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北师大版中考数学精品模拟试卷（含详细解析）
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这是一份北师大版中考数学精品模拟试卷（含详细解析），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年内蒙古包头市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0
3．（3分）为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A．9.6 B．9.7 C．9.8 D．9.9
4．（3分）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．0 B．12 C．10 D．8
8．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB＝，则FG的长是（ ）
A．3 B． C． D．
9．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A． B．8 C． D．
10．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③若关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有实数解，则b的值可以是﹣1；
④当k＜1时，一次函数y＝kx+k﹣1（k≠0）的图象一定交于y轴的负半轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥
12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
13．（3分）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ．
14．（3分）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为 ．
15．（3分）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 ．
16．（3分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝ ．
18．（3分）如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC＝，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y＝（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 ．
19．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ．（填写正确的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共63分）
20．（8分）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代•奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
调查主题
××中学学生读书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A.8小时及以上；
B.6～8小时；
C.4～6小时；
D.0～4小时．
第二项
您阅读的课外书的主要来源是（可多选）
E．自行购买；
F．从图书馆借阅；
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．
调查结论
……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
21．（8分）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
22．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
23．（12分）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．
24．（12分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．经过点O，P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．设BP＝t．
（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的条件下，当点C'恰好落在边OA上时，求点P的坐标．
25．（13分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
2023年内蒙古包头市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0
【考点】实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．
【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A错误；
|a|＞|b|，故B错误；
a+b＜0，故C错误；
＜0，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．（3分）为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A．9.6 B．9.7 C．9.8 D．9.9
【考点】中位数．菁优网版权所有
【分析】根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：将数据从小到大排序为：9.6，9.7，9.8，9.9，10，
中位数为9.8，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
4．（3分）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】扇形统计图；抽样调查的可靠性．菁优网版权所有
【分析】根据扇形统计图分别求出各组人数所占比例，进而得出答案．
【解答】解：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为：360°﹣90°﹣60°＝210°，
∴该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为90：60：210＝3：2：7，故①正确，不符合题意；
若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为140÷＝840（人），故②错误，符合题意；
120×＝30（人），
120×＝20（人），
120×＝70（人），
故③正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了扇形统计图，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；作图—基本作图．菁优网版权所有
【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．
【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②结论正确；
∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，
故③结论不正确；
若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④结论正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二元一次方程组的解．菁优网版权所有
【分析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
7．（3分）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．0 B．12 C．10 D．8
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．
【解答】解：÷
＝
＝
＝
＝，
∵a为整数，且分式的值为正整数，
∴a﹣3＝1，3，
a＝4，6，
∴所有符合条件的a的值的和：4+6＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题的关键．
8．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB＝，则FG的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】方法一：过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，根据cosB＝＝，可得BH＝1，所以AH＝，然后证明AH是BE的垂直平分线，可得AE＝AB＝4，设GA＝GF＝x，根据S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，进而可以解决问题．方法二：作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M由已知可得BH＝EH＝1，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由三角形MGF相似于三角形MEC即可得结论．
【解答】解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∵cosB＝＝，
∴BH＝1，
∴AH＝＝＝，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AH是BE的垂直平分线，
∴AE＝AB＝4，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF＝∠FAG，
∵FG∥AD，
∴∠DAF＝∠AFG，
∴∠FAG＝∠AFG，
∴GA＝GF，
设GA＝GF＝x，
∵AE＝CD＝4，FG∥AD，
∴DF＝AG＝x，
cosD＝cosB＝＝，
∴DQ＝x，
∴FQ＝＝＝x，
∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，
∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，
解得x＝，
则FG的长是．
或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，
∴四边形AGFD的等腰梯形，
∴GA＝FD＝GF，
则x+x+x＝4，
解得x＝，
则FG的长是．
方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∵cosB＝＝，
∴BH＝1，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AH是BE的垂直平分线，
∴AE＝AB＝4，
所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，
设GF＝x，
则AG＝x，GE＝4﹣x，
由GF∥BC，
∴△MGF∽△MEC，
∴＝，
解得x＝．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
9．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．
【解答】解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．
10．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③若关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有实数解，则b的值可以是﹣1；
④当k＜1时，一次函数y＝kx+k﹣1（k≠0）的图象一定交于y轴的负半轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；根的判别式；两条直线相交或平行问题；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质可对①进行判断；根据平行公理可对②进行判断；利用根的判别式的意义可得到方程有实数根时b2≥4，则可对③进行判断；根据一次函数的性质可对④进行判断．
【解答】解：两直线平行，同位角相等，所以①不符合题意；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②不符合题意；
若关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有实数解，所以b2≥4，则b的值不可以是﹣1，所以③不符合题意；
当k＜1时，k﹣1＜0，则一次函数y＝kx+k﹣1（k≠0）的图象一定交于y轴的负半轴，所以④符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥
【考点】根的判别式；实数的运算．菁优网版权所有
【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝HP，
∴HP＝OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE＝2：3，
∴设BE＝2x，则CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝＝x．
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝EC＝x，
∴AG＝＝x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝，
∴tan∠CAE＝＝＝．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴．
∴．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE＝S△OFC，
∴．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
13．（3分）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ﹣π ．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF＝120°，
∵OA＝2，
∴扇形OGF的面积为：＝
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC＝90°，
∴OC＝2OE＝4，
∴AC＝OC+OA＝6，
∴AB＝AC＝3，
∴由勾股定理可知：BC＝3
∴△ABC的面积为：×3×3＝
∵△OAF的面积为：×2×＝，
∴阴影部分面积为：﹣﹣π＝﹣π
故答案为：﹣π
【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
14．（3分）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为 （2，0） ．
【考点】一次函数图象与几何变换；两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【分析】根据对称的性质得出两个点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．
【解答】解：∵直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，
∵直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴直线L1经过点（3，﹣2），L2经过点（0，﹣4），
把（0，4）和（3，﹣2）代入直线L1经过的解析式y＝kx+b，
则，
解得：，
故直线L1经过的解析式为：y＝﹣2x+4，
可得L1与L2的交点坐标L1与L2与x轴的交点，解得：x＝2，
即L1与L2的交点坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
15．（3分）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 ﹣3＜a＜﹣2 ．
【考点】三角形三边关系；数轴；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围a＜﹣2；再由三角形三边关系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，从而求出a的取值范围．
【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，
∴3＜1﹣a＜1﹣2a，
∴a＜﹣2，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，
∴a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜﹣2，
故答案为﹣3＜a＜﹣2．
【点评】本题考查数轴上点的特点，这是第一个隐含的a的范围，再由三角形两边之和大于第三边进一步确定a的取值范围，从而顺利求解．
16．（3分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 2 ．
【考点】勾股定理；根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．
【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，
∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴斜边c＝＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及勾股定理、完全平方公式的应用，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝6，ab＝4．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据AE∥CD，得出CD＝BD＝2.5，进而得到BG＝1.5，再根据BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的长，即可得出BE的长．
【解答】解：如图所示，过D作DG⊥BC于G，
由折叠可得，CD垂直平分BE，
∴当CD∥AE时，∠AEB＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
∴AD＝BD，
∴D是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，
∵DG⊥BC，
∴BG＝1.5，
∴Rt△BDG中，DG＝2，
∵BC×DG＝CD×BF，
∴BF＝＝，
∴BE＝2BF＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．（3分）如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC＝，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y＝（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 1 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及S△BOC＝即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，由题意Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，解方程即可求得n＝1．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
令直线y＝﹣2x+5中y＝0，则0＝﹣2x+5，解得：x＝，
即OC＝．
∵S△BOC＝，
∴OC•BE＝וBE＝，
解得：BE＝1．
∴点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝﹣2x+5，
解得：x＝2，
∴点B的坐标为（2，1），
∴k＝2×1＝2，
即双曲线解析式为y＝．
将直线y＝﹣2x+5向下平移n个单位得到的直线的解析式为y＝﹣2x+5﹣n，
令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，
∵有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，
解得n＝1或n＝9（舍去），
∴n的值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键．
19．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ②④⑤ ．（填写正确的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③错误；
当x＝m（1＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
三、解答题（本大题共6小题，共63分）
20．（8分）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代•奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
调查主题
××中学学生读书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A.8小时及以上；
B.6～8小时；
C.4～6小时；
D.0～4小时．
第二项
您阅读的课外书的主要来源是（可多选）
E．自行购买；
F．从图书馆借阅；
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．
调查结论
……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图可得平均每周阅读课外书的时间大约是0～4小时的人数为33人，占抽样学生人数的11%，即可求解，由条形统计图可知从图书馆借阅的人数占总数人的62%，即可求解；
（2）由扇形统计图可知平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，即可求解；
（3）由第一项可知阅读时间为“4～6小时”的人数最多，“0～4小时”的人数最少，由第二项可知阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少等等．
【解答】解：（1）∵平均每周阅读课外书的时间大约是0～4小时的人数为33人，占抽样学生人数的11%，
∴参与本次抽样调查的学生人数为：33÷11%＝300（人），
∵从图书馆借阅的人数占总数人的62%，
∴选择“从图书馆借阅”的人数为：300×62%＝186（人），
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2）∵平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，
∴3600×32%＝1152（人），
答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数约为1152人；
（3）答案不唯一，如：
由第一项可知：
阅读时间为“4～6小时”的人数最多，“0～4小时”的人数最少，
由第二项可知：
阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体等知识点，解题的关键是掌握利用统计图提取所需信息．
21．（8分）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE＝BC＝2m，从而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设每件真丝围巾降价y元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260．
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（12分）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由∠BAC＝45°，得∠BOD＝90°，又OD∥BC，可得OB⊥BC，即得直线BC是⊙O的切线；
（2）①由∠BOD＝90°，OB＝OD，可得∠BDE＝45°＝∠BAD，即知△ABD∽△DBE；
②由△ABD∽△DBE，得BD2＝AB•BE，又AB•BE＝6，可得BD＝，从而OB＝BD•sin∠BDO＝，即⊙O的半径的长度是．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°，
∴OB⊥BC，
又OB是⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）①证明：由（1）知∠BOD＝90°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴∠BDE＝45°＝∠BAD，
∵∠DBE＝∠ABD，
∴△ABD∽△DBE；
②解：由①知：△ABD∽△DBE，
∴＝，
∴BD2＝AB•BE，
∵AB•BE＝6，
∴BD2＝6，
∴BD＝，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴OB＝BD•sin∠BDO＝×＝，
∴⊙O的半径的长度是．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，圆的切线等知识，解题的关键是掌握切线的判定定理及圆的相关性质．
24．（12分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．经过点O，P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．设BP＝t．
（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的条件下，当点C'恰好落在边OA上时，求点P的坐标．
【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，然后利用勾股定理，即可求得答案；
（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（3）首先过点P作PE⊥OA于E，由勾股定理得出（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，即可求得t的值．
【解答】解：（1）∵四边形OACB是矩形，
∴∠OBP＝90°，
在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，
∴OP＝2BP＝2t．
根据勾股定理，OB2+BP2＝OP2＝OB2，
即62+t2＝（2t）2，
解得t＝2（t＝﹣2舍去）．
∴点P的坐标为（2，6）；
（2）∵△OB'P，△QC'P分别是由△OBP，△QCP折叠得到的，
∴△OB'P≌△OBP，△QC'P≌△QCP，
∴∠OPB'＝∠OPB，∠QPC'＝∠QPC．
又∵∠OPB'+∠OPB+∠QPC'+∠QPC＝180°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°．
∵∠OPB+∠BOP＝90°，
∴∠BOP＝∠CPQ．
又∵∠OBP＝∠C＝90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴＝．
由题意得BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，
则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．
∴＝．
∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；
（3）∵∠BPO＝∠OPC'＝∠POC'，
∴OC'＝PC'＝PC＝11﹣t，
过点P作PE⊥OA于点E，则四边形BPEO是矩形，
∴OE＝BP＝t，PE＝BO＝6，
∴EC'＝11﹣2t．
在Rt△PEC'中，由勾股定理得PE2+EC'2＝PC'2，
∴（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，
解得t1＝，t2＝，
点P的坐标为或．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
25．（13分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；
②利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．
【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴＝，即＝，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），
∵﹣＜0，
∴当m＝时，n的值最大，最大值是．
【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质求出点A、B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口．
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2023年内蒙古包头市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0
3．（3分）为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A．9.6 B．9.7 C．9.8 D．9.9
4．（3分）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．0 B．12 C．10 D．8
8．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB＝，则FG的长是（ ）
A．3 B． C． D．
9．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A． B．8 C． D．
10．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③若关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有实数解，则b的值可以是﹣1；
④当k＜1时，一次函数y＝kx+k﹣1（k≠0）的图象一定交于y轴的负半轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥
12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
13．（3分）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ．
14．（3分）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为 ．
15．（3分）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 ．
16．（3分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝ ．
18．（3分）如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC＝，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y＝（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 ．
19．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ．（填写正确的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共63分）
20．（8分）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代•奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
调查主题
××中学学生读书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A.8小时及以上；
B.6～8小时；
C.4～6小时；
D.0～4小时．
第二项
您阅读的课外书的主要来源是（可多选）
E．自行购买；
F．从图书馆借阅；
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．
调查结论
……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
21．（8分）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
22．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
23．（12分）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．
24．（12分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．经过点O，P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．设BP＝t．
（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的条件下，当点C'恰好落在边OA上时，求点P的坐标．
25．（13分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
2023年内蒙古包头市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0
【考点】实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．
【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A错误；
|a|＞|b|，故B错误；
a+b＜0，故C错误；
＜0，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．（3分）为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A．9.6 B．9.7 C．9.8 D．9.9
【考点】中位数．菁优网版权所有
【分析】根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：将数据从小到大排序为：9.6，9.7，9.8，9.9，10，
中位数为9.8，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
4．（3分）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】扇形统计图；抽样调查的可靠性．菁优网版权所有
【分析】根据扇形统计图分别求出各组人数所占比例，进而得出答案．
【解答】解：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为：360°﹣90°﹣60°＝210°，
∴该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为90：60：210＝3：2：7，故①正确，不符合题意；
若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为140÷＝840（人），故②错误，符合题意；
120×＝30（人），
120×＝20（人），
120×＝70（人），
故③正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了扇形统计图，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；作图—基本作图．菁优网版权所有
【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．
【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②结论正确；
∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，
故③结论不正确；
若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④结论正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二元一次方程组的解．菁优网版权所有
【分析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
7．（3分）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．0 B．12 C．10 D．8
【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．
【解答】解：÷
＝
＝
＝
＝，
∵a为整数，且分式的值为正整数，
∴a﹣3＝1，3，
a＝4，6，
∴所有符合条件的a的值的和：4+6＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题的关键．
8．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB＝，则FG的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】方法一：过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，根据cosB＝＝，可得BH＝1，所以AH＝，然后证明AH是BE的垂直平分线，可得AE＝AB＝4，设GA＝GF＝x，根据S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，进而可以解决问题．方法二：作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M由已知可得BH＝EH＝1，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由三角形MGF相似于三角形MEC即可得结论．
【解答】解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∵cosB＝＝，
∴BH＝1，
∴AH＝＝＝，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AH是BE的垂直平分线，
∴AE＝AB＝4，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF＝∠FAG，
∵FG∥AD，
∴∠DAF＝∠AFG，
∴∠FAG＝∠AFG，
∴GA＝GF，
设GA＝GF＝x，
∵AE＝CD＝4，FG∥AD，
∴DF＝AG＝x，
cosD＝cosB＝＝，
∴DQ＝x，
∴FQ＝＝＝x，
∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，
∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，
解得x＝，
则FG的长是．
或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，
∴四边形AGFD的等腰梯形，
∴GA＝FD＝GF，
则x+x+x＝4，
解得x＝，
则FG的长是．
方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∵cosB＝＝，
∴BH＝1，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AH是BE的垂直平分线，
∴AE＝AB＝4，
所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，
设GF＝x，
则AG＝x，GE＝4﹣x，
由GF∥BC，
∴△MGF∽△MEC，
∴＝，
解得x＝．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
9．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．
【解答】解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．
10．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等；
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③若关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有实数解，则b的值可以是﹣1；
④当k＜1时，一次函数y＝kx+k﹣1（k≠0）的图象一定交于y轴的负半轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；根的判别式；两条直线相交或平行问题；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质可对①进行判断；根据平行公理可对②进行判断；利用根的判别式的意义可得到方程有实数根时b2≥4，则可对③进行判断；根据一次函数的性质可对④进行判断．
【解答】解：两直线平行，同位角相等，所以①不符合题意；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②不符合题意；
若关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有实数解，所以b2≥4，则b的值不可以是﹣1，所以③不符合题意；
当k＜1时，k﹣1＜0，则一次函数y＝kx+k﹣1（k≠0）的图象一定交于y轴的负半轴，所以④符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥
【考点】根的判别式；实数的运算．菁优网版权所有
【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝HP，
∴HP＝OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE＝2：3，
∴设BE＝2x，则CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝＝x．
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝EC＝x，
∴AG＝＝x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝，
∴tan∠CAE＝＝＝．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴．
∴．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE＝S△OFC，
∴．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
13．（3分）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ﹣π ．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF＝120°，
∵OA＝2，
∴扇形OGF的面积为：＝
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC＝90°，
∴OC＝2OE＝4，
∴AC＝OC+OA＝6，
∴AB＝AC＝3，
∴由勾股定理可知：BC＝3
∴△ABC的面积为：×3×3＝
∵△OAF的面积为：×2×＝，
∴阴影部分面积为：﹣﹣π＝﹣π
故答案为：﹣π
【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
14．（3分）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为 （2，0） ．
【考点】一次函数图象与几何变换；两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【分析】根据对称的性质得出两个点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．
【解答】解：∵直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，
∵直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴直线L1经过点（3，﹣2），L2经过点（0，﹣4），
把（0，4）和（3，﹣2）代入直线L1经过的解析式y＝kx+b，
则，
解得：，
故直线L1经过的解析式为：y＝﹣2x+4，
可得L1与L2的交点坐标L1与L2与x轴的交点，解得：x＝2，
即L1与L2的交点坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
15．（3分）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 ﹣3＜a＜﹣2 ．
【考点】三角形三边关系；数轴；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围a＜﹣2；再由三角形三边关系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，从而求出a的取值范围．
【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，
∴3＜1﹣a＜1﹣2a，
∴a＜﹣2，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，
∴a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜﹣2，
故答案为﹣3＜a＜﹣2．
【点评】本题考查数轴上点的特点，这是第一个隐含的a的范围，再由三角形两边之和大于第三边进一步确定a的取值范围，从而顺利求解．
16．（3分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 2 ．
【考点】勾股定理；根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．
【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，
∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴斜边c＝＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及勾股定理、完全平方公式的应用，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝6，ab＝4．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据AE∥CD，得出CD＝BD＝2.5，进而得到BG＝1.5，再根据BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的长，即可得出BE的长．
【解答】解：如图所示，过D作DG⊥BC于G，
由折叠可得，CD垂直平分BE，
∴当CD∥AE时，∠AEB＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
∴AD＝BD，
∴D是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，
∵DG⊥BC，
∴BG＝1.5，
∴Rt△BDG中，DG＝2，
∵BC×DG＝CD×BF，
∴BF＝＝，
∴BE＝2BF＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．（3分）如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC＝，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y＝（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 1 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及S△BOC＝即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，由题意Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，解方程即可求得n＝1．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
令直线y＝﹣2x+5中y＝0，则0＝﹣2x+5，解得：x＝，
即OC＝．
∵S△BOC＝，
∴OC•BE＝וBE＝，
解得：BE＝1．
∴点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝﹣2x+5，
解得：x＝2，
∴点B的坐标为（2，1），
∴k＝2×1＝2，
即双曲线解析式为y＝．
将直线y＝﹣2x+5向下平移n个单位得到的直线的解析式为y＝﹣2x+5﹣n，
令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，
∵有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，
解得n＝1或n＝9（舍去），
∴n的值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键．
19．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 ②④⑤ ．（填写正确的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③错误；
当x＝m（1＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
三、解答题（本大题共6小题，共63分）
20．（8分）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代•奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
调查主题
××中学学生读书情况
调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
A.8小时及以上；
B.6～8小时；
C.4～6小时；
D.0～4小时．
第二项
您阅读的课外书的主要来源是（可多选）
E．自行购买；
F．从图书馆借阅；
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．
调查结论
……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图可得平均每周阅读课外书的时间大约是0～4小时的人数为33人，占抽样学生人数的11%，即可求解，由条形统计图可知从图书馆借阅的人数占总数人的62%，即可求解；
（2）由扇形统计图可知平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，即可求解；
（3）由第一项可知阅读时间为“4～6小时”的人数最多，“0～4小时”的人数最少，由第二项可知阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少等等．
【解答】解：（1）∵平均每周阅读课外书的时间大约是0～4小时的人数为33人，占抽样学生人数的11%，
∴参与本次抽样调查的学生人数为：33÷11%＝300（人），
∵从图书馆借阅的人数占总数人的62%，
∴选择“从图书馆借阅”的人数为：300×62%＝186（人），
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2）∵平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，
∴3600×32%＝1152（人），
答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数约为1152人；
（3）答案不唯一，如：
由第一项可知：
阅读时间为“4～6小时”的人数最多，“0～4小时”的人数最少，
由第二项可知：
阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体等知识点，解题的关键是掌握利用统计图提取所需信息．
21．（8分）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE＝BC＝2m，从而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设每件真丝围巾降价y元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260．
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（12分）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由∠BAC＝45°，得∠BOD＝90°，又OD∥BC，可得OB⊥BC，即得直线BC是⊙O的切线；
（2）①由∠BOD＝90°，OB＝OD，可得∠BDE＝45°＝∠BAD，即知△ABD∽△DBE；
②由△ABD∽△DBE，得BD2＝AB•BE，又AB•BE＝6，可得BD＝，从而OB＝BD•sin∠BDO＝，即⊙O的半径的长度是．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°，
∴OB⊥BC，
又OB是⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）①证明：由（1）知∠BOD＝90°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴∠BDE＝45°＝∠BAD，
∵∠DBE＝∠ABD，
∴△ABD∽△DBE；
②解：由①知：△ABD∽△DBE，
∴＝，
∴BD2＝AB•BE，
∵AB•BE＝6，
∴BD2＝6，
∴BD＝，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴OB＝BD•sin∠BDO＝×＝，
∴⊙O的半径的长度是．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，圆的切线等知识，解题的关键是掌握切线的判定定理及圆的相关性质．
24．（12分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．经过点O，P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．设BP＝t．
（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的条件下，当点C'恰好落在边OA上时，求点P的坐标．
【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，然后利用勾股定理，即可求得答案；
（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（3）首先过点P作PE⊥OA于E，由勾股定理得出（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，即可求得t的值．
【解答】解：（1）∵四边形OACB是矩形，
∴∠OBP＝90°，
在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，
∴OP＝2BP＝2t．
根据勾股定理，OB2+BP2＝OP2＝OB2，
即62+t2＝（2t）2，
解得t＝2（t＝﹣2舍去）．
∴点P的坐标为（2，6）；
（2）∵△OB'P，△QC'P分别是由△OBP，△QCP折叠得到的，
∴△OB'P≌△OBP，△QC'P≌△QCP，
∴∠OPB'＝∠OPB，∠QPC'＝∠QPC．
又∵∠OPB'+∠OPB+∠QPC'+∠QPC＝180°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°．
∵∠OPB+∠BOP＝90°，
∴∠BOP＝∠CPQ．
又∵∠OBP＝∠C＝90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴＝．
由题意得BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，
则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．
∴＝．
∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；
（3）∵∠BPO＝∠OPC'＝∠POC'，
∴OC'＝PC'＝PC＝11﹣t，
过点P作PE⊥OA于点E，则四边形BPEO是矩形，
∴OE＝BP＝t，PE＝BO＝6，
∴EC'＝11﹣2t．
在Rt△PEC'中，由勾股定理得PE2+EC'2＝PC'2，
∴（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，
解得t1＝，t2＝，
点P的坐标为或．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
25．（13分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；
②利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．
【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴＝，即＝，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），
∵﹣＜0，
∴当m＝时，n的值最大，最大值是．
【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质求出点A、B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口．
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