上海市嘉定区2022-2023学年高三数学下学期2月调研试题（Word版附解析）

嘉定区高三数学调研试卷

2023.02

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 已知全集，集合，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】解：因为全集，集合，

所以.

故答案为：

2. 不等式的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据分式不等式的解法，即可得到结果.

【详解】因为，即，解得，

所以不等式的解集为

故答案为:

3. 某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________．

【答案】1

【解析】

【分析】设圆柱底面半径为，高为，求出底面积的侧面积，即可得结论．

【详解】设圆柱底面半径为，高为，

由题意，所以，即．

故答案为：1．

4. 直线与直线的夹角的正弦值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】依题意得到两直线的倾斜角的正切值，设两直线夹角为，则，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】设斜率为，由得，

设的斜率为，由得，

设两直线夹角为，，则，

又且，解得或（舍去）.

故答案为：

5. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式商品盒子.已知某盲盒产品共有两种不同玩偶，抽到的概率都是，小明若一次购买2个盲盒，则他能集齐两种玩偶的概率是______.

【答案】##0.25

【解析】

【分析】根据相互独立事件同时发生概率公式计算.

【详解】由题意，抽到两种不同玩偶为相互独立事件，

所以他能集齐两种玩偶的概率，

故答案为：

6. 已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得、，进而得解.

【详解】点、在平面上的射影分别为、，

∴向量的坐标为．

故答案为：.

7. 已知的二项展开式中的第9项是7920，则实数为__．

【答案】

【解析】

【分析】根据二项式定理确定开式中的第9项是，再由，即可求得实数的值.

【详解】解：展开式中的第9项是，解得，又，所以．

故答案为：.

8. 已知向量，，且，则t=____.

【答案】

【解析】

【分析】由可得：，进而计算求解.

【详解】因为，所以，则有，

又，，所以，解得：，

故答案为：.

9. 已知，实数，，函数的部分图像如图所示，若该函数的最小正零点是，则______.

【答案】2

【解析】

【分析】根据函数图象得到，再根据该函数最小正零点是，由求解.

【详解】解：由图象知：，因为该函数的最小正零点是，

所以，则，即.

故答案为：2

10. 数列是公比为的等比数列，为其前项和. 已知，， 给出下列四个结论：

① ；

②若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是；

③若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是；

④若存在使得的乘积最小，则的值只能是．

其中所有正确结论的序号是________.

【答案】①②③

【解析】

【分析】求出数列的通项公式，求得前项乘积，确定积的最大值和最小值，即可得．

【详解】由题意，

，

若，则，所以，，，无实解，

若，则，，，又，所以，

①正确，

，

，，，，，，，

因此，又时，，所以时，，

，，，，，，

所以或时，取得最大值，或时，取得最小值，

因此②③正确，④错误，

故答案为：①②③．

11. 如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】先设出BP=x，，利用求出，结合基本不等式求出时，面积取得最小值，补形后三棱锥的外接球即该长方体的外接球，求出外接球半径和表面积.

【详解】由勾股定理得：，

设BP=x，，则，，

，

由得：，解得：，

因为，故

由基本不等式得：，

当且仅当，即时，等号成立，

将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，

其中长方体的外接球的直径为，

故半径为，故三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：

12. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案.

【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点，

集合表示直线上的点，

，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为.

双曲线的渐近线为，不妨取，则，即，

平行线的距离，故或（舍去）.

故答案为：.

【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 如图是根据的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图是（    ）

A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④

【答案】B

【解析】

【分析】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下即可.

【详解】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下，

所以③④图的变量具有线性相关关系.

故选：B

14. 已知复数，则“”是“”的（    ）条件.

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】当时，即，，充分性；取，则，，不必要，得到答案.

【详解】设，，当时，即，

，充分性；

取，则，，不必要性.

综上所述：“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

15. 已知直线m、n及平面，其中，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（    ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①④ D. ②④

【答案】B

【解析】

【分析】设一个平面，该面满足，且到平面的距离相等且异侧，全面考虑平面与平面位置关系的几种情况，判断即可.

【详解】设一个平面，该面满足，且到平面的距离相等且异侧，如图

则平面的所有点到两条直线m、n距离相等，

若平面与平面相交于时，则上的所有点到两条直线m、n距离相等，故①正确；

若平面与平面平行时，则平面上没有点到两条直线m、n距离相等，故④正确；

若平面与平面重合时，则平面上所有点到两条直线m、n距离相等，故②正确；

故任何时候都不可能只有一个点满足条件，

所以正确的有①②④.

故选：B.

16. 在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.

【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.

【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 在中，角 的对边分别是 ，．

（1）求C；

（2）若，的面积是，求的周长．

【答案】（1）.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）将化为，由余弦定理即可求得角C.

（2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意在中，，

即，故 ，

由于，所以.

【小问2详解】

由题意的面积是，，即 ，

由，得，

故的周长为.

18. 已知数列的前项和为，其中为常数．

（1）证明：；

（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（I）对于含递推式的处理，往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式．结合结论，该题需要转换为项的递推式．故由得．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由，，，列方程得，从而求出．得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列．

试题解析：（I）由题设，，．两式相减得，．

由于，所以．

（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．

故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；

是首项为3，公差为4的等差数列，．

所以，．

因此存在，使得为等差数列．

【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．

19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（1）求X的分布；

（2）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由.

【答案】（1）

；    （2），理由见解析

【解析】

【分析】（1）由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；

（2）购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，结合（1）分别求出、时费用的期望即可下结论.

【小问1详解】

由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，

10，11的概率分别为，

从而，

，

，

，

，

，

，

所以的分布列为

【小问2详解】记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，

当时，

当时，

因为，

可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，

故应选．

20. 已知曲线左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.

（1）求的周长；

（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；

（3）设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）周长为6   

（2）   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）由椭圆方程求出，，然后根据椭圆的定义可求出的周长，

（2）设圆的方程为，由题意可求得，由与圆相切，利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，

（3）假设在轴上存在一点，设直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出线段的中点的坐标，从而可表示出线段中垂线的方程，则可表示点的坐标，然后表示出到直线的距离，再利用列方程可求出的值，从而可得答案.

【小问1详解】

根据题设条件，可得，

故，，所以，

根据椭圆定义，可知，

因为，

所以，得的周长为6，

【小问2详解】

设圆的方程为，令，得，

故，得.

由题意可得直线的斜率存在，

由与圆相切，得到直线的距离.解得，

故直线的方程为

【小问3详解】

假设在轴上存在一点，设直线的方程为，

将直线的方程和椭圆的方程联立，得，

消去并整理，得，必有

令，则

故线段的中点的坐标为，

则线段中垂线的方程为

令，得，点到直线的距离，

又因为，所以，

即

化简得，解得，

故.

21. 设函数，．

（1）曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）证明：若，则对任意，，，有．

【答案】（1）   

（2）答案不唯一，具体见解析   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，求得切线斜率，令斜率等于，解方程可得的值；

（2）根据对数函数定义域为大于的数，求出讨论与的大小关系，分别求得函数的单调区间；

（3）构造函数，求出导数，根据的取值范围得到导函数一定大于零，则可判断函数为单调递增函数，利用当时有即可得证.

【小问1详解】

函数的导数为，

在点处的切线斜率为，

解得；

【小问2详解】

的定义域为，，

若即，则，故在单调递增．

若，而，故，则当时，；

当及时，

故在单调递减，在和单调递增．

若，即，

同理可得在单调递减，在和单调递增．

【小问3详解】

欲证成立，

即证明，

设函数

则，

由于，故，

即在单调增加，

从而当时有，

即，故成立．