数学因数和倍数精品综合训练题

这是一份数学因数和倍数精品综合训练题，共8页。试卷主要包含了找规律，填数等内容，欢迎下载使用。
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绝密★启用前
2022-2023学年五年级数学下册第二单元因数与倍数检测卷（C卷˙拓展卷）

考试时间：80分钟；满分：102分

班级：姓名： 成绩:
注意事项：
1．答题前填写好自己的班级、姓名等信息。
2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。

卷面（2分）。我能做到书写工整，格式正确，卷面整洁。

一、知识空格填一填。（每空2分，共34分）
1．18的因数中，既是奇数又是合数的是( )，既是偶数又是质数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。
2．“23□”这个三位数，当□里填( )时是3的倍数；当□里填( )时同时是2和5的倍数；当□里填( )时同时是2和3的倍数。
3．在自然数中，既是合数又是奇数的是( )。一个数有5个因数，把这5个因数从小到大排列，排第3个的是4，这个数是( )。
4．聪聪家密码锁的密码是“35口口”，聪聪还记得这个密码既是3的倍数，也是5的倍数。这个密码可能是多少？请列举所有的可能。( )
5．在1—100的所有整数中，不能被3整除的整数之和是( )。
6．一个奇数分别与它相邻的两个偶数相乘，所得的两个积相差150，这个数是( )。
7．通过枚举、观察、分析、归纳，可以研究除2、3、5之外的自然数的倍数特征。比如，下面几个数都是6的倍数：438、534、714、852、972，从中可以发现，6的倍数共同特征是怎样的，请你概括出两条：
①( )；②( )。
8．把137个苹果放入礼盒中，每个礼盒都装满。恰好装完而没有剩余。大盒每盒13个，小盒每盒6个。需要大盒( )个，小盒( )个。
9．某排战士发装备，一共有30套军装，71个水壶和79双军鞋，每个战士拿的一样多，最后一共剩下19件物品没有发出去。那么一共有( )名战士。
10．找规律，填数。
1，5，3，10，9，15，27，20，( )，25，243，……
二、是非曲直辩一辩。（对的画√，错的画X，每题2分，共10分）
11．因为24÷6＝4，所以24是倍数，6和4都是因数( )。
12．2、3、1这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数。( )
13．三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。( )
14．若a和b是两个互不相等的质数，则a与b是互质数。( )
15．在任意4个自然数中，总能找到两个数，它们的差是3的倍数。( )
三、众说纷纭选一选。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共10分）
16．下列说法正确的是（    ）。
A．所有的质数都是奇数 B．所有的自然数不是质数就是合数。
C．两个奇数的差是奇数 D．4的倍数一定是偶数
17．任意给出三个不同的自然数，其中一定有2个数的和是（    ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
18．一个两位数，十位上的数有3个因数，个位上的数有4个因数，那么这样的两位数共有（    ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
19．a、b、c是100以内的3个质数，使得a＋b＝c成立的不同质数算式共有（    ）个。
A．6 B．7 C．8 D．9
20．古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完美数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是本身除外的所有因数之和，所以6就是“完美数”。下面的数中（    ）是“完美数”。
A．12 B．20 C．25 D．28
四、巧思妙想算一算。（共16分）
21．(本题6分)把下面的各数分解质因数。
36                     57                             105



22．(本题5分)最大的两位质数减去最小合数与最小的两位质数的积，差是多少？



23．(本题5分)五个连续偶数的和是130，这五个连续偶数分别是多少？



五、解决问题。（共30分）
24．(本题5分)
你能算出学校舞蹈社团招收了多少名学生吗？



25．(本题5分)一个长方形的长和宽的数值都是质数，周长是56厘米，这个长方形的面积大约是多少？



26．(本题5分)有两个质数，它们的和是小于40的奇数，且是5的倍数。这两个质数的积可能是多少？



27．(本题5分)实验小学同学春游，共516人，学校租了几辆客车，同学们正好坐满，每辆客车乘坐人数在40人～50人之间。学校租了多少辆客车？每辆客车能乘坐多少人？



28．(本题5分)已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种，A最小是多少？



29．(本题5分)甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？





答案解析部分
一、知识空格填一填。
1．     9     2     1
【分析】试题分析：奇数的含义：在自然数中不能被2整除的数；
偶数的含义：在自然数中能被2整除的数（0也是偶数）；
质数的含义：在自然数中只有1和它本身两个因数的数；
合数的含义：在自然数中只有1和它本身还有其它因数的数；据以上含义解答即可。
【详解】18的因数：1、2、3、6、9、18，其中既是奇数，又是合数的是9；既是偶数，又是质数的是2；既不是质数也不是合数的是1。
【点睛】掌握质数、合数、奇数和偶数的定义，这是解决此题的关键。
2．     1、4、7     0     4
【分析】这个三位数前两位是23，根据3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数，即这个三位数前两位之和为5，3的倍数有6，9，12，故个位上的数为1，4，7；
2的倍数的特征是：个位为0，2，4，6，8的数，5的倍数的特征为：个位为0或5的数。要求同时是2和5的倍数，个位数符合要求的只有0；
要求同时是2和3的倍数，这个三位数前两位之和为5，个位上的数为1，4，7，而2的倍数个位为0，2，4，6，8，符合的只有4。
【详解】根据3的倍数的特征，符合3的倍数的数有：231，234，237，因此个位上的数是1，4，7；根据2和5的倍数特征，符合条件的数是230，个位上的数为0；根据2和3的倍数特征，符合条件的数是234，个位上的数为4。
【点睛】本题主要考查的是2，3，5的倍数特征，需要掌握2，3，5的倍数的特征，能方便很快得出答案。
3．     15     16
【分析】根据奇数的意义，不是2的倍数的数叫做奇数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，由此解答；根据一个数的因数的个数是奇数个，中间数的平方等于这个数。
【详解】中奇数有：11，13，15，17，19；
中合数有：10、12，14、15，16、18、20；
所以既是合数又是奇数的数是15；
4×4＝16
一个数有5个因数，把这5个因数从小到大排列，排第3个的是4，这个数是16。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握奇数与合数的意义，用因数的中间数求出这个数。
4．3510、3540、3570、3525、3555、3585
【分析】3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数；5的倍数：个位上是0或5，据此解答即可。
【详解】当这个密码的个位是0时：
3＋5＋0＝8，则十位上可能是1，4，7，所以这个密码可能是：3510，3540，3570；
当这个密码的个位是5时：
3＋5＋5＝13，则十位上可能是2，5，8，所以这个密码可能是：3525，3555，3585。
【点睛】本题考查3和5的倍数，解答本题的关键是掌握3和5的倍数特征。
5．3367
【分析】用1—100的总和减去可以被三整除的数的总和即可。求两个和可以用凑对的方式，如1＋2＋3＋……＋100的和，可以用（1＋100）、（2＋99），看有几组这样的和，一组的和×组数即可。
【详解】1＋2＋3＋……＋100
＝（1＋100）×100÷2
＝101×50
＝5050
3＋6＋9＋12＋……＋99
＝3×（1＋2＋3＋……33）
＝3×（1＋33）×33÷2
＝3×34×33÷2
＝1683
5050－1683＝3367
【点睛】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
6．75
【分析】设这个奇数为x，则与它相邻的两个偶数分别为：x－1、x＋1，根据两个积相差150可得：x（x＋1）－x（x－1）＝150，由此解这个方程即可解决问题。
【详解】设这个奇数为x，则与它相邻的两个偶数分别为：x－1、x＋1，根据题意可得方程：
x（x＋1）－x（x－1）＝150
解：x²＋x－x²＋x＝150
2x＝150
x＝75
【点睛】设这个奇数为x，根据奇数得出另外与它相邻的两个偶数是解决此题的关键；此题中虽出现了x²，但是计算过程中可以消掉。
7．     个位数是偶数     各个数位上的数字之和是3的倍数
【分析】2的倍数叫做偶数，个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。观察这5个数，找到6的倍数特征。
【详解】438的个位是“8”，是偶数；4＋3＋8＝15，是3的倍数；
534的个位是“4”，是偶数；5＋3＋4＝12，是3的倍数；
714的个位是“4”，是偶数；7＋1＋4＝12，是3的倍数；
852的个位是“2”，是偶数；8＋5＋2＝15，是3的倍数；
972的个位是“2”，是偶数；9＋7＋2＝18，是3的倍数；
所以6的倍数特征是：①个位数是偶数；②各个数位上的数字之和是3的倍数。（答案不唯一）
【点睛】运用研究2、3、5的倍数特征的方法，找到6的倍数特征。
8．     5     12
【分析】设大盒需要x个，小盒需要y个，可列方程为13x＋6y＝137，6y一定是偶数，137是奇数，那么13x一定是奇数。又因为13是奇数，那么x也是奇数；接下来进行代入：假如x＝1，代入失败；假如x＝3，代入失败；假如x＝5，137－13×5＝72＝6×12，代入成功。那么x＝5，y＝12，据此解答即可。
【详解】解：设大盒需要x个，小盒需要y个；
13x＋6y＝137
x＝5时，y＝12，方程成立；
需要大盒5个，小盒12个。
【点睛】此题利用了奇偶数的运算性质解决问题。
9．23
【分析】30套军装、71个水壶、79双军鞋，总共180件物品，最后一共剩下19件物品没有发出去，那么发出去了161件物品，由于每个战士拿的一样多，那么161是总人数的倍数。
【详解】
161的因数有1，7，23，161；
（1）当有7名战士时，
30÷7＝4（套）……2（套）
71÷7＝10（个）……1（个）
79÷7＝11（双）……2（双）
因为2＋1＋2＝5（件），5≠19，
所以有7名战士不符合题意．
（2）当有23名战士时，
30÷23＝1（套）……7（套）
71÷23＝3（个）……2（个）
79÷23＝3（双）……10（双）
因为7＋2＋10＝19（件），
所以一共有23名战士，每名战士分得1套军装，3个水壶和3双军鞋．
综上，可得一共有23名战士．
答：一共有23名战士．
【点睛】本题在求解过程中用到了整体的思想，总共用去的物品数量一定是总人数的倍数。
10．81
【分析】从排列的数字可知，奇数项为：1、3、9、27，即前一个奇数项乘3等于后一个奇数项；偶数项为：5、10、15、20，即前一个偶数项加5等于后一个偶数项；要填写的是第9项，则为第7项的数字乘3即可得解。
【详解】根据分析得：27×3＝81
所以括号内应填81
【点睛】本题就是要找出数列中间隔的项之间存在一定的规律，然后利用这个变化规律解决问题。
二、是非曲直辩一辩。
11．×
【详解】因为24÷6＝4，所以24是6和4的倍数，6和4是24的因数，因数和倍数是相互依存的；
故答案为：×
12．√
【详解】略
13．√
【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数可以知道，三个奇数相加的和一定是奇数，所以这三个自然数中必须有偶数，才能让和成为偶数，但会有两种情况：①偶数＋奇数＋奇数＝偶数；②偶数＋偶数＋偶数＝偶数。所以这三个自然数中至少有一个数是偶数。
【详解】由分析得：
三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。这种说法是正确的。
故答案为：√。
【点睛】本题通过借助奇偶数运算的性质，来验证题中结论。在这个过程中，对于奇偶数运算的性质由两个数扩充到三个数，分析的难度也随之增大了。
14．√
【分析】质数又称素数，是指一个大于1的自然数，除了1和它本身两个因数外，再也没有其它的因数；互质数是指公因数只有1的两个数；根据质数和互质数的意义，可以确定任意两个不相同的质数一定是互质数，但如果两个质数相同，就不是互质数了，如5和5就不是互质数。解答本题要明确质数和互质数的意义。
【详解】可以举例来证明：例如质数7和23，为两个互不相等的质数，并且数字7只有因数1和7，数字23只有因数1和23，所以数字7和23只有公因数1，因此7和23互质。
故答案为：√。
【点睛】可以看到，举个具体的例子，用数字来证明两个互不相等的质数是互质数，比那些文字叙述的道理更容易理解，也更容易判断。
15．√
【分析】首先：任何一个正整数除以3所得的余数只有3种情况：余0（整除）、余1、余2。所以对于任意的四个正整数A、B、C、D除以3最多可以有3个不同的余数。不妨设ABC余数各不相同，那么第四个数D除以3的余数只能是0、1、2中的一个余数，这样就和ABC中的一个余数相同（比如A），那么D－A就是3的倍数。假设ABC中存在两个数除以3所得余数相同（不妨设是AB），那么A﹣B就是3的倍数。综上所述，任意4个自然数，至少有两个数的差是3的倍数。
【详解】通过以上的分析得：在任意4个自然数中，总能找到两个数，它们的差是3的倍数。这种说法是正确的。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查因数、倍数的意义，以及3的倍数的特征，以此解决有关问题。
三、众说纷纭选一选。
16．D
【分析】本题根据质数、奇数、偶数的意义对各个选项分别进行分析即能得出正确选项。
【详解】A．最小的质数为2，2为偶数，所以所有的质数都是奇数的说法的是错误的；
B．1既不是质数也不是合数，所以所有的自然数不是质数就是合数的说法错误；
C．将两个奇数表示为2m＋1，2n＋1，则它们的差为2m＋1－（2n＋1）＝2m－2n＝2（m－n），所以两个奇数的差一定是偶数，而不是奇数，则两个奇数的差一定是奇数的说法错误；
D．4＝2×2，4能被2整除，则4的倍数也一定能被2整除，自然数中，能被2整除的数为偶数，所以是4的倍数的数一定是偶数说法正确。
故答案为：D。
【点睛】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；是2的倍数的数为偶数，不是2的倍数的数为奇数。
17．B
【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1；
（2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；
（3）由两个数和的奇偶性可知，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，据此分析。
【详解】由自然数的分类可知，自然数中不是奇数就是偶数，任意给出三个不同的自然数，一定有两个自然数同为奇数或者同为偶数，那么其中一定有2个数的和是偶数，如：2、4、8中没有2个数的和是奇数，也没有2个数的和是质数，但有2个数的和是偶数；0、2、3中没有2个数的和是合数，但有2个数的和是偶数。
故答案为：B
【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的意义，并灵活运用和差的奇偶性是解答题目的关键。
18．D
【分析】4的因数有：1、2、4；9的因数有：1、3、9；有3个因数的数是4和9。
6的因数有：1、2、3、6；8的因数有：1、2、4、8；有4个因数的数是6和8。
据此解答。
【详解】一个两位数，十位上的数有3个因数，个位上的数有4个因数，那么这样的两位数有46、48、96、98共有4个。
故选：D
【点睛】掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。
19．C
【分析】2是质数中唯一的偶数，其它都是奇数；奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；所以其中一个加数必是2；再找出两个质数的差是2的情况即可。
【详解】这样的算式有：2＋3＝5；
2＋5＝7；
2＋11＝13；
2＋17＝19；
2＋29＝31；
2＋41＝43；
2＋59＝61；
2＋71＝73；
一共有8组。
故答案为：C
【点睛】此题主要考查学生对质数的理解与灵活应用。
20．D
【分析】将每个选项中数的因数写出来，再将除本身之外的所有因数相加，看是否等于它本身即可。
【详解】A．12的因数：1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6＝16，不是“完美数”；
B．20的因数：1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10＝22，不是“完美数”；     
C．25的因数：1、5、25，1＋5＝6，不是“完美数”；    
D．28的因数：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，是“完美数”；
故答案为：D。
【点睛】读懂题意，明确“完美数”的含义是解答本题的关键。
四、巧思妙想算一算。
21．36＝2×2×3×3；57＝3×19；105＝3×5×7
【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
【详解】
36＝2×2×3×3；

57＝3×19；

105＝3×5×7
22．53
【分析】最大的两位质数是97，最小的两位质数是11，最小的合数是4，先用乘法表示最小合数与最小的两位质数的积，再用减法表示最大的两位质数与它们的差。
【详解】97－4×11
＝97－44
＝53
所以，差是53。
23．22、24、26、28、30
【分析】把最小的偶数设为未知数，两个相邻的偶数相差2，用含有未知数的式子表示出其它4个偶数，这5个连续偶数的和是130，解方程求出最小的偶数，最后求出其它4个偶数，据此解答。
【详解】解：设最小的偶数为x，其它4个偶数从小到大依次为（x＋2）、（x＋4）、（x＋6）、（x＋8）。
x＋ x＋2＋ x＋4＋ x＋6＋ x＋8＝130
5x＋20＝130
5x＝130－20
5x＝110
x＝110÷5
x＝22
22＋2＝24，22＋4＝26，22＋6＝28，22＋8＝30
所以，这五个连续偶数分别是22、24、26、28、30。
五、解决问题。
24．60名
【分析】总人数在40~70人之间，能平均分成5组，说明学生的人数是5的倍数，根据5的倍数的特征，在这一范围内满足条件的是40名、45名、50名、55名、60名、65名、70名；能平均分成3组，说明学生的名数是3的倍数，根据3的倍数的特征，就只有45名、60名满足条件；男、女生名数相等，根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，说明男女生的总人数是一个偶数，只有60名满足条件。据此解答。
【详解】4＋0＝4，4不是3的倍数，即40不是3的倍数；
4＋5＝9，9是3的倍数，即45是3的倍数；
5＋0＝5，5不是3的倍数，即50不是3的倍数；
5＋5＝10，10不是3的倍数，即55不是3的倍数；
6＋0＝6，6是3的倍数，即60是3的倍数；
6＋5＝11，11不是3的倍数，即65不是3的倍数；
7＋0＝6，7不是3的倍数，即70不是3的倍数；
所以既可以平均分成3组，也可以平均分成5组的名数可能是45名或60名；
因为男、女生的名数相等，根据奇数和偶数的运算性质，
奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，男女生加起来的总人数是一个偶数；
45是奇数，60是偶数，即60名满足条件。
答：学校舞蹈社团招收了60名学生。
【点睛】此题的解题关键是利用3、5的倍数的特征以及奇数和偶数的运算性质求解。
25．115平方厘米或187平方厘米
【分析】先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用长方形的周长除以2，求出长与宽的和；再看这个和是由哪两个质数相加得到，进而得到长方形的长、宽；最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
【详解】长、宽之和：56÷2＝28（厘米）
28＝5＋23
28＝11＋17
所以长方形的长是13厘米，宽是5厘米或长是17厘米，宽是11厘米。
长方形的面积：
23×5＝115（平方厘米）
17×11＝187（平方厘米）
答：这个长方形的面积大约是115平方厘米或187平方厘米。
【点睛】灵活运用长方形的周长、面积公式，以及掌握质数的定义是解题的关键。
26．6、26或46
【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。
【详解】2＋3＝5    
2＋13＝15    
2＋23＝25
2×3＝6    
2×13＝26     
2×23＝46
答：这两个质数的积可能是6、26或46。
【点睛】关键是通过奇数和5的倍数确定这两个质数的和，再确定这两个质数。
27．12辆；43人
【分析】由题意可知，516应是每辆客车能乘坐的人数与辆数的乘积，且每辆客车乘坐人数在40人～50人之间，所以可把516进行分解，且让其中的一个因数在40人～50人之间，据此解答。
【详解】因为，
所以每辆客车乘坐人数应是43，客车应是12辆；
答：学校租了12辆客车，每辆客车能乘坐43人。
【点睛】解答此题关键是把516分解成两个因数的积，且要满足一个因数在40人～50人之间。
28．8880
【分析】A是15的倍数，因为15＝3×5，所以A也是3和5的倍数。
能被5整除，则个位上是0或5，因为A数位上只有0和8两种，所以个位是0；能被3整除，则各个数位上的和是3的倍数，据此分析。
【详解】15＝3×5
由8组成的数中只有888是3的倍数，由0和8组成的数个位一定是0，所以A最小是：8880
答：A最小是8880。
【点睛】关键是掌握3和5的倍数的特征。
29．1
【分析】甲、乙两个一位自然数，它们的和被5除余2，可得甲乙两数分别被5除的余数之和为2，它们的差能被5整除，可得甲乙两数分别被5除的余数相同，即可求出结果。
【详解】由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。
所以，甲数被5除的余数为：2÷2＝1。
答：余数是1。
【点睛】此题的解题关键是考虑这个数其实是5的倍数加1，余数是1，灵活运用数与数之间的关系。