中考数学专题复习 专题14 角平分线问题

中考数学总复习六大策略

1、学会运用函数与方程思想。

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法

2、学会运用数形结合思想。

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

3、要学会抢得分点。

一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。

4、学会运用等价转换思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

5、学会运用分类讨论的思想。

如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

6、转化思想:

体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。

专题14 角平分线问题

1.角的平分线定义：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.

类似地，还有角的三等分线等.

2.作角平分线

角平分线的作法(尺规作图)

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

3.角平分线的性质

(1)定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.

(2)逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.

注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：

如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.

说明：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .

(1)三角形的角平分线是线段；

(2)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；

(3)三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；

(4)可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.

4.角平分线的综合应用

(1)为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

(2)在解决综合问题中的应用．

【例题1】(2020•襄阳)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是(　　)

A．132° B．128° C．122° D．112°

【对点练习】(2020长春模拟 )如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为(　　)

A．44°    B．40°   C．39°   D．38°

【例题2】(2020•随州)如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　   　．

【对点练习】(2019四川自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　     ．

【例题3】(2020•金华)图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD(点A与点B重合)，点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．

(1)当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是　   　cm．

(2)当夹子的开口最大(即点C与点D重合)时，A，B两点的距离为　    　cm．

【对点练习】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．

求证：点P在∠MON的平分线上．

一、选择题

1．(2020•乐山)如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝(　　)

A．10° B．20° C．30° D．40°

2．(2020•福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(　　)

A．10 B．5 C．4 D．3

3.如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是(    )

A.15     B.12     C.9     D.6

4．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为(　　)

A． B． C． D．

5.已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(　　)

A．作∠APB的平分线PC交AB于点C

B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC

C．取AB中点C，连接PC

D．过点P作PC⊥AB，垂足为C

6．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=(　　)

A．75° B．80° C．85° D．90°

7．(2019山东滨州)如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，BN平分∠CBD，交边CD于点N，交对角线AC于点M，若OM＝1，则线段DN的长是多少(　　)

A．1.5 B．2 C． D．2

8.(2019陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为(   )

  A.2+      B.     C.2+      D.3

9．(2019内蒙古)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是(　　)

A．1 B． C．2 D．

二、填空题

10．(2020•扬州)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．

②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．

③作射线BF交AC于点G．

如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为　   　．

11．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD=　     　．

12.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为　   　．

13．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　  　度．

14．(2019内蒙古通辽)如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为　   　．

15．(2019宁夏)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝　   　．

三、解答题

16．(2020•泸州)如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．

17．(2020•武汉)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．

(1)求证：AD平分∠BAE；

(2)若CD＝DE，求sin∠BAC的值．

18.已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，

垂足分别为点A、点B．

求证：PA＝PB．

19.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，

且DE＝DC．

(1)求证：BD平分∠ABC；

(2)若∠A＝36°，求∠DBC的度数．

20.已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.

  (1)求证：△ABC是等腰三角形；

  (2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.

21.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．

22.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.

 (1)求证：DE平分∠BDC；

 (2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.

23. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．

24.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA交OA于点D，PEOB交OB于

点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．

25.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

求证：(1)OC平分∠ACD；(2)OAOC；(3)AB+CD=AC．

26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

(1)求∠CBE的度数；

(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．