中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题

中考数学总复习六大策略

1、学会运用函数与方程思想。

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法

2、学会运用数形结合思想。

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

3、要学会抢得分点。

一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。

4、学会运用等价转换思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

5、学会运用分类讨论的思想。

如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

6、转化思想:

体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。

专题18  等腰、等边三角形问题

一、等腰三角形

1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)．

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

二、等边三角形

1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．

2. 性质

性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3.判定

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、解题方法要领

1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在

等腰(边)三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰(边)三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有：(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。(2)在三角形的中线问

题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

【例题1】(2020•临沂)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝(　　)

A．40° B．50° C．60° D．70°

【对点练习】如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD=BD，则下列结论正确的是(　)

A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC

【例题2】(2020•宁波)△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道(　　)

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 

C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长

【对点练习】如图所示，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为　   　°．

【例题3】(2020•台州)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)判断△BOC的形状，并说明理由．

【对点练习】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC=BD.求证：

 (1)BC=AD；

 (2)△OAB是等腰三角形.

【对点练习】已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．

【对点练习】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

(1)求∠ECD的度数；(2)若CE=5，求BC长．

一、选择题

1．(2020•聊城)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是(　　)

A．120° B．130° C．145° D．150°

2．(2020•南充)如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝(　　)

A． B． C．a﹣b D．b﹣a

3．(2020•徐州)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于(　　)

A．75° B．70° C．65° D．60°

4.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(　　)

A．    B．     C．     D．不能确定

5.(2019•浙江衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是(     )

A. 60°                              B. 65°                           C. 75°                                D. 80°

6.(2019•湖南长沙)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(　　)

A．20°B．30°C．45° D．60°

二、填空题

7．(2020•台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　　．

8．(2020•牡丹江)如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：

①BF＝CE；

②∠AEM＝∠DEM；

③AE﹣CEME；

④DE2+DF2＝2DM2；

⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF：1；

⑥CF•DM＝BM•DE，

正确的有　          　．(只填序号)

9．如图所示，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E=　 　°，CE=　　    ．

10.(2019黑龙江绥化)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,则∠A＝______度.

三、解答题

11．(2020•绍兴)问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．

答案：∠DAC＝45°．

思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．

(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

12．(2020•凉山州)如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．

(1)如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；

(2)如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

(3)如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．