第4章　万有引力定律及航天 习题课 天体运动中的三类典型问题

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习题课:天体运动中的三类典型问题合格考达标练1.由于通信和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步卫星,这些卫星的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同解析地球同步卫星轨道必须在赤道平面内,离地面高度相同的同一轨道上,角速度、线速度、周期一定,与卫星的质量无关。选项A正确,B、C、D错误。答案A2.如图所示,地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3,向心加速度分别为a1、a2、a3,则(　　)A.v1>v2>v3 B.v1<v2<v3C.a1>a2>a3 D.a1<a3<a2解析卫星的速度v=,可见卫星距离地心越远,即r越大,则速度越小,所以v3<v2;q是同步卫星,其角速度ω与地球自转角速度相同,所以其线速度v3=ωr3>v1=ωr1。故选项A、B均错误。由G=ma,得a=,同步卫星q的轨道半径大于近地卫星p的轨道半径,可知q的向心加速度a3<a2;由于同步卫星q的角速度ω与地球自转的角速度相同,即与地球赤道上的山丘e的角速度相同,但q轨道半径大于e的轨道半径,根据a=ω2r可知a1<a3。故选项D正确,选项C错误。答案D 3.如图所示,宇宙飞船A在低轨道上飞行,为了给更高轨道的空间站B输送物资,它可以采用喷气的方法改变速度,从而达到改变轨道的目的,则以下说法正确的是(　　)A.它应沿运行速度方向喷气,与B对接后运行周期变小B.它应沿运行速度的反方向喷气,与B对接后运行周期变大C.它应沿运行速度方向喷气,与B对接后运行周期变大D.它应沿运行速度的反方向喷气,与B对接后运行周期变小解析飞船由低轨道向高轨道运行时,需要提高在轨道上的运行速度,增加轨道高度才能使宇宙飞船A到达更高轨道与空间站B对接;由G=mr可知,r增大,T变大,选项B正确。答案B4.(多选)嫦娥三号沿地月转移轨道直奔月球,如图所示,在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获,进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后,卫星在P点又经过第二次“刹车制动”,进入距月球表面100 km的圆形工作轨道Ⅱ,绕月球做匀速圆周运动,在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15 km的椭圆轨道Ⅲ,然后择机在近月点下降进行软着陆,则下列说法正确的是(　　)A.嫦娥三号在轨道Ⅰ上运动的周期最长B.嫦娥三号在轨道Ⅲ上运动的周期最长C.嫦娥三号经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D.嫦娥三号经过P点时,在三个轨道上的加速度相等解析由于嫦娥三号在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径,也大于轨道Ⅲ的半长轴,根据开普勒第三定律可知,嫦娥三号在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ>TⅡ>TⅢ,故A正确,B错误;嫦娥三号在由高轨道降到低轨道时,都要在P点进行“刹车制动”,所以经过P点时,在三个轨道上的线速度关系为vⅠ>vⅡ>vⅢ,所以C错误;由于嫦娥三号在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关,故D正确。答案AD5.a是地球赤道上一栋建筑,b是在赤道平面内做匀速圆周运动的卫星,c是地球同步卫星,已知c到地心的距离是b的二倍,某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图所示),经48 h,a、b、c的大致位置是图中的(　　)解析在某时刻c在a的正上方,则以后永远在a的正上方,对b和c,根据G=mr,推知Tc=2Tb,又由2Tc=nbTb,得b卫星运行的圈数为nb=2×2=5.66,所以B正确。答案B6.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是              (　　)A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小相等D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零解析双星系统的结构是稳定的,故它们的角速度相等,故B错误;两个星球间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知,两个天体的向心力大小相等,故C正确;根据牛顿第二定律,有G=m1ω2r1=m2ω2r2其中r1+r2=L故r1=Lr2=L故故质量大的天体线速度较小,A错误;若在圆心处放一个质点,合力F=G-G≠0,故D错误。答案C 7.某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道,在B点实施变轨后,再进入预定圆轨道,如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,近地点A距地面高度为h1,地球表面重力加速度为g,地球半径为R。求:(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大?(2)远地点B距地面的高度h2为多少?解析(1)设地球质量为M,飞船的质量为m,在A点飞船受到的地球引力为F=G,地球表面的重力加速度g=G由牛顿第二定律得aA=。(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T=由牛顿第二定律得G=m2(R+h2)解得h2=-R。答案(1)　(2)-R8.如图所示,两个星球A、B组成双星系统,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、mB,引力常量为G,求(其中L为两星中心距离,T为两星的运动周期)。解析设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB。则rA+rB=L,对星球A有G=mArA,对星球B有G=mBrB,联立以上三式求得。答案等级考提升练9.有a、b、c、d四颗地球卫星,a在地球赤道上未发射,b在地面附近近地轨道上正常运动,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图,则有(　　)A.a的向心加速度等于重力加速度gB.b在相同时间内转过的弧长最长C.c在4 h内转过的圆心角是D.d的运行周期有可能是20 h解析对于卫星a,根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得G-N=ma向,又由G=mg,故卫星a的向心加速度小于重力加速度g,选项A错误;由G=m得,v=,故轨道半径越小,线速度越大,故b、c、d三颗卫星的线速度的大小关系为vb>vc>vd,而卫星a与同步卫星c的周期相同,故卫星c的线速度大于卫星a的线速度,选项B正确;由c是地球同步卫星,可知卫星c在4 h内转过的圆心角是,选项C错误;由G=m2r得,T=2π,轨道半径越大,周期越长,故卫星d的周期大于同步卫星c的周期,选项D错误。答案B10.(2021河北卷)“祝融号”火星车登陆火星之前,“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行,其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行,其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日,火星质量约为地球质量的0.1,则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为(　　)A. B. C. D.解析设火星质量为M火,飞船的轨道半径为r1,周期为T1,地球质量为M,地球同步卫星的轨道半径为r,周期为T,对飞船有=mr1对地球同步卫星有=m2r联立解得,故D正确。答案D11.(多选)如图所示,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星,甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行,若三颗星质量均为M,万有引力常量为G,则(　　)A.甲星所受合外力为B.乙星所受合外力为C.甲星和丙星的线速度相同D.甲星和丙星的角速度相同解析由万有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之间的万有引力大小均为F1=G,甲、丙之间的万有引力为F2=G,甲星所受两个引力的方向相同,故合力为F1+F2=,选项A正确;乙星所受两个引力等大、反向,合力为零,选项B错误;甲、丙两星线速度方向始终不同,选项C错误;由题知甲、丙两星周期相同,由角速度定义可知,两星角速度相同,选项D正确。答案AD12.(多选)经过科学家的努力,人类直接探测到了来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度解析设两中子星质量为m1、m2,环绕半径为r1、r2,两星间距为r,所以有G=m1ω2r1,G=m2ω2r2可解得m1=,m2=所以m1+m2=,故B项正确;设两星速率分别为v1、v2,所以有v1+v2=ω(r1+r2)=ωr由题意可得ω、r,故C项正确。答案BC13.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G。则每颗星做圆周运动的周期为多大?解析任意两个星体之间的万有引力F=,每一颗星体受到的合力F1=F由几何关系知,它们的轨道半径r=R合力提供它们的向心力解得T=2π。答案均为2π14.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统,它们运行的原理可以理解为,质量为m0的恒星和质量为m的行星(m0>m),在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示,我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G,恒星和行星的大小可忽略不计。(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道。(2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。解析(1)恒星运动的轨道大致如图。(2)对行星有F=mω2Rm对恒星有F'=m0ω2Rm0根据牛顿第三定律,F与F'大小相等联立解得Rm0=a对恒星有=G代入数据得v=。答案(1)见解析　(2)a