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初中北师大版第三章 概率的进一步认识2 用频率估计概率课后作业题
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这是一份初中北师大版第三章 概率的进一步认识2 用频率估计概率课后作业题，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第3讲概率初步--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第3讲概率初步--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
第3讲 概率初步
知识点1 随机事件与概率
随机事件的概念
在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。
在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件
概率的概念及意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【典例】
1.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）太阳从西边落山；
（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；
（3）水往低处流；
（4）三个人性别各不相同；
（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
【解析】解：（1）太阳从西边落山、（3）水往低处流、（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解是必然事件；
（2）a2+b2=﹣1、（4）三个人性别各不相同是不可能事件，
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件．
2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个篮球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件．
（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是篮球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有篮球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．
【解析】解：（1）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（2）一定不会发生，是不可能事件；
（3）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（4）可能发生，也可能不发生，是不确定事件．
3.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于2且小于5．
【解析】掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．
（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，
∴P（点数为偶数）==
（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，
∴P（点数大于2且小于5）=
4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．
（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．
【解析】解：（1）∵一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，
∴从中随机抽取出一个黑球的概率是：；
（2）∵往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，
∴=，
则y=3x+5．
【方法总结】
要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【随堂练习】
1．（2019春•贵阳期末）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是
A．大于4的点数 B．小于4的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数
【解答】解：、；
、；
、；
、．
骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点．
故选：．
2．（2019春•市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是
A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大
B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多
C．她不可能吃到豆沙馅汤圆
D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
【解答】解：盛了1个汤圆盛到黑芝麻的概率为，盛到枣泥的概率为，盛到豆沙的概率为，
她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多，
故选：．
3．（2019•金华）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是．
故选：．
4．（2019•任城区二模）为了庆祝“六一儿童节”，六年级同学在班会课进行了趣味活动．小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转，，后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：如图：连接、，、．
为菱形，，，
，
为等边三角形．
．
．
菱形的面积．
由旋转的性质可知．
又，
．
的面积．
阴影的面积，四边形的面积．
命中阴影部分的概率，
故选：．
5．（2019•大兴区一模）小冬和小松正在玩“掷骰子，走方格”的游戏．游戏规则如下：（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面的数字分别是1至，落地后骰子向上一面的数字是几，就先向前走几格，然后暂停．（2）再看暂停的格子上相应的文字要求，按要求去做后，若还有新的文字要求，则继续按新要求去做，直至无新要求为止，此次走方格结束．下图是该游戏的部分方格：
大本营
1
对自己说
“加油！”
2
后退一格
3
前进三格
4
原地不动
5
对你的小伙伴说“你好！”
6
背一首古诗
例如：小冬现在的位置在大本营，掷骰子，骰子向上一面的数字是2，则小冬先向前走两格到达方格2，然后执行方格2的文字要求“后退一格”，则退回到方格1，再执行方格1的文字要求：对自己说“加油”．小冬此次“掷骰子，走方格”结束，最终停在了方格1．如果小松现在的位置也在大本营，那么他掷一次骰子最终停在方格6的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：掷一次骰子最终停在方格6的情况有①直接掷6；②掷3后前进三格到6；
所以掷一次骰子最终停在方格6的概率是，
故选：．
6．（2019•江北区一模）从五个数中任意抽取一个作为，则满足不等式的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：不等式的解集为：，
满足不等式的概率是，
故选：．
7．（2019•瓯海区一模）在一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中4个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，不是白球的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：袋子中共有9个小球，其中不是白球的有7个，
摸出一个球不是白球的概率是，
故选：．
8．（2019•广西模拟）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中原有黑球
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：设袋中黑球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
所以袋中黑球有4个，
故选：．
二．填空题（共5小题）
9．（2019春•贵阳期末）小邦制作了十张卡片，上面分别标有这十个数字，从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被5整除的概率是 ．
【解答】解：这十个数字中，能被5整除的有两个5，10，
这十张卡片中随机抽取一张恰好能被5整除的概率，
故答案为．
10．（2019•大庆）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
【解答】解：袋子中球的总数为，而白球有8个，
则从中任摸一球，恰为白球的概率为．
故答案为．
11．（2019•通辽）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为 ．
【解答】解：由分式方程，得
或时，分式方程无解，
时，，
时，，
所以在1，2，3，4，5取一个数字使分式方程无解的概率为．
12．（2019•红桥区二模）一个不透明的袋子中装有11个球，其中3个红球、5个黑球，3个黄球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是 ．
【解答】解：装有11个球，其中3个红球、5个黑球，3个黄球，
红球的概率是，
故答案为：
13．（2019•成都）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为 20
【解答】解：设盒子中原有的白球的个数为个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解；
盒子中原有的白球的个数为20个．
故答案为：20；
三．解答题（共2小题）
14．（2019春•成都期末）如图①，在中，，两条直角边长分别为，，斜边长为．如图②，现将与全等的四个直角三角形拼成一个正方形．
（1）若的两直角边之比均为．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？
（2）若正方形的边长为8，的周长为18，求的面积．
【解答】解：（1）的两直角边之比均为，
设，，
由勾股定理得，，
，
针尖落在四个直角三角形区域的概率是；
（2）正方形的边长为8，即，
的周长为18，
，
，
则的面积
．
15．（2019•秦淮区校级模拟）在边长为4的正方形平面内，建立如图1所示的平面直角坐标系．学习小组做如下实验：
连续转动分布均匀的转盘（如图两次，指针所指的数字作为直角坐标系中点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标）．
（1）转盘转动共能得到 36 个不同点，点落在正方形边上的概率是 ；
（2）求点落在正方形外部的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
1
2
3
根据图表可得：转盘转动共能得到36个不同点，点落在正方形边上的有12个，
则点落在正方形边上的概率是；
故答案为：36，；
（2）根据图表得出：共有36个点，其中落在正方形外部的点共有20个，
则点落在正方形外部的概率是：．
知识点2 用列举法求概率
用列表法和树状图法，求事件的概率
1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．
2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．
【典例】
1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
【解析】解：列表得：
由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种，
所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率==．
2.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
【解析】解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=．
3.三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.
（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果)
（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次，若记下的13个数之和等于-4，平方和等于14，求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数.
【解析】（1）解：根据题意画出树状图如解图：
所有等可能的情况数有9种，其中两次记下之数的和大于0的情况有3种，
则P=
（2）解：设摸出-2、0、1的次数分别为x、y、z，
由题意得，，
③-②得，6x=18，解得x=3
把x=3代入②得，-2×3+z=-4，解得z=2，
把x=3，z=2代入①得，y=8，
所以，方程组的解是，
故摸到球上所标之数是0的次数为8.
【方法总结】
求概率应掌握以下方法：
1. 直接公式法：，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数.
2. 求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；④用公式 求事件A发生的概率
3. 判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平.
4. 在重复实验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况
【随堂练习】
1．（2019•武侯区校级自主招生）将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于、的方程组，只有正数解的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：①当时，方程组无解；
②当时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．
易知，都为大于0的整数，则两式联合求解可得，，
使、都大于0则有，，
解得，或者，，
，都为1到6的整数，
可知当为1时只能是1，2，3，4，5，6；或者为2，3，4，5，6时无解，
这两种情况的总出现可能有6种；
，，，，，，，
又掷两次骰子出现的基本事件共种情况，故所求概率为，
故选：．
2．（2019•宿豫区模拟）同时抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上两个数字之积为偶数的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：列表得：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
共有36种等可能的结果，向上两个数字之积为偶数的有27种情况，
向上两个数字之积为偶数的概率为．
故选：．
3．（2019•柳州）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
小李获胜的概率为；
故选：．
4．（2019•周口二模）在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球后然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
2
3
4
2
3
4
所有等可能的结果有9种，其中之和为5的情况有2种，
则两次摸取的小球标号之和为5的概率为
故选：．
5．（2019•南充模拟）在一个不透明的袋子中装有两个黑球、两个白球，这些球除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球，记下颜色，放回袋中摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到黑球的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：设黑球分别为、，白球分别为、，列表得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
总共有16种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到黑的结果有4种，
所以两次都摸到黑球的概率是，
故选：．
6．（2019•临沂）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画“树形图”如图所示：
这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选：．
7．（2019•东西湖区模拟）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取两张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为5，
所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率
故选：．
8．（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为，从乙中任取一张卡片，将其数字记为．若，能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
乙获胜的概率为，
故选：．
9．（2019•广东二模）有三张正面分别写有数字，，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，则点在第二象限的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中点在第二象限的有2种结果，
所以点在第二象限的概率为，
故选：．
10．（2019•河南二模）在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，，3，4，随机摸取一个小球记下标号后放回，再随机摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球的标号之积为负数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
则共有16种等可能的结果，其中两次摸取的小球的标号之积为负数的有4种结果，
所以两次摸取的小球的标号之积为负数的概率为，
故选：．
二．解答题（共2小题）
11．（2019•碑林区校级模拟）6月电商的“年中大促销”已开始预热，实体店也摩拳擦掌提前备战，积极展开促销活动．陈阿姨参加了某店“砸金蛋赢优惠”活动，该店提供四个外观一样的“金蛋”，每个“金蛋”内装一张优惠券，分别是10，20，50，100（单位：元）的优惠券．四个“金蛋”内的优惠券不重复．砸到哪个“金蛋”就会获得“金蛋”内相应的优惠券．
（1）如果随机砸1个“金蛋”，求陈阿姨得到100元优惠券的概率；
（2）如果随机砸2个“金蛋”，且第一次砸过的“金蛋”不能再砸第二次，请用列表或画树状图的方法求出陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的概率为多少？
【解答】解：（1）如果随机砸1个“金蛋”，陈阿姨得到100元优惠券的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的有8种结果，
所以陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的概率为．
12．（2019•岳麓区校级三模）长沙地铁四号线丁今年五月开通，被称之为“麓山专列”，给同学们上学带来方便．初一数学兴趣班同学在全校范围内随机抽取了50名走读同学进行“使用哪种出行方式上学”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有4000名同学，请估计全校走读同学选择乘坐“地铁”上学的有多少人？
（3）该兴趣班同学还用四个完全相同的小球，把四种出行方式分别标为、、、，再将它们放在一个不透明的口袋中，让冋学们随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“”的概率．
【解答】解：（1）步行人数为：人，补全条形统计图如图所示：
（2）人，
答：全校走读同学选择乘坐“地铁”上学的有1680人．
（3）随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出个小球，所有可能出现的结果为：
因此两次恰好都摸到“”的概率是．
答：两次都摸到“”的概率为．
知识点3用频率估计概率
用频率估计概率
实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
【典例】
1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．.
【解析】解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；故答案为：0.5；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.5，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=4×0.5=2（个）；
（3）列表得：
由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有4种可能．
∴P（颜色相同）==．
2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 ，理由是：
.
【解析】解：（1）填表如下：
（2）当n很大时，频率将会接近（67+145+357+552+704+1396）÷
（100+200+500+800+1000+2000）≈0.7，
故答案为：0.7；
（3）获得铅笔的概率约是0.7，理由是：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）= ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
【解析】解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6．
（3）盒子里黑、白两种颜色的球各有40﹣24=16，40×0.6=24．
【方法总结】
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．
3．利用频率估计出的概率是近似值.
【随堂练习】
1．（2019•南平模拟）盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，由此估计摸白色乒乓球的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：估计摸白色乒乓球的概率为，
故选：．
2．（2019•江西模拟）在一个不透明的袋子中装有20个蓝色小球、若干个红色小球和10个黄色小球，这些球除颜色不同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.4左右，若小明在袋子中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
则小明在袋子中随机摸取一个小球，摸到黄色小球的概率为，
故选：．
3．（2019•武汉模拟）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
移植总数
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数
47
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.94
0.87
0.923
0.883
0.89
0.915
0.905
0.897
0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果保留小数点后两位）
A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.92
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种幼树移植成活率的概率约为0.90，
故选：．
4．（2018秋•天津期末）一个不透明的盒子里有几个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个红球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为
A．15 B．18 C．20 D．24
【解答】解：根据题意得，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
所以这个不透明的盒子里大约有20个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：．
5．（2018秋•通州区期末）在一个不透明的布袋中，共有30个小球，除颜色外其他完全相同．若每次将球搅匀后摸一个球记下颜色再放回布袋．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在0.2左右，则口袋中红色球的个数应该是
A．6个 B．15个 C．24个 D．12个
【解答】解：设袋中红色球有个，
根据题意，得：，
解得，
即口袋中红色球的个数应该是6个，
故选：．
6．（2018秋•海安县期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为
A．16 B．20 C．24 D．28
【解答】解：根据题意知，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
7．（2018秋•东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
每批粒数
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数
96
282
382
570
948
1904
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950
下面有三个推断：
①当为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【解答】解：①当时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；
③若为4000，估计大豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．
故选：．
8．（2018秋•宝安区期末）在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球有
A．12个 B．20个 C．24个 D．40个
【解答】解：设袋中白球有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
故袋中白球有24个．
故选：．
9．（2018秋•南山区期末）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是
A．红球比白球多 B．白球比红球多
C．红球，白球一样多 D．无法估计
【解答】解：位同学摸到红球的频率的平均数为，
红球比白球多．
故选：．
二．解答题（共3小题）
10．（2019春•贵阳期末）为了准备体育艺术节的比赛，某篮球运动员在进行定点罚球训练，如表是部分训练记录：
罚球次数
20
40
60
80
100
120
命中次数
15
32
48
65
80
96
命中频率
0.75
0.8
0.8
0.81
0.8
0.8
（1）根据上表：估计该运动员罚球命中的概率是 0.8 ；
（2）根据上表分析，如果该运动员在一次比赛中共获得10次罚球机会（每次罚球投掷2次，每命中一次得1分），估计他罚球能得多少分，请说明理由．
【解答】解：（1）根据表格数据可知该运动员罚球命中的概率0.8，
故答案为0.8；
（2）由题意可知，罚球一次命中概率为0.8，
则罚球10次得分为，
估计他能得16分．
11．（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频率（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
【解答】解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率．
（2）购买10次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
24000
24500
25000
30000
35000
此时这100台机器维修费用的平均数
购买11次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
26000
26500
27000
27500
32500
此时这100台机器维修费用的平均数
，
，
所以，选择购买10次维修服务．
12．（2019•株洲）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温（单位：
需求量（单位：杯）
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温满足（单位：，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于的天数为（天；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为；
（3）（元，
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元．
综合运用：概率初步
1.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算：
（1）取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？
（2）取到卡片号是7的倍数的概率是多少？
【解析】解：从1到100的数字中，能被7整除的数为{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}共有14个数，
（1）取到卡片号是7的倍数的情况有14种；
（2）取到卡片号是7的倍数的概率是.
2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为．
（1）试求袋中篮球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），请画出树状图或列表的方法，求两次摸到都是白球的概率．
【解析】解：（1）设篮球个数为x个，则由题意得：
=，
解得 x=1，
即篮球有1个．
（2）树状图如下：
所有可能结果共有12种，它们发生的可能性相等，其中两次摸到都是白球的有2种，
∴P（两个都是白球）=．
3.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之积能被2整除的概率．
【解析】解：（1）画树状图为：
（2）由树状图可知，共有6种等可能的结果数，其中两个数字之积能被2整除的结果数为4，
所以两个数字之积能被2整除的概率为=．
4.有4个完全一样的小球，上面分别标着数字，2，1，﹣3，﹣4．现随机摸出一个小球后不放回，将该小球上的数字记为m，再随机地摸出一个小球，将小球上的数字记为n．
（1）请列表或画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求 所选出的m，n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率．
【解析】解：（1）画树状图得：
则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；
（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图像经过第第二、三、四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），
∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图像经过第第二、三、四象限的概率==．
5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得1分，否则小刚得1分．
（1）这个游戏公平吗？为什么？
（2）如果不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？
【解析】解：（1）列表如下：
共有40种等可能的结果数，其中配成紫色的占16种，
两个转盘各转一次小明得分=×1=，
小刚得分==×1=，
所以这个游戏不公平．
（2）游戏规则为：两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得3分，否则小刚得2分．
6.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【解析】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人
喜欢用QQ沟通所占比例为： =，
∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×=108°
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人
喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40%
∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人
（4）列出树状图，如图所示
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： =
故答案为：（1）100；108°
7.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【解析】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，
所以P（小王）=；
（2）不公平，理由如下：
∵P（小王）=，P（小李）=，≠，
∴规则不公平．
第3讲 概率初步
知识点1 随机事件与概率
随机事件的概念
在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。
在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件
概率的概念及意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【典例】
1.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）太阳从西边落山；
（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；
（3）水往低处流；
（4）三个人性别各不相同；
（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
【解析】解：（1）太阳从西边落山、（3）水往低处流、（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解是必然事件；
（2）a2+b2=﹣1、（4）三个人性别各不相同是不可能事件，
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件．
2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个篮球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件．
（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是篮球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有篮球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．
【解析】解：（1）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（2）一定不会发生，是不可能事件；
（3）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（4）可能发生，也可能不发生，是不确定事件．
3.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于2且小于5．
【解析】掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．
（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，
∴P（点数为偶数）==
（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，
∴P（点数大于2且小于5）=
4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．
（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．
【解析】解：（1）∵一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，
∴从中随机抽取出一个黑球的概率是：；
（2）∵往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，
∴=，
则y=3x+5．
【方法总结】
要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【随堂练习】
1．（2019春•贵阳期末）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是
A．大于4的点数 B．小于4的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数
【解答】解：、；
、；
、；
、．
骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点．
故选：．
2．（2019春•市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是
A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大
B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多
C．她不可能吃到豆沙馅汤圆
D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
【解答】解：盛了1个汤圆盛到黑芝麻的概率为，盛到枣泥的概率为，盛到豆沙的概率为，
她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多，
故选：．
3．（2019•金华）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是．
故选：．
4．（2019•任城区二模）为了庆祝“六一儿童节”，六年级同学在班会课进行了趣味活动．小舟同学在模板上画出一个菱形，将它以点为中心按顺时针方向分别旋转，，后得到如图所示的图形，其中，，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：如图：连接、，、．
为菱形，，，
，
为等边三角形．
．
．
菱形的面积．
由旋转的性质可知．
又，
．
的面积．
阴影的面积，四边形的面积．
命中阴影部分的概率，
故选：．
5．（2019•大兴区一模）小冬和小松正在玩“掷骰子，走方格”的游戏．游戏规则如下：（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面的数字分别是1至，落地后骰子向上一面的数字是几，就先向前走几格，然后暂停．（2）再看暂停的格子上相应的文字要求，按要求去做后，若还有新的文字要求，则继续按新要求去做，直至无新要求为止，此次走方格结束．下图是该游戏的部分方格：
大本营
1
对自己说
“加油！”
2
后退一格
3
前进三格
4
原地不动
5
对你的小伙伴说“你好！”
6
背一首古诗
例如：小冬现在的位置在大本营，掷骰子，骰子向上一面的数字是2，则小冬先向前走两格到达方格2，然后执行方格2的文字要求“后退一格”，则退回到方格1，再执行方格1的文字要求：对自己说“加油”．小冬此次“掷骰子，走方格”结束，最终停在了方格1．如果小松现在的位置也在大本营，那么他掷一次骰子最终停在方格6的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：掷一次骰子最终停在方格6的情况有①直接掷6；②掷3后前进三格到6；
所以掷一次骰子最终停在方格6的概率是，
故选：．
6．（2019•江北区一模）从五个数中任意抽取一个作为，则满足不等式的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：不等式的解集为：，
满足不等式的概率是，
故选：．
7．（2019•瓯海区一模）在一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中4个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，不是白球的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：袋子中共有9个小球，其中不是白球的有7个，
摸出一个球不是白球的概率是，
故选：．
8．（2019•广西模拟）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中原有黑球
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：设袋中黑球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
所以袋中黑球有4个，
故选：．
二．填空题（共5小题）
9．（2019春•贵阳期末）小邦制作了十张卡片，上面分别标有这十个数字，从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被5整除的概率是 ．
【解答】解：这十个数字中，能被5整除的有两个5，10，
这十张卡片中随机抽取一张恰好能被5整除的概率，
故答案为．
10．（2019•大庆）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
【解答】解：袋子中球的总数为，而白球有8个，
则从中任摸一球，恰为白球的概率为．
故答案为．
11．（2019•通辽）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为 ．
【解答】解：由分式方程，得
或时，分式方程无解，
时，，
时，，
所以在1，2，3，4，5取一个数字使分式方程无解的概率为．
12．（2019•红桥区二模）一个不透明的袋子中装有11个球，其中3个红球、5个黑球，3个黄球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是 ．
【解答】解：装有11个球，其中3个红球、5个黑球，3个黄球，
红球的概率是，
故答案为：
13．（2019•成都）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为 20
【解答】解：设盒子中原有的白球的个数为个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解；
盒子中原有的白球的个数为20个．
故答案为：20；
三．解答题（共2小题）
14．（2019春•成都期末）如图①，在中，，两条直角边长分别为，，斜边长为．如图②，现将与全等的四个直角三角形拼成一个正方形．
（1）若的两直角边之比均为．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？
（2）若正方形的边长为8，的周长为18，求的面积．
【解答】解：（1）的两直角边之比均为，
设，，
由勾股定理得，，
，
针尖落在四个直角三角形区域的概率是；
（2）正方形的边长为8，即，
的周长为18，
，
，
则的面积
．
15．（2019•秦淮区校级模拟）在边长为4的正方形平面内，建立如图1所示的平面直角坐标系．学习小组做如下实验：
连续转动分布均匀的转盘（如图两次，指针所指的数字作为直角坐标系中点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标）．
（1）转盘转动共能得到 36 个不同点，点落在正方形边上的概率是 ；
（2）求点落在正方形外部的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
1
2
3
根据图表可得：转盘转动共能得到36个不同点，点落在正方形边上的有12个，
则点落在正方形边上的概率是；
故答案为：36，；
（2）根据图表得出：共有36个点，其中落在正方形外部的点共有20个，
则点落在正方形外部的概率是：．
知识点2 用列举法求概率
用列表法和树状图法，求事件的概率
1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．
2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．
【典例】
1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
【解析】解：列表得：
由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种，
所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率==．
2.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
【解析】解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=．
3.三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.
（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果)
（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次，若记下的13个数之和等于-4，平方和等于14，求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数.
【解析】（1）解：根据题意画出树状图如解图：
所有等可能的情况数有9种，其中两次记下之数的和大于0的情况有3种，
则P=
（2）解：设摸出-2、0、1的次数分别为x、y、z，
由题意得，，
③-②得，6x=18，解得x=3
把x=3代入②得，-2×3+z=-4，解得z=2，
把x=3，z=2代入①得，y=8，
所以，方程组的解是，
故摸到球上所标之数是0的次数为8.
【方法总结】
求概率应掌握以下方法：
1. 直接公式法：，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数.
2. 求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；④用公式 求事件A发生的概率
3. 判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平.
4. 在重复实验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况
【随堂练习】
1．（2019•武侯区校级自主招生）将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于、的方程组，只有正数解的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：①当时，方程组无解；
②当时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．
易知，都为大于0的整数，则两式联合求解可得，，
使、都大于0则有，，
解得，或者，，
，都为1到6的整数，
可知当为1时只能是1，2，3，4，5，6；或者为2，3，4，5，6时无解，
这两种情况的总出现可能有6种；
，，，，，，，
又掷两次骰子出现的基本事件共种情况，故所求概率为，
故选：．
2．（2019•宿豫区模拟）同时抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上两个数字之积为偶数的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：列表得：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
共有36种等可能的结果，向上两个数字之积为偶数的有27种情况，
向上两个数字之积为偶数的概率为．
故选：．
3．（2019•柳州）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
小李获胜的概率为；
故选：．
4．（2019•周口二模）在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球后然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
2
3
4
2
3
4
所有等可能的结果有9种，其中之和为5的情况有2种，
则两次摸取的小球标号之和为5的概率为
故选：．
5．（2019•南充模拟）在一个不透明的袋子中装有两个黑球、两个白球，这些球除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球，记下颜色，放回袋中摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到黑球的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：设黑球分别为、，白球分别为、，列表得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
总共有16种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到黑的结果有4种，
所以两次都摸到黑球的概率是，
故选：．
6．（2019•临沂）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画“树形图”如图所示：
这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选：．
7．（2019•东西湖区模拟）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取两张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为5，
所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率
故选：．
8．（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为，从乙中任取一张卡片，将其数字记为．若，能使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
乙获胜的概率为，
故选：．
9．（2019•广东二模）有三张正面分别写有数字，，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为的值，则点在第二象限的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中点在第二象限的有2种结果，
所以点在第二象限的概率为，
故选：．
10．（2019•河南二模）在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，，3，4，随机摸取一个小球记下标号后放回，再随机摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球的标号之积为负数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
则共有16种等可能的结果，其中两次摸取的小球的标号之积为负数的有4种结果，
所以两次摸取的小球的标号之积为负数的概率为，
故选：．
二．解答题（共2小题）
11．（2019•碑林区校级模拟）6月电商的“年中大促销”已开始预热，实体店也摩拳擦掌提前备战，积极展开促销活动．陈阿姨参加了某店“砸金蛋赢优惠”活动，该店提供四个外观一样的“金蛋”，每个“金蛋”内装一张优惠券，分别是10，20，50，100（单位：元）的优惠券．四个“金蛋”内的优惠券不重复．砸到哪个“金蛋”就会获得“金蛋”内相应的优惠券．
（1）如果随机砸1个“金蛋”，求陈阿姨得到100元优惠券的概率；
（2）如果随机砸2个“金蛋”，且第一次砸过的“金蛋”不能再砸第二次，请用列表或画树状图的方法求出陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的概率为多少？
【解答】解：（1）如果随机砸1个“金蛋”，陈阿姨得到100元优惠券的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的有8种结果，
所以陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的概率为．
12．（2019•岳麓区校级三模）长沙地铁四号线丁今年五月开通，被称之为“麓山专列”，给同学们上学带来方便．初一数学兴趣班同学在全校范围内随机抽取了50名走读同学进行“使用哪种出行方式上学”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有4000名同学，请估计全校走读同学选择乘坐“地铁”上学的有多少人？
（3）该兴趣班同学还用四个完全相同的小球，把四种出行方式分别标为、、、，再将它们放在一个不透明的口袋中，让冋学们随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“”的概率．
【解答】解：（1）步行人数为：人，补全条形统计图如图所示：
（2）人，
答：全校走读同学选择乘坐“地铁”上学的有1680人．
（3）随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出个小球，所有可能出现的结果为：
因此两次恰好都摸到“”的概率是．
答：两次都摸到“”的概率为．
知识点3用频率估计概率
用频率估计概率
实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
【典例】
1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．.
【解析】解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；故答案为：0.5；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.5，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=4×0.5=2（个）；
（3）列表得：
由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有4种可能．
∴P（颜色相同）==．
2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 ，理由是：
.
【解析】解：（1）填表如下：
（2）当n很大时，频率将会接近（67+145+357+552+704+1396）÷
（100+200+500+800+1000+2000）≈0.7，
故答案为：0.7；
（3）获得铅笔的概率约是0.7，理由是：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）= ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
【解析】解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6．
（3）盒子里黑、白两种颜色的球各有40﹣24=16，40×0.6=24．
【方法总结】
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．
3．利用频率估计出的概率是近似值.
【随堂练习】
1．（2019•南平模拟）盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，由此估计摸白色乒乓球的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：估计摸白色乒乓球的概率为，
故选：．
2．（2019•江西模拟）在一个不透明的袋子中装有20个蓝色小球、若干个红色小球和10个黄色小球，这些球除颜色不同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.4左右，若小明在袋子中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
则小明在袋子中随机摸取一个小球，摸到黄色小球的概率为，
故选：．
3．（2019•武汉模拟）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
移植总数
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数
47
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.94
0.87
0.923
0.883
0.89
0.915
0.905
0.897
0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果保留小数点后两位）
A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.92
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种幼树移植成活率的概率约为0.90，
故选：．
4．（2018秋•天津期末）一个不透明的盒子里有几个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个红球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为
A．15 B．18 C．20 D．24
【解答】解：根据题意得，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
所以这个不透明的盒子里大约有20个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：．
5．（2018秋•通州区期末）在一个不透明的布袋中，共有30个小球，除颜色外其他完全相同．若每次将球搅匀后摸一个球记下颜色再放回布袋．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在0.2左右，则口袋中红色球的个数应该是
A．6个 B．15个 C．24个 D．12个
【解答】解：设袋中红色球有个，
根据题意，得：，
解得，
即口袋中红色球的个数应该是6个，
故选：．
6．（2018秋•海安县期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为
A．16 B．20 C．24 D．28
【解答】解：根据题意知，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
7．（2018秋•东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
每批粒数
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数
96
282
382
570
948
1904
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950
下面有三个推断：
①当为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【解答】解：①当时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；
③若为4000，估计大豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．
故选：．
8．（2018秋•宝安区期末）在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球有
A．12个 B．20个 C．24个 D．40个
【解答】解：设袋中白球有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
故袋中白球有24个．
故选：．
9．（2018秋•南山区期末）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是
A．红球比白球多 B．白球比红球多
C．红球，白球一样多 D．无法估计
【解答】解：位同学摸到红球的频率的平均数为，
红球比白球多．
故选：．
二．解答题（共3小题）
10．（2019春•贵阳期末）为了准备体育艺术节的比赛，某篮球运动员在进行定点罚球训练，如表是部分训练记录：
罚球次数
20
40
60
80
100
120
命中次数
15
32
48
65
80
96
命中频率
0.75
0.8
0.8
0.81
0.8
0.8
（1）根据上表：估计该运动员罚球命中的概率是 0.8 ；
（2）根据上表分析，如果该运动员在一次比赛中共获得10次罚球机会（每次罚球投掷2次，每命中一次得1分），估计他罚球能得多少分，请说明理由．
【解答】解：（1）根据表格数据可知该运动员罚球命中的概率0.8，
故答案为0.8；
（2）由题意可知，罚球一次命中概率为0.8，
则罚球10次得分为，
估计他能得16分．
11．（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频率（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
【解答】解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率．
（2）购买10次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
24000
24500
25000
30000
35000
此时这100台机器维修费用的平均数
购买11次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
26000
26500
27000
27500
32500
此时这100台机器维修费用的平均数
，
，
所以，选择购买10次维修服务．
12．（2019•株洲）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温（单位：
需求量（单位：杯）
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温满足（单位：，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于的天数为（天；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为；
（3）（元，
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元．
综合运用：概率初步
1.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算：
（1）取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？
（2）取到卡片号是7的倍数的概率是多少？
【解析】解：从1到100的数字中，能被7整除的数为{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}共有14个数，
（1）取到卡片号是7的倍数的情况有14种；
（2）取到卡片号是7的倍数的概率是.
2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为．
（1）试求袋中篮球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），请画出树状图或列表的方法，求两次摸到都是白球的概率．
【解析】解：（1）设篮球个数为x个，则由题意得：
=，
解得 x=1，
即篮球有1个．
（2）树状图如下：
所有可能结果共有12种，它们发生的可能性相等，其中两次摸到都是白球的有2种，
∴P（两个都是白球）=．
3.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之积能被2整除的概率．
【解析】解：（1）画树状图为：
（2）由树状图可知，共有6种等可能的结果数，其中两个数字之积能被2整除的结果数为4，
所以两个数字之积能被2整除的概率为=．
4.有4个完全一样的小球，上面分别标着数字，2，1，﹣3，﹣4．现随机摸出一个小球后不放回，将该小球上的数字记为m，再随机地摸出一个小球，将小球上的数字记为n．
（1）请列表或画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求 所选出的m，n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率．
【解析】解：（1）画树状图得：
则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；
（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图像经过第第二、三、四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），
∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图像经过第第二、三、四象限的概率==．
5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得1分，否则小刚得1分．
（1）这个游戏公平吗？为什么？
（2）如果不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？
【解析】解：（1）列表如下：
共有40种等可能的结果数，其中配成紫色的占16种，
两个转盘各转一次小明得分=×1=，
小刚得分==×1=，
所以这个游戏不公平．
（2）游戏规则为：两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得3分，否则小刚得2分．
6.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【解析】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人
喜欢用QQ沟通所占比例为： =，
∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×=108°
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人
喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40%
∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人
（4）列出树状图，如图所示
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： =
故答案为：（1）100；108°
7.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【解析】解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，
所以P（小王）=；
（2）不公平，理由如下：
∵P（小王）=，P（小李）=，≠，
∴规则不公平．
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