第04讲 极值点偏移：乘积型（学生及教师版）

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第04讲 极值点偏移:乘积型参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．（2021春•汕头校级月考）已知，函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围；设的两个零点分别为，，证明：．【解答】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，在单调递增；②当时，由得，则当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．（2）法1：函数有两个零点即方程在有两个不同根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图：可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须，设切点，，所以，又，所以，解得，于是，所以，法2：由（1）当时，在单调递增，不可能有两个零点，，此时，需解得，从而，又故在有一个零点；，设，，则故在单调递减在有一个零点故的取值范围为．原不等式，不妨设，，，，，，，，令，则，于是，设函数，求导得：，故函数是上的增函数，（1），即不等式成立，故所证不等式成立．2．（2021•攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．【解答】解：（Ⅰ）有题意，当时，，在上单增，此时显然不成立，当时，令，得，此时在上单减，在上单增，（b），即，所以，．所以的最大值为1．（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，的两个零点为，，则，即，，不等式恒成立等价于，两式相减得，带入上式得，令，则，，所以函数在上单调递增，（1），得证．3．（2021•张家口二模）已知函数是自然对数的底数）有两个零点．（1）求实数的取值范围；（2）若的两个零点分别为，，证明：．【解答】解：（1）由题意可得，有2个零点，令，则在时恒成立，故在上单调递增，所以有2个零点可转化为有2个零点，因为，时，，单调递增，不可能有2个零点，当时，由可得，单调递增；可得，单调递减，（a），若，则（a），此时恒成立，没有零点，若，则（a），有一个零点，若，则（a），因为（1），，所以在，上各有1个零点，符合题意，综上，的范围；（2）证明：要证，只要证，即证，由（1）可知，，，所以，，所以，只要证，设，令，，所以只要证即证，令，，则，（1），即当时，，所以即，故．4．（2021•武进区校级月考）已知函数．（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明．【解答】（1）解：，函数在处的切线与轴平行，（1），解得．（2）解：，，不等式化为：，存在，，使不等式对于，恒成立，，化为：．，令，，函数在，上单调递增，（1）．，因此函数在，上单调递增．（e）．的取值范围是．（3）证明：方程，即，．令，．可得：函数在时单调递增，在时单调递减．时，函数取得极大值即最大值．．方程有两个不等的实数根、．，要证明：．只要证明：即可．不妨设，则，由于函数在时单调递增，因此只要证明：即可得出，设函数，．可得在上，且．，，即，即．，．5．（2021•和平区校级模拟）已知函数的导函数为．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）若关于的方程有两个实数根，，求证：．【解答】解：（Ⅰ），令，由，可得在上单调递减，上单调递增，（1），在上单调递增   （4分）（Ⅱ）依题意，，相减得，令，则有，，欲证成立，只需证成立，即证成立，即证成立，令，只需证成立，令，即证时，成立，令，则，可得在内递减，在内递增，，，在上单调递增，（1）成立，故原不等式成立．6．（2021春•邵东市校级期中）已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若存在，，且当时，，当时，求证：．【解答】解：（1）由，，当，，在上为增函数，无极值，当，，；，，在上为减函数，在上为增函数，，有极小值，无极大值，综上知：当，无极值，当，有极小值，无极大值．（2）证明：，，，，，所以，当，在上为增函数，所以当时，恒有，即成立；当，在上为增函数，当，在上为增函数，这时，在上为增函数，所以不可能存在，，满足当时，，所以有．设，得：，①，，②，由①②式可得：，即，又，，③，要证④，所以由③式知，只需证明：，即证，设，只需证，即证：，令，由，在上为增函数，（1），成立，所以由③知，成立．7．（2021•海安县校级模拟）设函数．（1）当时，求函数在点，处的切线方程；（2）若函数的图象与轴交于，，，两点，且，求的取值范围；（3）证明：为函数的导函数）．【解答】解：（1）的导数为，可得在处的切线斜率为0，切点为，可得切线方程为；（2）的导数为，当时，恒成立，在上递增，与题意不符；当时，由，可得，当时，，递增；当时，，递减，可得处取得极小值，函数的图象与轴交于，，，两点，且，可得，即，存在，（1），存在，，又在，的单调性和的图象在上不间断，可得为所求取值范围；（3）证明：，，两式相减可得，设，则，设，，可得在递减，即有，而，可得，由为递增函数，，可得，即原不等式成立．8．（2021•鄱阳县校级月考）设函数其图象与轴交于，，，两点，且．（1）求的单调区间和极值点；（2）证明：是的导函数）；（3）证明：．【解答】解：（1）设函数其图象与轴交于，，，两点，所以函数不单调，有实数解，所以，解得，因为，，单调递减，时，，单调递增，且是极小值点；，由题意得，，所以，所以函数的单调递增区间，单调递减区间，极小值点是，无极大值点，且．（2）证明：，两式相减可得，，令，则，，令，则，所以单调递减，，而，，又，；（3）证明：由，可得，，令，，则，，设，则，，，，，，要证明：，等价于证明：，即证，即证，即证，即证，令，，，在上单调递减，，故，，，从而有：．9．（2021•泉州二模）已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）若存在两个零点，，求的取值范围，并证明．【解答】解：（1）当时，，则，令，则，在单调递增，又，故存在唯一，使得，即，，且当时，，，当，时，，，在单调递减，在，单调递增，；（2），①当时，，在上单调递增，至多有一个零点，不合题意；②当时，当时，，单调递减，当时，，在上单调递增，则，解得，注意此时，当时，，此时，则在和分别存在一个零点；当时，，设（a），，则（a），（a），（a）在单调递增，则（a），（a）在单调递减，则（a），即，此时，则在和分别存在一个零点；综上，若有两个零点，则的取值范围为；下证明，不妨设，由得，，两式相减得，，两式相加得，，要证，只需证，即证，令，则，在，单调递增，则（1），又，故等号不成立，即得证．10．（2021•未央区校级月考）已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求的取值范围；（2）记两个极值点为，，且，当时，求证：不等式恒成立．【解答】解：（1）由题意知，函数的定义域为，方程在有两个不同根；即方程在有两个不同根；转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须．令切点，，故，又，故，解得，，故，故的取值范围为；（2）证明：欲证 两边取对数等价于要证：，由（1）可知，分别是方程的两个根，即，所以原式等价于，因为，，所以原式等价于要证明．又由，作差得，，即．所以原式等价于，令，，则不等式在上恒成立．令，又，当时，可见时，，所以在上单调增，又（1），所以在恒成立，所以原不等式成立．11．（2021•浙江模拟）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求的取值范围；（2）记两个极值点分别为，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，函数的定义域为，方程在有两个不同根；即方程在有两个不同根；转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须．令切点，，故，又，故，解得，，故，故；（2）等价于．由（1）可知，分别是方程的两个根，即，原式等价于，，，原式等价于．又由，作差得，，即．原式等价于．，原式恒成立，即恒成立．令，，则不等式在上恒成立．令，又，当时，可见时，，在上单调增，又（1），在恒成立，符合题意．当时，可见时，，，时，在时单调增，在，时单调减，又（1），在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须，又，．12．（2021•柳州月考）已知函数．（1）若函数在点，（1）处切线的斜率等于1，求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个极值点分别为，，证明：．【解答】解：（1）函数，．，函数在点，（1）处切线的斜率等于1，（1），解得．（2），令，，或△，解得，时，，函数在上单调递增．时，△，方程有两个不等实数根，．设．可得：函数在，，上单调递增；在，上单调递减．综上可得：时，函数在上单调递增．时，方程有两个不等实数根，．设．可得：函数在，，上单调递增；在，上单调递减．（3）由（2）可得：时，方程有两个不等实数根，．即函数有两个极值点，．，．证明：．即证明．由函数（a）在，上单调递增，，因此结论成立，即．13．（2021•南昌月考）已知函数有两个极值点，．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【解答】解：（1），令，，则，故在递增，在递减，故（2），故，又，，故实数的取值范围是；（2）证明：先证明，不妨设，即证，再令，即证，令，，故为减函数，故（1），即，故得证，由，两式相减得，故．14．（2021春•龙凤区校级期末）已知函数．若在上有两个极值点、．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．【解答】解：（1），要使得在上有两个极值点，，则在上有两个不同的零点，①时，由（1）知，，令，所以在上，，为减函数，在上，，为增函数，所以（1），故，所以在上没有两个零点，舍，②当时，因为，，，，则在上单调递减，所以最多只有一个零点，不合题意，舍去，③当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，要使，解得，综上所述，的取值范围为．（2）证明：由（1）知，，，先证不等式，其中，即证，即，令，即证，构造函数，则，所以，函数在区间上单调递减，故（1），由已知可得，所以，所以，则，所以，所以．15．（2021春•瑶海区月考）已知函数，．（1）若，为的导函数），求函数在区间，上的最大值；（2）若函数有两个极值点，，求证：．【解答】解：（1）函数的定义域为，，，①当时，显然在上恒成立，所以在上单调递增，所以在区间，上的最大值为（e）；②当时，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在区间，上的最大值为；③当时，显然在上恒成立，所以在上单调递减，所以在区间，上的最大值为（1）．综上所述，当时，最大值为1；当时，最大值为；当时，最大值为．（2）证明：，有题意可知 至少有两个零点，所以．由，，可得，．所以，不妨设，令，则，下面证明．令，则，所以在单调递增，（1），即．于是，，即．16．（2021•龙岩模拟）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，求证：．【解答】解：（1）当时，，则，所以（1），又（1），所以切线方程为，即．（2）证明：由题意得，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个不相等的实数根，，令，则，①当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得，当，时，，故函数在，上单调递减；当，时，，故函数在，上单调递增，因为函数有两个不相等的实数根，，所以，得，不妨设，则，，又，所以，，令，则，所以函数在上单调递增，由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以，因为，所以，又，函数在，上单调递减，所以，即，又，所以，因此．17．（2021•松山区校级三模）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为，，证明：．【解答】解：（Ⅰ）由题意得的定义域是，，则，令，得，问题转化为方程在上有2个异根，令，问题转化为函数有2个不同的零点，而，，当时，，当时，，故在单调递增，在，单调递减，故，又当时，，当时，，于是只需，即，故，即的取值范围是；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，分别是方程的两个根，即，，设，作差得，即，原不等式等价于，，令，则，，设，则，函数在上单调递增，（1），即不等式成立，故所证不等式成立．