小学数学人教版五年级下册长方体和正方体的体积综合与测试课时作业

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

第三单元：等积变形问题专项练习（解析版）

一、填空题。

1．把一块棱长6cm的正方体钢块，锻造成一根长方体钢材。钢材的横截面是边长1.5cm的正方形，这根长方体钢材的长是(        )cm。

【答案】96

【分析】根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。

【详解】6×6×6÷（1.5×1.5）

＝216÷2.25

＝96（cm）

这根长方体钢材的长是96cm。

【点睛】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

2．一段铁块可以铸成一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体，如果用它铸成一个正方体，这个正方体的体积(        )cm3。

【答案】192

【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据求出长方体的体积，铸成正方体后，体积不变，所以正方体的体积等于长方体的体积，即可得解。

【详解】8×4×6＝192（cm3）

即这个正方体的体积是192cm3。

【点睛】此题主要考查等积变形，虽然形状改变，但体积不变。

3．把一块棱长10cm的正方体铁块，锻造成宽5cm，高10cm的长方体铁条，这个铁条的长是(        )cm。

【答案】20

【分析】根据题意，把正方体的铁块锻造成长方体，只是形状改变了，体积没有变，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，再用铁块的体积除以长方体的宽和高的乘积，即可求出长方体的长，由此解答。

【详解】10×10×10÷（5×10）

＝1000÷50

＝20（cm）

【点睛】此题主要考查长方体和正方体的体积计算，利用长方体和正方体的体积计算方法解决有关的实际问题。

4．把一块棱长为10cm的正方体橡皮泥，捏成长25cm，宽8cm的长方体，捏成的长方体的高是(        )cm。

【答案】5

【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；代入数据，求出正方体的体积；由于体积不变，长方体体积等于正方体体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷长÷宽；代入数据，即可解答。

【详解】10×10×10÷25÷8

＝100×10÷25÷8

＝1000÷25÷8

＝40÷8

＝5（cm）

【点睛】根据正方体体积公式和长方体体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。

5．一块棱长为6分米的正方体钢坯，重新锻造成横截面为9平方分米的长方体钢材，这个长方体的长是(        )分米。

【答案】24

【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出钢坯体积，再根据长方体的长＝体积÷横截面，列式计算即可。

【详解】6×6×6＝216（立方分米）

216÷9＝24（分米）

【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。

6．有一个长是50厘米，宽是10厘米，高是10厘米的全封闭的容器，里面装有8厘米高的水，如果将这容器竖放，水面的高是(        )厘米。

【答案】40

【分析】由题意可知，无论容器横放还是竖放，容器内水的体积不变。首先根据长方体的体积公式：V＝abh求出水的体积，这里需要注意，求水的体积时高的数据应该代入水面的真实高度，而不是容器的高，然后用水的体积除以竖着放置时容器的底面积即可。

【详解】水的体积为：

50×10×8

＝500×8

＝4000（立方厘米）

竖着放时底面积为：

10×10＝100（平方厘米）

竖着放时，水面高度为：

4000÷100＝40（厘米）

【点睛】本题主要考查了长方体的容积（体积）公式的灵活运用，理解无论容器怎么放置，里面水的体积不变是解题的关键。

7．一个正方体的表面积是216dm2，它的体积是(        )dm3。把28L水倒入一个长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽内，这个水槽水深(         )cm。

【答案】     216     28

【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此求出棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式即可解答；把28L水倒入长方体玻璃水槽内，水的体积不变，水槽的底面积等于长×宽，根据长方体的体积公式：V＝Sh，用水的体积除以水槽的底面积即可求出水的深度。

【详解】216÷6＝36（dm2），

因为6的平方是36，所以正方体的棱长是6dm，

6×6×6＝216（dm3）

28L＝28dm3＝28000cm3

28000÷（40×25）

＝28000÷1000

＝28（cm）

【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，同时利用转化的数学思想方法，通过等积变形，解决实际问题。

二、解答题。

8．因为需要，工厂把一个棱长为6分米的正方体钢坯锻造成了一个长18分米、宽4分米的长方体钢坯，这个新钢坯的高是多少分米？

【答案】3分米

【分析】先根据正方体的体积计算公式计算出这个正方体钢坯的体积，再用它的体积先除以18、再除以4，即可求出这个新钢坯的高是多少分米。

【详解】6×6×6÷18÷4

＝216÷18÷4

＝3（分米）

答：这个新钢坯的高是3分米。

【点睛】熟记：长方体体积＝长×宽×高、正方体体积＝棱长×棱长×棱长，是解答此题的关键。

9．把一个棱长是10厘米的正方体橡皮泥捏成一个长20厘米，宽10厘米的长方体。这个长方体橡皮泥高是多少厘米？

【答案】5厘米

【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积。由此可知，把一个正方体的橡皮泥无论捏成什么形状，体积不变。根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。

【详解】10×10×10÷（20×10）

＝1000÷200

＝5（厘米）

答：这个长方体橡皮泥的高是5厘米。

【点睛】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

10．把一块棱长是0.8分米的正方体铁块熔铸成一个高是5厘米，宽是4厘米的长方体铁块，熔铸后铁块的长是多少厘米？

【答案】25.6厘米

【分析】由题意可知，长方体和正方体的体积相等，利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”表示出正方体的体积，再根据“长＝长方体的体积÷宽÷高”求出熔铸后铁块的长，据此解答。

【详解】0.8分米＝8厘米

8×8×8÷5÷4

＝512÷5÷4

＝102.4÷4

＝25.6（厘米）

答：熔铸后铁块的长是25.6厘米。

【点睛】本题主要考查正方体、长方体体积公式的运用，理解把正方体铁块熔铸成长方体铁块体积不变是解答题目的关键。

11．有一个棱长是9分米的正方体钢锭，要把它熔铸成一个底面是正方形，底面周长是12分米的长方体钢材，钢材长是多少米？

【答案】81分米

【分析】根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出这个正方体钢锭的体积；再根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4；代入数据，求出熔铸后长方体钢材的宽和高；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答。

【详解】12÷4＝3（分米）

9×9×9÷（3×3）

＝81×9÷9

＝729÷9

＝81（分米）

答：钢材长是81分米。

【点睛】本题考查正方体体积公式、长方体体积公式以及正方形周长公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。

12．把一块棱长为10厘米的正方体钢块锻造成横截面是边长为5厘米的正方形的长方体钢条。这根钢条的长是多少分米？

【答案】4分米

【分析】将正方体钢块锻造成长方体钢块，体积不变，可根据正方体的体积公式求出钢块的体积，然后根据长方体的长＝长方体的体积÷宽÷高即可得长方体的长，再进行单位换算即可。

【详解】10×10×10÷5÷5

＝1000÷5÷5

＝40（厘米）

40厘米＝4分米

答：这根钢条的长是4分米。

【点睛】本题考查了正方体体积公式和长方体体积公式的灵活应用。

13．往一个从里面量长4分米，宽3分米，高8分米的长方体玻璃容器中倒入48升水，这时水与玻璃容器的接触面积是多少平方分米？

【答案】68平方分米

【分析】根据长方体的体积公式先求出水的高度，水与玻璃容器的接触面积是5个面，即前、后、左、右和下面的面积和，据此解答即可。

【详解】48升＝48立方分米

48÷4÷3

＝12÷3

＝4（分米）

4×3＋4×4×2＋3×4×2

＝12＋32＋24

＝68（平方分米）

答：这时水与玻璃容器的接触面积是68平方分米。

【点睛】本题考查了长方体体积公式和表面积公式的灵活应用，注意高是水的高度不是容器的高度。

14．在一个长20厘米，宽8厘米，高10厘米的密封玻璃缸中，测得水深6厘米。然后将它的左侧面朝上，这时水深多少厘米？

【答案】12厘米

【分析】先利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出水的体积，翻转后，体积不变，底面积变成长为10厘米，宽为8厘米，再根据“高＝长方体的体积÷底面积”求出水的深度，据此解答。

【详解】20×8×6÷（10×8）

＝160×6÷80

＝960÷80

＝12（厘米）

答：这时水深12厘米。

【点睛】理解水的体积不变并熟练掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。

15．一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？

【答案】7.2分米

【分析】可先求出正方体的体积，再除以长方体水槽的底面积，可得到此时的水深。

【详解】6×6×6÷30

＝216÷30

＝7.2（分米）

答：水深7.2分米。

【点睛】本题中综合应用了正方体的体积、长方体的体积，把握倒水前后水的体积不变这个条件来解答。

16．有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？

【答案】16厘米

【分析】根据长方体的体积公式，算出水的体积，容器竖起来后，底面变为长20厘米，宽15厘米，

用体积除以竖起来后底面的长和宽，可得水的深度是多少。

【详解】40×20×6

＝800×6

＝4800（立方厘米）

4800÷20÷15

＝240÷15

＝16（厘米）

答：竖起来后水深是16厘米。

【点睛】本题主要考查了长方体的体积公式，注意水的深度是多少。

17．晶晶家的厨房里有一个长方体容器，从里面量，长20厘米、宽16厘米、高10厘米，平放时水面高8厘米，如图（1）。如果把这个容器封闭并竖起来放，如图（2），请你算一算，水面的高度会是多少厘米？

【答案】16厘米

【分析】根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出图（1）长方体容器中水的体积，再利用“高＝长方体的体积÷（长×宽）”求出图（2）长方体容器中水面的高度。

【详解】20×16×8÷（16×10）

＝20×16×8÷160

＝320×8÷160

＝2560÷160

＝16（厘米）

答：水面高度是16厘米。

【点睛】熟练运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。

18．一个密封的长方体容器（如图），长4dm，宽1dm，高2dm，里面水深6cm。现在把这个容器的左侧面放在桌面上。

①这时水深多少厘米？

②此时，水与容器的接触面积是多少平方厘米？

【答案】①12厘米；

②920平方厘米

【分析】①根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体容器内水的体积，由于容器内水的体积不变，把容器的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度；

②水与容器的接触面的面积就是长2分米，宽1分米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。

【详解】6厘米＝0.6分米

①4×1×0.6＝2.4（立方分米）

2.4÷（2×1）

＝2.4÷2

＝1.2（分米）

1.2分米＝12厘米

答：这时水深12厘米。

②2×1＋2×1.2×2＋1×1.2×2

＝2＋4.8＋2.4

＝9.2（平方分米）

＝920（平方厘米）

答：水与容器的接触面的面积是920平方厘米。

【点睛】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度。

19．一个正方体的水槽，从里面量棱长4分米，装满水后倒入另一个（从里面量）长8分米，宽5分米的长方体水槽内，水深多少分米？

【答案】1.6分米

【分析】根据题意，正方体的水槽装满水，那么水的体积等于正方体的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出水的体积；再倒入长方体水槽内，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷长÷宽，即可求出水的高度。

【详解】正方体的体积（水的体积）：

4×4×4

＝16×4

＝64（立方分米）

水深：

64÷8÷5

＝8÷5

＝1.6（分米）

答：水深1.6分米。

【点睛】本题考查正方体积、长方体体积公式的灵活运用，抓住“水的体积不变”是解题的关键。

20．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米。把这个容器盖紧，竖放后使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深多少厘米？

【答案】12.5厘米

【分析】正放时长方体容积的长是20厘米、宽是10厘米，水深5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积；因为这个容器是盖紧的，所以无论正放还是竖放，容器内水的体积不变；竖放时，容积的长是10厘米，宽是8厘米，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出此时水的深度。

【详解】20×10×5＝1000（立方厘米）

1000÷（10×8）

＝1000÷80

＝12.5（厘米）

答：这时里面的水深12.5厘米。

【点睛】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”以及灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。