EN=NC，
∴∠2=∠5，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴MN∥BC

【方法总结】
本题主要考察矩形的判定以及矩形性质的运用。第（1）问给出了AE⊥CE、AF⊥CF，可以得出四边形有两个直角，欲证明该四边形是矩形，可以找第三个直角。题中给出了将平角一分为二的两个角的平分线，选取中间的两个小角恰好可以组成一个直角，利用有三个角是直角的四边形是矩形判定得出结论。第（2）问利用矩形的性质——对角线相等且平分，得出矩形两条对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，结合角平分线的性质判定平行线。
【随堂练习】
1．（2018•邗江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF=3，BF=4，求DF长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；

（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，CF=3，BF=4，
∴BC=5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵AD=BC，
∴DF=BC，
∴DF=5．
　
2．（2018•滨海县一模）平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．

（2）∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，
∴AD==5，
∴矩形的面积为20．

知识点2：菱形
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形的四边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；
菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
3.菱形的判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形；
【典例】
1.如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2a
（1）求∠ABC的度数；
（2）求对角线AC的长；
（3）求菱形ABCD的面积．

【答案】略
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD，AD∥BC，
∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴在Rt△ADE中，AE=12AB=12AD，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ABC=180°﹣∠DAB=180°﹣60°=120°；
（2）如图，连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=CO，DO=BO，AC⊥BD，
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2a，
∴OB=12BD=a，
在Rt△ABO中，AB=2a，OB=a，
∴AO=3a，
∴AC=2AO=23a；
（3）由（2）可知BD=2a，AC=23a，
∴S菱形ABCD=12AC·BD=12×23a×2a=23a2．
【方法总结】
本题主要考查了菱形的性质——四边相等且对角线互相垂直平分。第（1）问根据已知DE垂直平分AB以及AD=AB，得出直角三角形的直角边和斜边的关系，推出了直角三角形30°的锐角，进而求出菱形的内角。第（2）问要求对角线的长先求对角线的一半长，通过添加辅助线构建出等边三角形和直角三角形，用勾股定理求出结果。（3）直接套用公式即可。
2.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
（1）求证：OE=CB；
（2）如果OC：OB=1：2，OE=5，求菱形ABCD的面积．

【答案】略
【解析】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∴四边形OCEB是矩形，
∴OE=CB；
（2）解：∵由（1）知，BC=OE=5
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵OC：OB=1：2，
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得 BC2=OC2+OB2，
∴CO=1，OB=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2，BD=4，
∴菱形ABCD的面积是：12BD·AC=4．

【方法总结】
本题主要考查菱形的性质——对角线垂直且平分。第（1）问根据菱形的对角线互相垂直，与对角线平行的直线也互相垂直，得出四边形OBEC是矩形；第（2）问先根据菱形对角线垂直构建直角三角形，用勾股定理求出对角线的一半长，再根据对角线互相平分求出对角线的长。
3.已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．

【答案】略
【解析】证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ADC和△ADE中，&AC=AE&∠CAD=∠EAD&AD=AD，
∴△ADC≌△ADE（SAS）；
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC，
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF，
∵EF∥BC
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四边形CDEF是菱形．
【方法总结】
本题是菱形的判定与三角形全等的综合题。通过两次证明三角形全等得出四边形的两组邻边相等，两对角相等；再加上平行线的性质，证明第三组邻边相等，进而得出四边都相等。根据菱形的判定定理得出结论。用边的关系证明四边形是菱形的时候，经常会用到三角形全等等方法。
【随堂练习】
1．（2017春•惠安县期末）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=2，AC=2，求四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，
∴OB==1，
∴BD=2OB=2，
∴▱ABCD的面积=AC•BD=×2×2=2．

　
2．（2017春•道里区校级月考）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．且∠AED=∠BEC，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵∠AED=∠BEC，
∴∠CEF=∠CEB，
∵∠CEF=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE，
∵EF=BE，
∴BC=BE=EF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵BE=BC
∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BCF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为：4×2=8．

知识点3：正方形
1.正方形的性质：
（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2.正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；
（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；
（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．
【典例】
1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）试说明∠BAE=∠DAF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并说明你的理由．

【答案】略
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵&AD=AB&AF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴∠BAE=∠DAF；
（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形四条边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性质），
即CE=CF，
在△COE和△COF中，
&CE=CF&∠ACB=∠ACD&OC=OC，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，
∵OM=OA，
∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
【方法总结】
本题主要考查正方形的性质——四边相等、四个角是直角；对角线垂直平分且相等。第（1）问利用正方形的边、角相等，证明三角形全等，对应角相等。第（2）问利用正方形一条对角线平分平分一组对角以及四边等、四角等证明三角形全等得出对应边相等，推出对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．

【答案】略
【解析】证明：（1）∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．
∵AE∥BD，DE∥AB，
∴四边形AEDB为平行四边形，
∴AE=BD=CD，
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）设AC与DE相交于点O．
∵DE∥AB，∠BAC=90°，
∴∠DOC=∠BAC=90°，
即AC⊥DE，
又∵由（1）知四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE是正方形．

【方法总结】
本题主要考察正方形的判定方法。判定一个图形为正方形时常用的方法有：（1）矩形具备什么条件是正方形；（2）菱形具备什么条件是正方形；（3）平行四边形具备什么条件变成正方形；（4）四边形具备什么条件变成四边形。判定时需要从边、角、对角线的角度选择需要的条件。本题证明四边形ADCE是正方形先证明它是矩形，再证明对角线垂直的矩形是正方形。
【随堂练习】
1．（2018春•东阿县期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．

【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，
∵EC=，
∴AE=CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．

（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°
综上所述，∠EFC=120°或30°．

　
2．（2018春•南昌期中）如图，在矩形ABCD中，AD=6，CD=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当△FCG的面积为2时，求CG的值．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，有∠A=∠D=90°，
∴∠DGH+∠DHG=90°．
在菱形EFGH中，EH=GH
∵AH=2，DG=2，
∴AH=DG，
∴△AEH≌△DHG．
∴∠AHE=∠DGH．
∴∠AHE+∠DHG=90°．
∴∠EHG=90°．
∴四边形EFGH是正方形．

（2）过F作FM⊥DC于M，则∠FMG=90°．
∴∠A=∠FMG=90°．连接EG．
由矩形和菱形性质，知AB∥DC，HE∥GF，
∴∠AEG=∠MGE，∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
∵EH=GF，
∴△AEH≌△MGF．
∴FM=AH=2．
∵S △FCG=，
∴CG=2．

综合运用
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、EC．若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．

【答案】略
【解析】证明：∵四边形ABDE是平行四边形
∴BD∥AE（即AE∥CD），BD=AE，
又∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴□ADCE是矩形．
2.如图，将□ABCD的边BA延长到点E，使AE=AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．

【答案】略
【解析】证明：（1）∵□ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
又∵AE= AB，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）∵□ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠B，
又∵∠AFC=∠EAF+∠AEF，∠AFC=2∠B
∴∠EAF=∠AEF，
∴AF=EF，
又∵平行四边形ACDE中AD=2AF，EC=2EF
∴AD=EC，
∴平行四边形ACDE是矩形．
3.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是BC边延长线上一点，且BD⊥DE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC=3，BD=4，求△DCE的周长．



【答案】略
【解析】（1）证明：在菱形ABCD中， AD∥BC，
∴AD∥CE．
∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC∥DE．
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）解：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=3，AD=CE．
∵BD=4，BD⊥DE，
∴由勾股定理得知BE=5，
又∵在菱形ABCD中，AD=BC=CD，
∴BC=CE=12BE=2.5．
∴CD=2.5．
∴△DCE的周长=DC+CE+DE=2.5+2.5+3=8．

4.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且 BE=DF 连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．

【答案】略
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE与△COF中，
&OA=OC&∠AOE=∠COF&OE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS）；

（2）由（1）得△AOE≌△COF，
∴∠OAE=∠OCF，
∴AE∥CF，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形；
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC=∠GAC，
∵AH∥CG，
∴∠HAC=∠GCA，
∴∠GAC=∠GCA，
∴CG=AG；
∴□AGCH是菱形．

5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O， ∠AOF=90°．求证：BE=CF．

【答案】略
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∠ABE=∠BCF=90°，
∵∠AOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠BAE+∠OBA=90°，
又∵∠FBC+∠OBA=90°，
∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），
在△ABE和△BCF中
∴&∠ABE=∠BCF&AB=BC&∠BAE=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE=CF．


6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）

【答案】略
【解析】证明：如图，

过D作DG⊥AB，交AB于点G，
∵∠C=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形CEDF为矩形，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG；
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=DG，
∴DE=DF，
∴四边形CEDF为正方形．