2023中考数学必刷题（中考必考）-解三角形的应用-60道(含答案）

这是一份2023中考数学必刷题（中考必考）-解三角形的应用-60道(含答案），共81页。
2023中考数学必刷题（中考必考）-解三角形的应用-60道
专题训练（共60题）
1．（2021秋•双牌县期末）如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）

2．（2022秋•长沙期末）2022年12月2日是第十一个122“全国交通安全日”，主题为“文明守法平安回家”．超速行驶是引发交通事故的主要原因，交警部门在近年来事故多发的危险路段设立了固定测速点，观测点设在到高速公路l的距离为100m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠AOP＝90°，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了25m/s的限制速度？（）

3．（2023•鹤山市模拟）某学校为进一步加强疫情防控测温工作，决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如左图），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆CP上下调节（如右图），已知探测最大角（∠OBC）为62.3°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，若要求测温区域的宽度AB为2.80m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1米，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.90，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

4．（2022秋•大渡口区校级期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝80米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为2.5秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：≈1.41，≈1.73）．

5．（2022秋•西岗区校级期末）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测．如图，AC是水平地面，其中AB是测温区域，测温仪安装在竖直标杆PC上的点D处，设备安装高度CD为2米，若该测温仪能识别体温的最大张角为72°（即∠ADC＝72°），能识别体温的最小张角为26.6°（即∠BDC＝26.6°）．求：测温区域AB的长度．（结果保留整数，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

6．（2022秋•潜山市期中）如图，河的两岸l1​与l2​相互平行，A​、B​是l1​上的两点，C​、D​是l2​上的两点．​某人在点A​处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°​，再沿AB​方向前进10​米到达点E​（​点E​在线段AB​上）​，测得∠DEB＝60°​，求C​、D​两点间的距离．

7．（2022秋•代县期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性体现，数学兴趣小组在尝试计算tan15°时，采用以下方法：
如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝1、则AB＝2、BC＝；所以tan15°＝＝＝＝2﹣，类比这种方法，计算tan22.5°的值（画出计算所需图形，并用文字、计算说明）．

8．（2022秋•宁强县期末）如图是G5高速公路边水平地面上的交通警示牌，已知警示牌CD的高为米，AB＝7米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，求DM的高度．

9．（2022秋•鄞州区期末）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB；
（2）若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

10．（2022秋•成武县校级期末）如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）

11．（2022秋•天桥区期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β；已知：液压杆AB＝3m，当α＝37°，β＝53°时，
（1）求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长；
（2）求AO的长．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）

12．（2022秋•皇姑区校级期末）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（结果保留根号）

13．（2022春•五峰县期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，
（1）求AP的长？
（2）试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（≈1.732）

14．（2021秋•宝塔区校级期末）如图，∠ABD为楼梯AB的倾斜角，楼梯底部到墙根垂直距离BD为4m，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为∠ACD，已知tan∠ABD＝，sin∠ACD＝，求调整后的楼梯AC的长．

15．（2021秋•红旗区校级期末）小辉老师准备利用无人机为我校初中部跑操比赛进行航拍，如图所示的∠CAB为最佳拍摄视角，CD所在的直线是操场的跑道，BC的长就是最佳拍摄范围．为确定无人机的位置，小辉老师过无人机所在的位置点A作AE⊥CD于点E，知道BE和AE的长就知道无人机的位置了．若∠CAB＝15°，∠ABD＝45°，要想使最佳拍摄范围BC的长为20m，请帮助小辉老师找出无人机的最佳航拍位置，即求出AE的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732≈1.414）

16．（2022春•广西月考）超速行驶是引发交通事故的主要原因．交警部门在近年来事故多发的危险路段设立了固定测速点．观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠AOP＝90°，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（≈1.732）

17．（2022秋•凤山县期中）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走到D处，线段CD＝20米，测得∠ADB＝30°，求树AB的高度．

18．（2021秋•殷都区期末）某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）．如图，他们在河岸MN一侧的A处，观察到对岸P点处有一棵树，测得∠PAN＝31°，向前走45m到达B处，测得∠PBN＝45°．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，）
（1）求河的宽度（精确到1m）；
（2）据河道建造碑文记载，该河实际宽70m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

19．（2021秋•靖西市期末）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路，现新修一条路AD到公路l，小明测量出∠ADC＝30°，∠ABC＝45°，BD＝40m．请你帮他计算出他家到公路l的距离AC的长度（结果保留根号）．

20．（2022春•沙坪坝区校级月考）点C处有一灯塔，CD与直线L垂直，一轮船从点B出发驶到点A，（A、B、D三点都在直线L上），测量得到CD为30千米，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）轮船从B点出发时，另一快艇同时从C点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在M点与轮船相遇，已知快艇行驶了50千米，问轮船相遇后能否在1.3小时之内到达点A．（参考数据：≈1.73，≈1.41）

21．（2022秋•沙坪坝区校级月考）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为82m，楼间距为MN，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为60°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为45°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD＝32m，（参考数据≈1.41，≈1.73）
（1）求楼间距MN；（结果保留根号）
（2）王老师家住B栋3楼，点M处为地面1楼，楼房层高2.8米，问王老师家能否照到春分日正午的太阳？并说明理由．

22．（2022秋•临平区月考）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：≈1.41，≈1.73）．

23．（2022春•巴东县期中）为加强疫情防控工作，学校决定再安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
名称
红外线体温检测仪
安装示意图

技术参数
最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，
且∠ECB'＝∠A'CD．
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．即，当你进入五边形ABB'CA'内时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m）
参考数据：
Sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67．
Sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53．
Sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88．
24．（2022•安徽模拟）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

25．（2022•城关区二模）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：，，）．

26．（2022•梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．
如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200m，求AB的高度．（精确到1m）
（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.73）

27．（2022•甘肃）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE＝1.5m，∠CAF＝26.6°，∠CBF＝35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

28．（2022•开封一模）北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛的场地首钢滑雪大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测：大跳台主体AB的垂直高度，如图，选取的测量点C，D与AB的底部B在同一水平线上．测得CD的长度为15m，在C，D处测得跳位顶部A的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB的高度（结果精确到1m．参考数据：sin37.5°≈0.609，cos37.5°≈0.793，tan37.5°≈0.767）

29．（2022•河北区一模）如图，小明、小华分别位于一条笔直公路PQ上的两点A，B处，点C处为一超市．测得∠CBQ＝70°，∠CAB＝42°，A，B之间距离为3.8km，求小明、小华分别距离超市多少千米（结果保留小数点后一位）．
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90．

30．（2022•东至县模拟）如图1，某游乐场建造了一个大型摩天轮，工程师介绍：若你站在摩大轮下某处（A点）以30°的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），可测得AC的长度为30m，以63°的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点）．如图2，设摩天轮圆轮的直径CD垂直地面于点B，点A，B在同一水平面上．（人的身高忽略不计，参考数据：≈1.73，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，结果精确到个位）
（1）求AB的长；
（2）求摩天轮的圆轮直径（即CD的长）．

31．（2022春•鼓楼区校级月考）某校数学兴趣小组在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度，如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的倾斜边刚好落在视线CA上，沿教学楼向前走8米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上，已知小明眼睛到地面的距离为1.65米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上，结果保留根号）

32．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）
（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）

33．（2022•铜梁区模拟）大勇同学把借来的一辆自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方A处与坐垫下方B处平行于地面水平线，测得AB＝60cm，AC，BC与AB的夹角分别为45°与60°．
（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）；
（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为6cm．根据大勇同学身高比例，坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出大勇同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
34．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）

35．（2022•兰州模拟）如图，小斌家与某大厦的水平距离AB＝50m，小斌从自家的窗口C点眺望大厦BD，测得∠DCE＝58°，∠BCE＝37°（CE⊥BD于点E），求大厦BD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

36．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）

37．（2022•吴兴区一模）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．

（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
38．（2022•秦都区模拟）如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部BC垂直于墙面CD，床DE紧靠墙面CD放置，当导风板所在的直线AE与竖直直线AB的夹角∠EAF＝37°时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，CD⊥ED于点D，AB⊥ED于点F．若AB＝0.05m，BC＝0.2m，床铺ED＝2m，求空调挂机的底部位置距离床的高度CD．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

39．（2022•沈阳模拟）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是该图的平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们]之间的水平距离BC＝2m，折臂底座CD＝1.5m，上折臂AE＝5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝75°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，求路灯AB的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

40．（2022•交城县模拟）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）

41．（2022•永城市校级一模）濮阳是国家历史文化名城，曾出土距今6400多年的蚌塑龙形图案，被誉为“中华第一龙”，位于濮阳中心广场名为“中华第一龙”的龙形雕塑，其灵感就源自中国古代龙的形象．某校数学社团的同学们对龙形雕塑的高度进行了测量．如图，雕塑CD（含底座）垂直于地面，在雕塑两侧地面上相距35m的A，B两处分别测得∠CAD＝42°，∠CBD＝58°（A，D，B在同一条直线上）．求雕塑CD的高度（结果保留一位小数）
参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．

42．（2022•白山二模）如图是一种机器零件的示意图，其中AB⊥BE，CD⊥BE，测得AB＝5cm、CD＝3cm、∠CED＝45°，∠ACE＝175°，求零件外边缘ACE的长l（结果保留1位小数，参考数据：＝1.414，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

43．（2022•钟山县校级模拟）如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选了相距100m的B，C两点．现测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．

44．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，某辆自行车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，测得AB＝54cm，AC、BC与AB的夹角分别为45°与60°．
（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）．
（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为4cm（坐垫E可按轴线BC上下伸缩调节）．茜茜根据自己身高比例，坐垫E到地面的距离为70cm时，乘坐该自行车最舒适．茜茜坐上该自行车，感觉不是很舒适，问：如果要达到最佳舒适高度，茜茜应该如何调节坐垫E的位置？（结果保留一位小数）
（参考数据：≈1.4，≈1.7）

45．（2022•平邑县二模）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

46．（2022•山西模拟）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮球底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长为米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数；
（2）求篮板底部点E到地面的距离（结果保留根号）．

47．（2022•徐闻县模拟）在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．

48．（2021秋•西峡县期末）如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；
（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

49．（2021秋•天府新区期末）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．

50．（2021秋•长丰县期末）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB＝BC＝18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD＝24cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）．

51．（2021秋•苏州期末）如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中CD长为6cm，BC长为12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）点D到BC的距离为 　 　cm；
（2）求点D到AB的距离．

52．（2021秋•长沙期末）为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途经C地沿折线ACB行驶．现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．（结果精确到0.1千米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？

53．（2023•封丘县一模）某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行，某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度（不能到对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点B，C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝45°，量得BC的长为300m．求河的宽度．（结果精确到1m，参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
54．（2023•碑林区校级二模）某校“综合与实践”活动小组想要测量某指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝60cm，BC＝40cm，∠ABC＝135°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝12cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.73）．

55．（2022秋•太仓市期末）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆AB长为8dm，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，AB＝8dm，CA⊥AD于点D且CA＝10dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答过程求出点A到BC的距离．（结果保留根号）
​​
56．（2023•邯山区校级一模）图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为4m．

（1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120° 时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF；
（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为22m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.414，≈1.732）

57．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）


58．（2022秋•汝城县校级期末）2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，BD＝2km，∠ABD＝105°，求AD的长．

59．（2022秋•固始县期末）如图，已知港口东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．
（1）求此时货轮到小岛B的距离．
（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．

60．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）


2023中考数学必刷题（中考必考）-解三角形的应用-60道
参考答案与试题解析
一．解答题（共60小题）
1．（2021秋•双牌县期末）如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）

【分析】先用AM表示出DM、FM，再利用线段的和差关系求出AM，最后求出树高．
【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形，
∴BM＝CD＝1.5米，CE＝DF＝10米．
在Rt△ADM中，
∵tan∠ADM＝，
∴DM＝＝AM．
在Rt△AFM中，
∵tan∠AFM＝，
∴FM＝＝AM．
∵DF＝DM﹣FM，
∴AM﹣AM＝10．
∴AM＝10．
AM＝5．
∴AB＝AM+MB
＝5+1.5
≈5×1.73+1.5
＝8.65+1.5
＝10.15
＝10.2（米）．
答：这棵树AB的高度为10.2米．
2．（2022秋•长沙期末）2022年12月2日是第十一个122“全国交通安全日”，主题为“文明守法平安回家”．超速行驶是引发交通事故的主要原因，交警部门在近年来事故多发的危险路段设立了固定测速点，观测点设在到高速公路l的距离为100m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠AOP＝90°，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了25m/s的限制速度？（）

【分析】先在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出BO的长，然后在Rt△BOP中，利用锐角三角函数的定义求出BO的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得PO＝100m，
在Rt△BOP中，∠PBO＝45°，
∴PO＝BO＝100，
在Rt△AOP中，∠PAO＝30°，
∴，
∴AB＝AO﹣BO＝100﹣100，
∴车辆的速度为，
所以此车速度没有超过25m/s的限制速度！
3．（2023•鹤山市模拟）某学校为进一步加强疫情防控测温工作，决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如左图），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆CP上下调节（如右图），已知探测最大角（∠OBC）为62.3°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，若要求测温区域的宽度AB为2.80m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1米，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.90，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

【分析】由锐角三角函数定义得OC≈1.9BC，OC≈（2.80+BC）×0.50，则1.9BC＝（2.80+BC）×0.50，求出BC的长，即可解决问题．
【解答】解：根据题意可知：AC＝AB+BC＝2.80+BC，
在Rt△OBC中，tan∠OBC＝＝1.90，
∴OC＝BC×tan∠OBC≈BC×1.90＝1.9BC，
在Rt△OAC中，tan∠OAC＝＝0.5，
∴OC＝AC•tan∠OAC≈（2.80+BC）×0.50，
∴1.9BC＝（2.80+BC）×0.50，
解得：BC＝1，
∴OC＝1.9BC＝1.9（米）．
该设备的安装高度OC约为1.9米．
4．（2022秋•大渡口区校级期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝80米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为2.5秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：≈1.41，≈1.73）．

【分析】解直角三角形得到AB＝OA﹣OB＝73米，求得此车的速度≈86千米/小时＞80千米/小时，于是得到结论．
【解答】解：此车超速，
理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝80米，
∵∠APO＝60°，
∴OA＝OP＝80≈138.4（米），
∴AB＝OA﹣OB＝58.4（米），
∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，
∴此车超速．
5．（2022秋•西岗区校级期末）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测．如图，AC是水平地面，其中AB是测温区域，测温仪安装在竖直标杆PC上的点D处，设备安装高度CD为2米，若该测温仪能识别体温的最大张角为72°（即∠ADC＝72°），能识别体温的最小张角为26.6°（即∠BDC＝26.6°）．求：测温区域AB的长度．（结果保留整数，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

【分析】根据特殊角的三角函数值，解△ADC即可得出结论．
【解答】解：由题意可知：∠C＝90°，∠CDA＝72°，DC＝2米，
∴AC＝DC•tan72°＝6（米），
∵∠BDC＝26.6°，
∴BC＝DC•tan26.6°＝1（米），
∴AB＝AC﹣BC＝5（米）．
答：测温区域AB的长度为5米．
6．（2022秋•潜山市期中）如图，河的两岸l1​与l2​相互平行，A​、B​是l1​上的两点，C​、D​是l2​上的两点．​某人在点A​处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°​，再沿AB​方向前进10​米到达点E​（​点E​在线段AB​上）​，测得∠DEB＝60°​，求C​、D​两点间的距离．

【分析】过点D​作DF⊥AB，垂足为F​，利用垂直定义可得∠DFE＝90°，再利用三角形的外角性质可得∠ADE＝30°​，从而根据等角对等边可得DE＝AE＝10米​，然后在Rt△DEF​中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AF的长，最后再证明四边形ACDF是矩形，从而利用矩形的性质可得CD＝AF，即可解答．
【解答】解：过点D​作DF⊥AB，垂足为F​，

∴∠DFE＝90°，
∵∠DEB＝60°​，∠DAB＝30°​，
∴∠ADE＝∠DEB﹣∠DAB＝30°​，
∴∠ADE＝∠DAE＝30°，
∴DE＝AE＝10米​，
在Rt△DEF​中，EF＝DE⋅con60°＝10×​​＝5​（米），
∴AF＝AE+EF＝10+5＝15（米），
∵l1∥l2，∠CAB＝90°，
∴∠DCA＝180°﹣∠CAB＝90°，
∴四边形CADF是矩形，
∴CD＝AF＝15米，
∴C​、D​两点间的距离为15米．
7．（2022秋•代县期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性体现，数学兴趣小组在尝试计算tan15°时，采用以下方法：
如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝1、则AB＝2、BC＝；所以tan15°＝＝＝＝2﹣，类比这种方法，计算tan22.5°的值（画出计算所需图形，并用文字、计算说明）．

【分析】如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设AC＝1，求出CD，可得结论．
【解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．

∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则，
∴CD＝CB+BD＝，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝．
8．（2022秋•宁强县期末）如图是G5高速公路边水平地面上的交通警示牌，已知警示牌CD的高为米，AB＝7米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，求DM的高度．

【分析】设DM＝x米，则CM＝（4﹣5+x）米，然后在Rt△DMA中，利用锐角三角函数的定义可得AM＝x米，从而可得MB＝（x+7）米，再在Rt△CMB中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BM＝CM，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设DM＝x米，
∵CD＝米，
∴CM＝CD+DM＝（4﹣5+x）米，
在Rt△DMA中，AM＝＝x（米），
∵AB＝7米，
∴MB＝MA+AB＝（x+7）米，
在Rt△CMB中，∠MBC＝30°，
∴BM＝CM，
∴x+7＝（4﹣5+x），
解得：x＝5，
∴DM＝5米，
∴DM的高度为5米．
9．（2022秋•鄞州区期末）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB；
（2）若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

【分析】（1）根据题意可知，OC⊥AC，∠OBC＝58°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6，求出BC、AC即可解得．
（2）根据题意可知，AC＝AB+BC＝2.53+BC，求得OC＝1.60BC，在Rt△OAC中求出BC即可解得．
【解答】解：（1）根据题意可知，OC⊥AC，∠OBC＝58°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6（米）．
在Rt△OBC中，（米）．
在Rt△OAC中，（米）．
AB＝AC﹣BC＝3.20﹣1.00＝2.20（米），
答：测温区域的宽度AB为2.20米；
（2）根据题意可知，AC＝AB+BC＝2.53+BC（米）．
在Rt△OBC中，，
∴OC＝1.60BC．
在Rt△OAC中，
OC＝AC•tan∠OAC＝（2.53+BC）×0.5，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.5，
∴BC＝1.15（米），
∴OC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.84米．
10．（2022秋•成武县校级期末）如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）

【分析】过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，则CD＝AD，再由锐角三角函数定义得BD＝AD，则AD﹣AD＝75，求出AD的长，即可解决问题．
【解答】解：过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，如图所示：
则∠ACD＝45°，∠ABD＝53°，
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴CD＝＝＝AD，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴BD＝≈＝AD，
由题意得：AD﹣AD＝75，
解得：AD＝300（m），
∵此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，
∴此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为：20℃﹣×0.6℃＝18.2℃，
答：此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为18.2℃．

11．（2022秋•天桥区期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β；已知：液压杆AB＝3m，当α＝37°，β＝53°时，
（1）求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长；
（2）求AO的长．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）

【分析】（1）由锐角三角函数可求解；
（2）利用锐角三角函数可求AE，OE的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵sinβ＝sin53°＝，
∴＝，
∴BE＝m；
（2）∵tanα＝tan37°＝，
∴＝，
∴OE＝m，
∵tanβ＝tan53°＝，
∴＝，
∴AE＝m，
∴OA＝OE﹣AE＝m．
12．（2022秋•皇姑区校级期末）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝30°，∠DBH＝45°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（结果保留根号）

【分析】延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，通过解直角三角形可得出AE＝，BE＝，结合AE﹣BE＝10可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再将其代入GH＝CE＝CD+DE中即可求出结论．
【解答】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示，
设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan30°＝，tan45°＝，
∴AE＝，BE＝，
∵AE﹣BE＝AB，
∴﹣＝10，
﹣＝10，
解得：x＝4+2，
∴DE＝（4+2）m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+（4+2）m＝（4+4）m．
答：GH的长为（4+4）m．
13．（2022春•五峰县期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，
（1）求AP的长？
（2）试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（≈1.732）

【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）首先利用两个直角三角形求得AB的长，然后除以时间即可得到速度．
【解答】解：（1）由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，
在直角三角形BPO中，
∵∠BPO＝45°，
∴BO＝PO＝100m，
在直角三角形APO中，
∵∠APO＝60°，
∴AO＝PO•tan60°＝100m，
∴AP＝＝m；
（2）由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，
在直角三角形BPO中，
∴AB＝AO﹣BO＝（100﹣100）≈73米，
∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，
∴速度为73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/时＞80千米/时，
∴此车超过每小时80千米的限制速度．
14．（2021秋•宝塔区校级期末）如图，∠ABD为楼梯AB的倾斜角，楼梯底部到墙根垂直距离BD为4m，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为∠ACD，已知tan∠ABD＝，sin∠ACD＝，求调整后的楼梯AC的长．

【分析】根据锐角三角函数tan∠ABD＝和BD为4m，可以求出AD的长，然后再根据sin∠ACD＝，即可求得AC的长
【解答】解：在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，BD＝4m，
∴AD＝BD•tan∠ABD＝＝4×＝4（m），
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，
∴AC＝＝＝4（m），
即调整后的楼梯AC的长是4m．
15．（2021秋•红旗区校级期末）小辉老师准备利用无人机为我校初中部跑操比赛进行航拍，如图所示的∠CAB为最佳拍摄视角，CD所在的直线是操场的跑道，BC的长就是最佳拍摄范围．为确定无人机的位置，小辉老师过无人机所在的位置点A作AE⊥CD于点E，知道BE和AE的长就知道无人机的位置了．若∠CAB＝15°，∠ABD＝45°，要想使最佳拍摄范围BC的长为20m，请帮助小辉老师找出无人机的最佳航拍位置，即求出AE的长．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732≈1.414）

【分析】根据等腰直角三角形的性质，解△AEC即可解决问题．
【解答】解：∵AE⊥CD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠CAB＝15°，∠ABD＝45°，
∴∠C＝30°，
∴AE＝BE，CE＝AE，
∵BC＝20，CE﹣BE＝BC，
∴AE﹣AE＝20，
解得AE≈27.3米，
即AE的长为27.3米．
16．（2022春•广西月考）超速行驶是引发交通事故的主要原因．交警部门在近年来事故多发的危险路段设立了固定测速点．观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠AOP＝90°，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（≈1.732）

【分析】先在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，然后在Rt△BOP中，利用锐角三角函数的定义求出BO的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：此车超过了80km/h的限制速度，
理由：在Rt△AOP中，∠APO＝60°，PO＝100m，
∴AO＝OP•tan60°＝100（m），
在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，
∴BO＝OP•tan45°＝100（m），
∴AB＝AO﹣BO＝100﹣100≈73.2（m），
∵＝24.4m/s＝87.84km/h＞80km/h，
∴此车超过了80km/h的限制速度．
17．（2022秋•凤山县期中）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走到D处，线段CD＝20米，测得∠ADB＝30°，求树AB的高度．

【分析】根据三角形外角的性质得到∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，根据等腰三角形的性质得到AD＝CD＝20米，由直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD＝CD＝20（米），
又∵∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝10（米），
∴树的高度为10米．
18．（2021秋•殷都区期末）某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）．如图，他们在河岸MN一侧的A处，观察到对岸P点处有一棵树，测得∠PAN＝31°，向前走45m到达B处，测得∠PBN＝45°．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，）
（1）求河的宽度（精确到1m）；
（2）据河道建造碑文记载，该河实际宽70m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

【分析】（1）过点P作PC⊥MN于点C，设PC＝xm，先在Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义求出BC＝xm，从而可得AC＝（x+45）m，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义，列出方程，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出误差，再根据多次测量求平均值可以减小误差，即可解答．
【解答】解：（1）过点P作PC⊥MN于点C，

设PC＝xm，
在Rt△PBC中，∠PBN＝45°，
∴BC＝＝x（m），
∵AB＝45m，
∴AC＝AB+BC＝（45+x）m，
在Rt△APC中，∠PAC＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
解得：x≈68，
经检验：x≈68是原方程的根，
答：河的宽度约为68m；
（2）∵70﹣68＝2（m），
∴本次测量结果的误差是2m，
减小误差的建议：多次测量求平均值．
19．（2021秋•靖西市期末）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路，现新修一条路AD到公路l，小明测量出∠ADC＝30°，∠ABC＝45°，BD＝40m．请你帮他计算出他家到公路l的距离AC的长度（结果保留根号）．

【分析】根据BC＝CD﹣BD＝40，构建关系式，解决问题即可．
【解答】解：由题意得∠ACD＝90°，
∴，，
∴，，
∵BD＝CD﹣BC＝40，∠ADC＝30°，∠ABC＝45°，
∴，
即，（﹣1）AC＝40，
∴AC＝20（），
答：AC的长度为AC＝20（）m
20．（2022春•沙坪坝区校级月考）点C处有一灯塔，CD与直线L垂直，一轮船从点B出发驶到点A，（A、B、D三点都在直线L上），测量得到CD为30千米，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）轮船从B点出发时，另一快艇同时从C点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在M点与轮船相遇，已知快艇行驶了50千米，问轮船相遇后能否在1.3小时之内到达点A．（参考数据：≈1.73，≈1.41）

【分析】（1）解直角三角形求出BD，AD的长，可得结论；
（2）求出DM，可得BM＝10千米，再求出船相遇后到达点A的时间即可．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，CD＝30千米，∠CBD＝45°，
∴DB＝DC＝30千米，
在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴AD＝CD＝30千米，
∴AB＝（30﹣30）千米；

（2）在Rt△CDM中，DM＝＝＝40，
∴BM＝40﹣30＝10千米，
∴船相遇后到达点A的时间＝≈1.19小时，
1.19＜1.3，
∴轮船相遇后能在1.3小时之内到达点A．
21．（2022秋•沙坪坝区校级月考）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为82m，楼间距为MN，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为60°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为45°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD＝32m，（参考数据≈1.41，≈1.73）
（1）求楼间距MN；（结果保留根号）
（2）王老师家住B栋3楼，点M处为地面1楼，楼房层高2.8米，问王老师家能否照到春分日正午的太阳？并说明理由．

【分析】（1）根据特殊锐角的直角三角形的边角关系得出CQ＝PQ，DQ＝PQ，由CD＝32＝DQ﹣CQ，可列方程求出PQ，即MN的长即可；
（2）求出DM的长，与王老师家距地面的距离进行比较即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，连接PQ，则PQ⊥QM，由题意得，∠PCQ＝90°﹣45°＝45°，∠PDQ＝90°﹣60°＝30°，
∴CQ＝PQ，DQ＝PQ，
又∵CD＝32＝DQ﹣CQ，
∴PQ﹣PQ＝32，
解得PQ＝16+16，
∴MN＝PQ＝（16+16）m，
（2）由（1）得，DQ＝PQ＝48+16，
∴DM＝QM﹣DQ＝82﹣（48+16）≈6.3（m），
王老师家距地面的距离为：2.8×2＝5.6（m），
∵5.6＜6.3，
∴王老师家不能照到春分日正午的太阳．

22．（2022秋•临平区月考）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：≈1.41，≈1.73）．

【分析】（1）分别在Rt△APO，Rt△BOP中，求得AO、BO的长，从而求得AB的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度．
（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．
【解答】解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP＝90°，
∵∠BPO＝45°，OP＝100，
∴OB＝OP＝100．
在Rt△AOP中，∠AOP＝90°，
∵∠APO＝60°，
∴AO＝OP•tan∠APO．
∴AO＝100（米），
∴AB＝100（﹣1）（米）；

（2）∵此车的速度＝＝25（﹣1）≈25×0.73＝18.25米/秒，
70千米/小时＝米/秒≈19.4米/秒，
18.25米/秒＜19.4米/秒，
∴此车没有超过了万丰路每小时70千米的限制速度．
23．（2022春•巴东县期中）为加强疫情防控工作，学校决定再安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
名称
红外线体温检测仪
安装示意图

技术参数
最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，
且∠ECB'＝∠A'CD．
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．即，当你进入五边形ABB'CA'内时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m）
参考数据：
Sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67．
Sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53．
Sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88．
【分析】设CF＝x，可得FB'＝tan28°•x，根据tan28°≈0.53，列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设CF＝x，

∵∠ECB'＝∠A'CD，∠B'CA'＝34°，
∴∠FCB'＝（90°﹣∠B'CA'）＝28°，
在Rt△FCB'中，FB'＝tan28°•x，
在Rt△FCA'中，x＝tan28°•FA'，
∴x＝0.53（0.53x+4），
解这个方程，x≈2.9m，
安装高度EC≈2.9+1.7＝4.6m，
∴该设备的安装高度EC为4.6m．
24．（2022•安徽模拟）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系用含有MN的代数式表示PF、PE，由CD＝PF﹣PE列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，
则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，
设MN＝xm，
在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，
∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），
在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，
∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），
∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，
∴1.47x﹣0.58x＝45，
解得x≈50.56（m），
即MN＝50.56m．

25．（2022•城关区二模）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：，，）．

【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥MN于D，
在Rt△ACD中，∠MAC＝60°，AC＝40cm，
∴AD＝AC＝20（cm），CD＝AC＝20（cm），
由于∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝30°+15°＝45°，
∴BC＝CD＝20≈49（cm），
答：支架BC的长约为49cm．

26．（2022•梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．
如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200m，求AB的高度．（精确到1m）
（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.73）

【分析】设AB＝xm，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出CB，BD的长度，利用CD＝CB﹣DB列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设AB＝xm，
在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB＝，
∴tan52°＝，
∴BC＝．
在Rt△ABD中，
∵tan∠ADB＝，
∴tan60°＝，
∴BD＝．
∵CD＝CB﹣DB，
∴＝200，
解得：x≈984．
∴AB的高度约为984米．
27．（2022•甘肃）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE＝1.5m，∠CAF＝26.6°，∠CBF＝35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

【分析】设BF＝xm，根据题意可得：DE＝FG＝1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设BF＝xm，
由题意得：
DE＝FG＝1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF＝35°，
∴CF＝BF•tan35°≈0.7x（m），
∵AB＝8.8m，
∴AF＝AB+BF＝（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF＝26.6°，
∴tan26.6°＝＝≈0.5，
∴x＝22，
经检验：x＝22是原方程的根，
∴CG＝CF+FG≈0.7x+1.5≈16.9（m），
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．
28．（2022•开封一模）北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛的场地首钢滑雪大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测：大跳台主体AB的垂直高度，如图，选取的测量点C，D与AB的底部B在同一水平线上．测得CD的长度为15m，在C，D处测得跳位顶部A的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB的高度（结果精确到1m．参考数据：sin37.5°≈0.609，cos37.5°≈0.793，tan37.5°≈0.767）

【分析】根据题意可判断出△ABD为等腰直角三角形，可设AB＝AD＝xm，则BC＝（x+15）m，在Rt△ABC中利用锐角三角函数即可求出x的值，进而即可作答．
【解答】解：由图可得：∠ABC＝90°，∠ADB＝45°，∠ACB＝37.5°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
设AB＝BD＝xm，则BC＝（x+15）m，
在Rt△ABC中，tan37.5°＝，即0.767≈，
∴x≈49，
答：跳台AB的高度约为49m．
29．（2022•河北区一模）如图，小明、小华分别位于一条笔直公路PQ上的两点A，B处，点C处为一超市．测得∠CBQ＝70°，∠CAB＝42°，A，B之间距离为3.8km，求小明、小华分别距离超市多少千米（结果保留小数点后一位）．
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90．

【分析】过点C作CD⊥PQ，垂足为D，设BD＝x米，从而表示出AD的长，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，从而求出CD的长，最后在Rt△CBD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥PQ，垂足为D，

设BD＝x米，
∵AB＝3.8千米，
∴AD＝AB+BD＝（3.8+x）千米，
在Rt△CBD中，∠CBD＝70°，
∴CD＝BD•tan70°≈2.75x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝42°，
∴tan42°＝＝≈0.90，
∴x≈1.85，
经检验：x≈1.85是原方程的根，
∴CD＝2.75x≈5.09（千米），
在Rt△CBD中，BC＝≈≈5.4（千米），
在Rt△ACD中，AC＝≈≈7.6（千米），
∴小明距离超市约为7.6千米，小华距离超市约为5.4千米．
30．（2022•东至县模拟）如图1，某游乐场建造了一个大型摩天轮，工程师介绍：若你站在摩大轮下某处（A点）以30°的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），可测得AC的长度为30m，以63°的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点）．如图2，设摩天轮圆轮的直径CD垂直地面于点B，点A，B在同一水平面上．（人的身高忽略不计，参考数据：≈1.73，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，结果精确到个位）
（1）求AB的长；
（2）求摩天轮的圆轮直径（即CD的长）．

【分析】（1）在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝30米，∠CAB＝30°，
∴AB＝AC•cos30°＝30×＝15≈26（米），
∴AB的长约为26米；
（2）在Rt△ABC中，AC＝30米，∠CAB＝30°，
∴BC＝AC＝15（米），
在Rt△ADB中，∠DAB＝63°，AB＝15米，
∴DB＝AB•tan63°≈15×1.96≈51（米），
∴DC＝BD﹣BC＝51﹣15＝36（米），
∴摩天轮的圆轮直径约为36米．
31．（2022春•鼓楼区校级月考）某校数学兴趣小组在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度，如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的倾斜边刚好落在视线CA上，沿教学楼向前走8米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上，已知小明眼睛到地面的距离为1.65米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上，结果保留根号）

【分析】连接CE并延长交AB于点M，∠ACM＝45°，∠AEM＝60°，CE＝DF＝8米，CD＝EF＝MB＝1.65米，然后设AM＝x米，在Rt△ACM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而求出EM的长，进而在在Rt△AEM中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：连接CE并延长交AB于点M，根据题意可得

由题意得：
∠ACM＝45°，∠AEM＝60°，CE＝DF＝8米，CD＝EF＝MB＝1.65米，
设AM＝x米，
在Rt△ACM中，CM＝＝x（米），
∴EM＝CM﹣CE＝（x﹣8）米，
在Rt△AEM中，tan60°＝＝＝，
∴x＝12+4，
经检验，x＝12+4是原方程的根，
∴AM＝（12+4）米，
∴AB＝AM+MB＝12+4+1.65＝（13.65+4）米，
∴教学楼AB的高度为（13.65+4）米．
32．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）
（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）

【分析】（1）延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，根据题意可得∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，然后在Rt△AGF中，利用锐角三角函数的定义求出AG，从而求出GB的长，进行比较，即可解答；
（2）延长光线交直线BC于点E，根据题意可得∠AEB＝29°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即可解答．
【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，
理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，

则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，
在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），
∵AB＝25米，
∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），
∴FC＝GB＝14米，
∵14米＞6米，
∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；
（2）延长光线交直线BC于点E，

则∠AEB＝29°，
在Rt△ABE中，AB＝25米，
∴BE＝≈≈45（米），
∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．
33．（2022•铜梁区模拟）大勇同学把借来的一辆自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方A处与坐垫下方B处平行于地面水平线，测得AB＝60cm，AC，BC与AB的夹角分别为45°与60°．
（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）；
（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为6cm．根据大勇同学身高比例，坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出大勇同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，设CM＝xcm，先在Rt△ACM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而求出BM的长，然后在Rt△BMC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）过点E作EN⊥AB，垂足为N，根据题意可得∠EBN＝60°，然后在Rt△BEN中，利用锐角三角函数的定义求出EN的长，从而求出坐垫E到地面的距离，即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，

设CM＝xcm，
在Rt△ACM中，∠MAC＝45°，
∴AM＝＝x（cm），
∵AB＝60cm，
∴BM＝AB﹣AM＝（60﹣x）cm，
在Rt△BMC中，∠CBM＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x≈38.1，
经检验：x＝38.1是原方程的根，
∴CM＝38.1cm，
∴点C到AB的距离为38.1cm；
（2）过点E作EN⊥AB，垂足为N，

由题意得：
∠EBN＝∠ABC＝60°，
在Rt△BEN中，BE＝6cm，
∴EN＝BE•sin60°＝6×＝3≈5.19（cm），
∴坐垫E到地面的距离为：5.19+30+38.1＝73.29（cm），
∵坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，
∴大勇同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
34．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）

【分析】过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，从而求出∠CBN＝58°，进而求出∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，从而求出EF，DM的长，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而求出MN的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，

则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．
35．（2022•兰州模拟）如图，小斌家与某大厦的水平距离AB＝50m，小斌从自家的窗口C点眺望大厦BD，测得∠DCE＝58°，∠BCE＝37°（CE⊥BD于点E），求大厦BD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】由题意可得CE＝AB＝50m，BD的长度可看出是BE+DE，分别求出BE与DE的长度即可．
【解答】解：由题意得：CE＝AB＝50m，
∵CE⊥BD，∠DCE＝58°，∠BCE＝37°
∴DE＝CE•tan∠DCE≈50×1.60＝80（m），
BE＝CE•tan∠BCE≈50×0.75＝37.5（m），
∴BD＝BE+DE＝117.5（m）．
答：大厦BD的高度约为117.5m．
36．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）

【分析】过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，从而可得四边形MNCD是矩形，进而可得DM＝CN，先在RtABM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，并且可以求出∠ABM＝30°，从而求出∠CBD＝20°，进而求出∠BCD＝70°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，

∴∠AMB＝∠BME＝∠CNM＝∠CDM＝∠CDB＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM＝CN，
在RtABM中，∠BAE＝60°，AB＝20cm，
∴∠ABM＝90°﹣∠BAE＝30°，
BM＝AB•sin60°＝20×＝10（cm），
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝70°，
在Rt△BCD中，BC＝10cm，
∴BD＝BC•sin70°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴DM＝BM﹣BD＝10﹣9.4≈7.9（cm），
∴DM＝CN＝7.9cm，
∴点C到AE的距离为7.9cm．
37．（2022•吴兴区一模）图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．

（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
【分析】（1）过点D作DG⊥BH于G，则∠DGB＝90°，GH＝DE＝20cm，由锐角三角函数定义求出∠BDG＝30°，即可解决问题；
（2）过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P，过点A作AK⊥BP于K，则PE＝BH＝28cm，∠BDP＝180°﹣∠EDC＝60°，证△ABK是等腰直角三角形，得AK＝12（cm），再求出PD＝BD＝20（cm），即可解决问题．
【解答】解：（1）过点D作DG⊥BH于G，
则∠DGB＝90°，GH＝DE＝8cm，
∴BG＝BH﹣GH＝28﹣8＝20（cm），
∵BD＝40cm，
∴sin∠BDG＝，
∴∠BDG＝30°，
∴∠EDC＝90°+30°＝120°；
（2）在规定范围内，理由如下：
过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P，过点A作AK⊥BP于K，
则PE＝BH＝28cm，PD＝BG＝20cm，∠BDP＝180°﹣∠EDC＝60°，
∴∠PBD＝90°﹣∠BDP＝30°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ABK＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∵AB＝24cm，
∴AK＝AB＝12（cm），
在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，
∴PD＝BD＝20（cm），
又∵DE＝8cm，
∴EF＝48﹣20﹣8﹣123.03（cm），
∵规定范围为3cm﹣5cm，
∴在规定范围内．

38．（2022•秦都区模拟）如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部BC垂直于墙面CD，床DE紧靠墙面CD放置，当导风板所在的直线AE与竖直直线AB的夹角∠EAF＝37°时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，CD⊥ED于点D，AB⊥ED于点F．若AB＝0.05m，BC＝0.2m，床铺ED＝2m，求空调挂机的底部位置距离床的高度CD．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

【分析】先求出EF＝DE﹣DF＝2﹣0.2＝1.8（m），再由锐角三角函数定义求出AF的长，即可解决问题．
【解答】解：∵BC＝0.2m，ED＝2m，
∴EF＝DE﹣DF＝2﹣0.2＝1.8（m），
在Rt△AEF中，∠EAF＝37°，
∵tan∠EAF＝＝tan37°≈0.75＝，
∴AF≈EF＝×1.8＝2.4（m），
∴CD＝BF＝AF﹣AB≈2.4﹣0.05＝2.35（m），
∴安装的空调底部位置距离床的高度CD约为2.35m．
39．（2022•沈阳模拟）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是该图的平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们]之间的水平距离BC＝2m，折臂底座CD＝1.5m，上折臂AE＝5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝75°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，求路灯AB的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥MN，垂足为G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，根据题意可得EF＝GB，DH＝GC，EG＝FB，HG＝DC＝1.5m，∠HDC＝90°，EF∥DH，从而可得∠EDH＝45°，进而可得∠AEF＝30°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF，EF的长，从而求出GC的长，进而求出DH的长，再在Rt△EDH中，利用锐角三角函数的定义求出EH的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥MN，垂足为G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，

则EF＝GB，DH＝GC，EG＝FB，HG＝DC＝1.5m，∠HDC＝90°，EF∥DH，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°，
∵EF∥DH，
∴∠FED＝∠EDH＝45°，
∵∠AED＝75°，
∴∠AEF＝∠AED﹣∠FED＝30°，
在Rt△AEF中，AE＝5m，
∴AF＝AE＝2.5（m），
EF＝AF＝2.5（m），
∴EF＝GB＝2.5m，
∵BC＝2m，
∴GC＝GB﹣BC＝（2.5﹣2）m，
∴DH＝GC＝（2.5﹣2）m，
在Rt△EDH中，EH＝DH•tan45°＝（2.5﹣2）m，
∴FB＝EG＝EH+HG＝2.5﹣2+1.5＝（2.5﹣0.5）m，
∴AB＝FB+AF＝2.5+2.5﹣0.5＝2+2.5≈6.3（m），
∴路灯AB的高为6.3m．
40．（2022•交城县模拟）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）

【分析】过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，根据题意可得OD⊥AC，AC＝10cm，OM＝5.5cm，∠AOD＝20°，从而求出∠OAD＝70°，进而求出∠BAC＝45°，即可求出AC＝BC＝10cm，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AO的长，最后在Rt△AOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，

由题意可知：OD⊥AC，AC＝10cm，OM＝7.5﹣2＝5.5cm，
∵∠AOM＝160°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，
∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，
∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝70°，
∵∠OAB＝115°，
∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAD＝115°﹣70°＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝10cm，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝，
∴AB＝，
∵AB+AO+OM＝31.64cm，
∴AO＝12cm，
在Rt△AOD中，cos∠AOD＝，
∴OD＝AO•cos∠AOD＝12×cos20°≈11.28cm，
∴BC+OD+7.5＝11.28+10+7.5＝28.78cm，
∴点B到桌面得距离为28.78cm．
41．（2022•永城市校级一模）濮阳是国家历史文化名城，曾出土距今6400多年的蚌塑龙形图案，被誉为“中华第一龙”，位于濮阳中心广场名为“中华第一龙”的龙形雕塑，其灵感就源自中国古代龙的形象．某校数学社团的同学们对龙形雕塑的高度进行了测量．如图，雕塑CD（含底座）垂直于地面，在雕塑两侧地面上相距35m的A，B两处分别测得∠CAD＝42°，∠CBD＝58°（A，D，B在同一条直线上）．求雕塑CD的高度（结果保留一位小数）
参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．

【分析】设CD＝xm，在Rt△ACD中，可得出AD＝，在Rt△BCD中，BD＝，再由AD+BD＝AB，列式计算即可得出答案．
【解答】解：设CD＝xm，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝，
∵AD+BD＝AB，
∴+＝35，
解得，x≈20.2．
答：雕塑的高度约为20.2m．
42．（2022•白山二模）如图是一种机器零件的示意图，其中AB⊥BE，CD⊥BE，测得AB＝5cm、CD＝3cm、∠CED＝45°，∠ACE＝175°，求零件外边缘ACE的长l（结果保留1位小数，参考数据：＝1.414，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【分析】分别在两个直角三角形中，根据直角三角形的边角关系求出CE、AC即可．
【解答】解：如图，在Rt△CDE中，∠CED＝45°，CD＝3cm，
∴CE＝CD＝3≈4.24（cm），
在Rt△ACF中，∠ACF＝175°﹣90°﹣45°＝40°，AF＝5﹣3＝2（cm），
∴AC＝≈3.13（cm），
∴零件外边缘ACE的长4.24+3.13≈7.4（cm），
答：零件外边缘ACE的长约为7.4cm．

43．（2022•钟山县校级模拟）如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选了相距100m的B，C两点．现测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．

【分析】通过作高构造直角三角形，在两个直角三角形中，由直角三角形的边角关系列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
设AD的长为xm，
在Rt△ADC中，
∵∠ACB＝45°，
∴CD＝AD＝xm，
在Rt△ABD中，
∵∠ABC＝60°，
∴，
∵B，C两点相距100m，即BC＝100m，
∴，
解得≈63.4（m），
∴河流宽约为63.4m．

44．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，某辆自行车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，测得AB＝54cm，AC、BC与AB的夹角分别为45°与60°．
（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）．
（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为4cm（坐垫E可按轴线BC上下伸缩调节）．茜茜根据自己身高比例，坐垫E到地面的距离为70cm时，乘坐该自行车最舒适．茜茜坐上该自行车，感觉不是很舒适，问：如果要达到最佳舒适高度，茜茜应该如何调节坐垫E的位置？（结果保留一位小数）
（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【分析】（1）过点C作CM⊥AB于点M，则∠CMA＝∠CMB＝90°，根据三角函数利用CM表示出AM、MN，从而利用AB＝54列方程即可求解；
（2）过点E作EN⊥AB于点N，先求出乘坐该自行车最舒适时BE长，再根据原数据比较进行调整．
【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，则∠CMA＝∠CMB＝90°，
∵∠CAM＝45°，∠CBM＝60°，
∴AM＝CM，BM＝，
∵AB＝54（cm），
∴CM+＝54，
∴CM＝27（3﹣）≈34.2（cm），
∴点C到AB的距离为34.2cm；

（2）∵坐垫E到地面的距离为70cm时，乘坐该自行车最舒适，
∴点E到AB的距离为70﹣30﹣35.1＝4.9（cm），
过点E作EN⊥AB于点N，则EN＝4.9（cm），∠ENB＝90°，
∵∠EBN＝∠CBM＝60°，
∴BE＝＝≈5.8（cm）
∵原BE为4cm，
∴需将BE调长5.8﹣4＝1.8（cm）．
45．（2022•平邑县二模）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

【分析】过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在△GAB中先求出GB、GA，再在△FAB中求出CF，最后利用线段的和差关系求出AD．
【解答】解：过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．
则四边形GFED是矩形．
∴DE＝FG＝50cm，GD＝EF．
在Rt△GAB中，∵AB＝25cm，
∴，，
∴GB≈25×0.60＝15（cm），GA≈25×0.80＝20（cm）．
∴BF＝DF﹣BG＝50﹣15＝35（cm）．
∵∠ABC＝72°，∠D'AB＝37°，
∴∠GBA＝90°﹣∠D′AB＝53°．
∴∠CBF＝180°﹣∠GBA﹣∠ABC＝55°．
∴∠BCF＝90°﹣∠CBF＝35°．
∵，
∴（cm）．
∴FE＝CE+CF＝50+130＝180（cm）．
∴GD＝FE＝180（cm），
∴AD＝GD﹣AG＝180﹣20＝160（cm）．
答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．

46．（2022•山西模拟）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮球底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长为米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数；
（2）求篮板底部点E到地面的距离（结果保留根号）．

【分析】（1）在Rt△HEF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，根据题意易证四边形ABMG是矩形，从而得AB＝GM，然后在Rt△AGF中求出FG，从而求出EG，最后在Rt△ABC中，求出AB，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵EF⊥EH，
∴∠HEF＝90°，
在Rt△HEF中，HF＝米，HE＝1米，
∴cos∠FHE＝＝＝，
∴∠FHE＝45°，
∴篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，

∴∠AGM＝∠AGF＝90°，
∵EH∥BC，EF⊥EH，
∴FM⊥BC，
∴∠BMG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABMG是矩形，
∴AB＝GM，
∵HE∥AG，
∴∠FHE＝∠FAG＝45°，
∴FG＝AFsin45°＝（+）×＝（米），
EF＝HEtan45°＝1（米），
∴EG＝FG﹣EF＝（米），
在Rt△ABC中，AB＝ACtan60°＝1×＝（米），
∴AB＝GM＝（米），
∴EM＝EG+GM＝（+）米，
∴篮板底部点E到地面的距离为（+）米．
47．（2022•徐闻县模拟）在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．

【分析】过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△ABE中，通过解直角三角形可求出BE，AE的长及∠ABE的度数，结合∠ABD＝105°可求出∠DBE的度数，在Rt△BDE中，通过解直角三角形可求出DE的长，再结合AD＝AE+DE即可求出结论．
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：

在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝2km，
AE＝＝＝2km，
∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，
∴DE＝BE＝2km，
∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，
∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．
答：隧道CD的长为（2+1）km．
48．（2021秋•西峡县期末）如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；
（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

【分析】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走的距离为AC+BC的长，利用角的正弦值和余弦值即可算出．
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走的距离为AB的长，汽车从A地到B地比原来少走的路程为AC+BC﹣AB的长，利用角的余弦值和正切值即可算出．
【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°＝，AC＝80千米，
∴CD＝AC•sin30°＝80×＝40（千米），BC＝＝＝40（千米），
∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．
∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．
（2）∵cos30°＝，AC＝80千米，
∴AD＝AC•cos30°＝80×＝40（千米），
∵tan45°＝，CD＝40（千米），
∴BD＝＝＝40（千米），
∴AB＝BD+AD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．
49．（2021秋•天府新区期末）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．

【分析】方法一：根据DE和EF的值求出tan∠EDF的值，根据三角函数求出BC即可得出AB的长；
方法二：证△DCB∽△DEF，根据线段比例关系求出BC，然后求出AB长即可．
【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，
∴tan∠EDF＝＝＝，
在Rt△BCD中，CD＝6m，
∵tan∠BDC＝tan∠EDF，
∴＝，
∴BC＝3.6m，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m；
方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，
∴△DCB∽△DEF，
∴，
∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，
∴＝，
解得：BC＝3.6，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m．
50．（2021秋•长丰县期末）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB＝BC＝18cm，底座厚度为3cm，水平距离AD＝24cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°，当CD⊥AD时，灯臂BC与水平线所成的角为α，求此时cosα的值及顶端C到桌面的高度（结果保留根号）．

【分析】过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，根据矩形的性质得到BG＝FD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，
∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，
∴四边形BFDG矩形，
∴BG＝FD，
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，AB＝18cm，
∴BG＝AB•sin60°＝18×＝6（cm），AG＝AB＝9（cm），
∵AD＝24cm，
∴BF＝DG＝AD﹣AG＝15（cm），
在Rt△BCF中，cosα＝＝＝，CF＝＝＝3（cm），
∴CE＝CF+DF+DE＝（3+6+3）cm，
∴答：此时cosα的值为，灯罩顶端C到桌面的高度CE是（3+6+3）cm．

51．（2021秋•苏州期末）如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中CD长为6cm，BC长为12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）点D到BC的距离为 　6　cm；
（2）求点D到AB的距离．

【分析】（1）要求点D到BC的距离，所以过点D作DF⊥BC，垂足为F，然后在Rt△DCF中即可解答；
（2）要求点D到AB的距离，所以过点D作DG⊥AB，垂足为G，连接BD，想利用60°的三角函数值，所以想到过点F作FM⊥AB，垂足为M，在Rt△FMB中求出FM，从而求出∠BFM＝30°，则∠DFM＝60°，再把∠DFM放在直角三角形中，所以过点D作DN⊥FM，垂足为N，即可求出FN，最后用FM减去FN求出MN，即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC，垂足为F，

在Rt△CDF中，CD＝6cm，∠C＝45°，
∴DF＝CDsin45°＝6×＝6cm，
∴点D到BC的距离为6cm，
故答案为：6；
（2）过点D作DG⊥AB，垂足为G，连接BD，过点F作FM⊥AB，垂足为M，过点D作DN⊥FM，垂足为N，

∵∠CFD＝90°，∠C＝45°，
∴CF＝DF＝6cm，
∵BC＝12cm，
∴BF＝BC﹣CF＝12﹣6＝6cm，
∴CF＝BF，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴CD＝DB＝6cm，
在Rt△FMB中，FM＝BFsin60°＝6×＝3cm，
∵∠FMB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BFM＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠DFM＝∠DFB﹣∠BFM＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△FDN中，FN＝FDcos60°＝6×＝3cm，
∴MN＝FM﹣FN＝（3﹣3）cm，
∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°，
∴四边形DNMG是矩形，
∴DG＝MN＝（3﹣3）cm，
∴点D到AB的距离为（3﹣3）cm．
52．（2021秋•长沙期末）为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途经C地沿折线ACB行驶．现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．（结果精确到0.1千米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？

【分析】（1）由题意可知，要求AC与BC的和，需要把特殊角30°与45°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，垂足为D，然后在Rt△ACD和Rt△CDB中进行计算即可；
（2）在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD与BD的长度即可．
【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵AC＝40千米，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝20千米，
∵∠CDB＝90°，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝20千米，
∴BC＝CD＝20（千米），
∴AC+BC＝40+20≈40+1.41×20＝68.2（千米）．
∴开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走68.2千米；
（2）在Rt△ADC中，AD＝AC•cos30°＝40×＝20（千米），
∵BD＝20（千米），
∴AB＝AD+BD＝20+20≈20×1.73+20＝54.6（千米），
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝68.2﹣54.6＝13.6（千米），
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走13.6千米．
53．（2023•封丘县一模）某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行，某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度（不能到对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点B，C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝45°，量得BC的长为300m．求河的宽度．（结果精确到1m，参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm，则，根据BC＝300m，即可列出方程．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

设AD＝xm，
由图可知，∠ABD＝65°，∠ACB＝45°，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝65°，AD＝xm，
∴，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝45°，
∴CD＝xm，
∵BD+DC＝BC，
∴0.47x+x＝300，
∴AD＝x≈204m，
答：河的宽度约为204m．

54．（2023•碑林区校级二模）某校“综合与实践”活动小组想要测量某指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝60cm，BC＝40cm，∠ABC＝135°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝12cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.73）．

【分析】根据题意可得：DE＝MH＝12cm，BN＝PM，BP∥MN，从而利用平行线的性质可求出∠PBC＝75°，进而求出∠ABP＝60°，然后在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义求出AP的长，再在Rt△BNC中，利用锐角三角函数的定义求出PM的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
DE＝MH＝12cm，BN＝PM，BP∥MN，
∴∠PBC＝∠BCD＝75°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝60°，
在Rt△ABP中，AB＝60cm，
∴AP＝AB•sin60°＝60×＝30（cm），
在Rt△BNC中，BC＝40cm，
∴BN＝BC•sin75°≈40×0.97＝38.8（cm），
∴PM＝BN＝38.83cm，
∴AH＝AP+PM+MH＝30+38.8+12≈102.7（cm），
∴指示牌最高点A到地面EF的距离约为102.7cm．
55．（2022秋•太仓市期末）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆AB长为8dm，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，AB＝8dm，CA⊥AD于点D且CA＝10dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答过程求出点A到BC的距离．（结果保留根号）
​​
【分析】设点A到BC的距离为hdm，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设点A到BC的距离为hdm，
过B作BE⊥AC于E，
∵CA⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∵∠AEB＝90°，
∴ABE＝30°，
∵AB＝8dm，
∴AE＝AB＝4（dm），
∴BE＝AB＝4（dm），
∵AC＝10dm，
∴CE＝10﹣4＝6（dm），
∴BC＝＝＝2，
∵S△ABC＝AC•BE＝BC•h，
∴h＝＝，
答：点A到BC的距离为dm．

56．（2023•邯山区校级一模）图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为4m．

（1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120° 时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF；
（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为22m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】（1）如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝30°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可；
（2）如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝60°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可．
【解答】解：（1）如图，作AG⊥CF于点G，

∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG＝AE＝4m，∠EAG＝90°，
∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝120°﹣90°＝30°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG＝，
∴CG＝AC•sin∠CAG＝12×sin30°＝12×＝6（m），
∴CF＝CG+GF＝6+4＝10m；
（2）如图，作AG⊥CF于点G，
∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG＝AE＝4m，∠EAG＝90°，
∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝150°﹣90°＝60°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG＝，
∴CG＝AC•sin∠CAG＝24×sin60°＝24×≈20.78（m），
∴CF＝CG+GF＝20.78+4＝24.78（m）；
∴最高救援高度为24.78m，
故该消防车能实施有效救援．
57．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）


【分析】过P作PH⊥AB于H，由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，BH＝＝50≈86.6米，可得AB＝AH+BH≈136.6米，而136.6÷＝8.196（秒），即可得到答案．
【解答】解：过P作PH⊥AB于H，如图：

由已知可得，PH＝50米，
在Rt△APH中，
∵∠PAH＝45°，
∴∠APH＝∠PAH＝45°，
∴AH＝PH＝50米，
在Rt△BPH中，
tan30°＝，
∴BH＝＝50≈86.6米，
∴AB＝AH+BH≈136.6米，
∵60千米/小时＝米/秒，
而136.6÷≈8.2（秒），
∴车辆通过AB段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．

58．（2022秋•汝城县校级期末）2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，BD＝2km，∠ABD＝105°，求AD的长．

【分析】作BE⊥AD于点E，根据三角形的内角和得到∠ABE＝60°，求得∠EBD＝45°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∵∠ABD＝105°，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝BD＝2km，
∴AE＝BE＝2km，
∴AD＝AE+DE＝（2+2）km．

59．（2022秋•固始县期末）如图，已知港口东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．
（1）求此时货轮到小岛B的距离．
（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．

【分析】（1）根据题意得到∠CAB＝∠B，根据等腰三角形的性质得到CB＝CA＝80，得到答案；
（2）作BD⊥CD于点D，求出∠BCD＝30°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，∠CAB＝90°﹣40°﹣10°＝40°，
∠ACB＝40°+60°＝100°，
∴∠B＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠CAB＝∠B，
∴CB＝CA＝80（海里），
答：此时货轮到小岛B的距离为80海里；
（2）轮船向正东方向航行没有触礁危险．
理由如下：如图，作BD⊥CD于点D，
∵∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝BC＝40，
∵40＞36，
∴轮船向正东方向航行没有触礁危险．

60．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）

【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．
∴OD＝2≈4.5m．
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