上海市同济大学第一附属中学2023届高三数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

同济大学第一附属中学

2022学年第二学期质控1高三年级数学试卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器）

一､填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7~12题每题5分）

1. 函数的定义域是_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数有意义得，解不等式即可求解.

【详解】解：由题意得：，

即，

即，

解得：或，

定义域是.

故答案为：.

2. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出，再根据复数虚部的定义即可得解.

【详解】，

所以复数的虚部为.

故答案为：.

3. 已知实数，若幂函数为偶函数，且在上严格递减，则实数__________．

【答案】

【解析】

【分析】由偶函数，幂函数单调性可得答案.

【详解】因在上单调递减，则；又为偶函数，则

.

故答案为：.

4. 已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为________.

【答案】.

【解析】

【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可.

【详解】解：由题意，底面的半径，

∴该圆椎的侧面积，

故答案为：.

【点睛】本题考查圆锥的相关计算问题，熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键，属于基础题.

5. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为__________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：将两式，相减可得，即，整理可得，所以公比.

考点：等比数列.

6. 已知，则在上的数量投影为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，设与的夹角为，

则在上的数量投影为

故答案为:

7. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离.

【详解】由题意得，，准线方程为：，

设，，，

因此，

线段的中点到轴的距离为.

故答案为：.

【点睛】本题考查抛物线的简单性质，将到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键，考查分析运算能力，属于基础题.

8. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于______．

【答案】112

【解析】

【详解】由题意可得：，

结合二项式展开式通项公式可得：，

令可得：，则常数项为：.

9. 给出如下命题：

①已知随机变量服从二项分布，若，，则

②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

③设随机变量服从正态分布，若，则

④若某次考试的标准分服从正态分布，则甲､乙､丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为

其中正确的命题序号为___________．

【答案】②③④

【解析】

【分析】对于①，根据二项分布的数学期望和方差的公式,直接计算；对于②，根据数据方差的计算公式可以判断；对于③，由正态分布的图象的对称性可以判断；对于④，利用独立重复试验的概率计算公式计算即可.

【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以①错误；

根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；

由正态分布的图象的对称性可得，所以③正确；

甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，故④正确.

故答案为：②③④

10. 设，函数，若函数与函数的图象有且仅有两个不同的公共点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】将函数图象的交点个数转化为方程根的个数，从而可得在上有两不同根，结合正弦函数的图象性质列出不等式即可.

【详解】函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，

即方程有两不同根，

也就是有两不同根，

因为，所以在上有两不同根．

因为，所以或，，

所以或，，

又且，所以，仅有两解时，应有，

则，所以的取值范围是．

故答案为: .

11. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．

详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆半径为r，

∵BC=2，CD=1，

∴BD==

∴BC•CD=BD•r，

∴r=，

∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，

设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），

∵=λ+μ，

∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），

∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，

∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，

∴1≤λ+μ≤3，

故λ+μ的最大值为3，

故答案为：3．

点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．

12. 已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】令，进而原题等价于在单调递增，从而转化为，在上恒成立，参变分离即可求出结果.

【详解】由得，

令，∴

∴在单调递增，

又∵

∴，在上恒成立，即

令，则

∴在单调递减，又因为，

∴．

故答案为：.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

二､选择题（本大题满分20分，每题5分）

13. 若是关于x实系数方程的一个虚数根，则（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．

【详解】解：∵1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，

∴1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，

∴，解得b＝﹣2，c＝3．

故选：D．

【点睛】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．

14. 表示直线，表示平面，下列命题正确的是（    ）

A 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面之间的位置关系及面面垂直的判定定理逐一判断即可.

【详解】对于A，若，则或，故A错误；

对于B，若，则或，故B错误；

对于C，若，则相交或平行或异面，故C错误；

对于D，若，则，故D正确.

故选：D.

15. 已知函数是定义域为R的偶函数，当时， ，如果关于x的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的性质结合解析式作出函数的大致图象，数形结合，采用换元法将方程恰有7个不同的实数根，转化为二次方程的根的问题，利用韦达定理求解，可得答案.

【详解】函数是定义域为R的偶函数，当时,

作出的大致图象,如图示：

令 ，由图象可知时，有3个根，时，有4个根，

当时，有2个根，当时，有6个根，

故关于x的方程恰有7个不同的实数根，

则需为的两实数根，

故，即，

则 ，故，

故选：C

【点睛】本题考查了根据方程的根的个数求解参数问题，涉及到考查函数的奇偶性以及分段函数性质的应用，综合性强，解答的关键是利用数形结合，采用换元法将方程恰有7个不同的实数根，转化为二次方程的根的问题.

16. 设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数最小值为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.

【详解】由题意知sin，∴，

∴，随n的增大而增大，∴,

∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，

∴正整数的最小值为3.

【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.

三､解答题（本大题满分76分）

17. 已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点．

（1）求证：底面；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）欲证明一条直线垂直于一个平面，只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积计算.

【小问1详解】

， 是等腰三角形，O是BD的中点， ，

同理 ，又 平面ABCD， 平面ABCD，

平面ABCD；

【小问2详解】

四边形ABCD是菱形， ，以O为原点，直线BD为x轴，AC为y轴，PO为z轴，建立空间直角坐标系如下图：

则有： ， ，

， ，

设平面PCD的一个法向量为 ，则有 ，即 ，

令 ，则 ， ，

设直线PB与平面PCD的夹角为 ，则 ；

综上，直线PB与平面PCD的夹角的正弦值为 .

18. 已知向量和向量，且∥.

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）已知△的三个内角分别为，，，若有，，求△面积的最大值.

【答案】（1）最小正周期为，最大值为2；（2）.

【解析】

【分析】(1)利用向量平行的坐标表示可得的表达式,然后可求出最小正周期和最大值;

(2)利用(1)中的以及可解得,再根据余弦定理可得以及重要不等式可得 ,再利用面积公式可得.

【详解】(1)因为 向量和向量，且∥.

所以,

所以,

所以最小正周期,最大值为2.

(2)由(1)知,所以,

所以,

因为,所以,所以,

所以,

在三角形中,设三个内角分别为，，所对的边为,

由余弦定理得,

所以,

所以(当时等号成立),

所以,

所以△面积.

所以△面积的最大值为.

【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,三角函数的最小正周期,最大值,余弦定理,重要不等式,面积公式,属于中档题.

19. 某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量．

（1）求的表达式；

（2）如果，为保护生态环境，大约经过多少年后，木材存储量能翻一番？（）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，再利用构造法求通项即可；

（2）由题设可得，化为对数式，再利用换底公式结合题中数据即可得解.

【小问1详解】

由题意可得，

，

所以，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以；

【小问2详解】

若，，

由题设可得，则，

所以，

所以大约经过多少年后，木材存储量能翻一番.

20. 已知椭圆Ω：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与Ω有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（1）若m＝3，点K在椭圆Ω上，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，求的范围；

（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（3）若l过点，射线OM与Ω交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）能为平行四边形，斜率为4+或4﹣

【解析】

【分析】（1）设，用表示出，得出结论；

（2）设直线方程为，联立方程组，根据韦达定理求出点坐标得出结论；

（3）设直线斜率为，求出点坐标，令为的中点得出的值．

【小问1详解】

当时，椭圆方程为，，，，

设，则，，，

，

，

，

即范围是，．

【小问2详解】

设直线的方程为：，，

联立方程组，消元得：，

设，，，，，，

则，．

．

直线的斜率与的斜率的乘积为定值．

【小问3详解】

直线经过点，，

直线不过原点且与有两个交点的充要条件是，且．

设，，直线的方程为：，即．

由（2）可知直线的方程为：，

联立方程组，解得，

由（2）知，，

若四边形为平行四边形，则为的中点，

，即，

解得．

当或时，四边形为平行四边形．

21. 已知函数．

（1）当时，求函数过点的切线方程；

（2）若，求证：函数只有一个零点，且；

（3）当时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值．

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）将代入，解出切点坐标即可;

（2）当时，根据函数的单调性可以求极小值和极大值，再结合零点的存在性定理即可得证;

（3）将恒成立问题转化为最值问题，然后根据，以及的范围，结合单调性，求出最小值即可.

【小问1详解】

当时，

设切点为

切线方程为：

代入切点，得：

，解得：；；

所以切线方程为：

【小问2详解】

；

所以函数在，，，函数单调递减；

在，，函数单调递增；

且函数单调递减，

所以最多只有一个零点；

所以函数只有一个零点，且

【小问3详解】

且对任意且

即：

在，函数单调递增

，函数单调递减；

当时，

所以恒成立，实数的最大值为.

【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查满足条件的实数的最大值的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于难题。