2023年山西省晋中市太谷区中考一模数学试题（含详细答案）

这是一份2023年山西省晋中市太谷区中考一模数学试题（含详细答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山西省晋中市太谷区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
3．如图，为的直径，，C、D为上两点，若，则的长为（    ）

A． B． C． D．
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．受本土疫情波及全国多数省份，线下餐饮、购物、出行等消费需求减少等影响,年，消费市场持续承压，但必需类商品及汽车销售情况依旧良好，前个月，社会消费品零售总额亿元，同比下降，数据亿用科学计数法表示为（    ）
A．元 B．元 C．元 D．元
6．不等式组的解集是（    ）
A． B． C． D．
7．寒假期间王华坚持每天在家做跳绳训练，他记录了最近一周的成绩（个/分）：157、159、160、162、160、163、164，该组数据的中位数和众数分别为（    ）
A．162、160 B．160、162 C．160、160 D．159、160
8．在三边都不相等的的边上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画（    ）

A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（k是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（    ）

A． B．或
C．或 D．
10．如图，在边长为4的正六边形中，先以点B为圆心，的长为半径作，再以点A为圆心，的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．______．
12．将抛物线化成顶点式为______．
13．一个不透明的袋子里装有2个白球，2个彩球，这些球除颜色外完全相同，小欢从袋子里随机一次摸出2个球，摸到两个都是彩球的概率是______．
14．某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有______个．

15．如图，点P是双曲线上的一点，过点P作y轴的平行线交直线：于点Q，连接．当点P在曲线上运动，且点P在Q的上方时，则四边形面积的最大值是______．


三、解答题
16．（1）计算：．
（2）先化简：，然后选择一个适当的、你喜欢的数代入求值．
17．年元旦期间，面对新型肺炎疫情的侵袭，全国上下众志成城，我们坚信在党中央的统一领导下必定打赢这场没有硝烟的战争．月日，为了增强学生对此次疫情的了解与防控，某学校在本校网站上开展了相关知识的宣传教育活动．月日为了解这次宣传活动的效果，学校在校网站上从全校名学生中随机抽取若干名在线学生进行知识测试（测试满分分，得分均为整数），并根据这若干人的测试成绩，制作了如下不完整的统计图表．
学生知识测试成绩的频数表

成绩a（分）
频数（人）

















由图表及统计图中给出的信息，回答下列问题：
(1)本次抽取的样本容量是______；扇形的圆心角______，并补全频数直方图；
(2)如果分以上（包括分）为优秀，请估计全校名学生中成绩优秀的人数．
(3)针对这次活动谈谈你的想法．
18．乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程。某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：，
(1)根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是（    ）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果推迟30天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果推迟30天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务
(2)在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程．
E．求：实际每天筑路的面积是多少万平方米？
F．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？
我选的问题是：________________
解：设
19．如图，在△ABC中，AB＝AC， ，以AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接AD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．

(1)试猜想和的数量关系，并说明理由．
(2)若，求AF的长．
20．通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
在中，，，的对边分别为a、b、c，的面积为，过点A作，垂足为D，则在中，
∵
∴
∴
同理可得，，
即……………①
由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又∵
∴将等式两边同除以，得，
∴…………………②
由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．

理解应用：如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距海里．

(1)求：的面积；
(2)求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
21．光明中学校园有一升旗台，旗杆的高度引起了爱思考的同学们的极大兴趣．数学活动小组的同学对旗杆的高度进行了测量．测量方法如下：如图，从旗杆底部分别向东、西走到达点A、C处，在A，C两处分别放置学生制作的高为的测倾仪，在A处测得旗杆顶端Q的仰角是，在C处测得旗杆顶端Q仰角为，点A，C及旗杆在同一平面内，旗杆底部P与点A，C在同一条直线上，，根据测量小组提供的数据，求该旗杆的高度．
（结果精确到，参考数据：，，，）

22．综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知，，过点C任作一条直线l（不与重合），过点A作于点D，过点B作于点E，当点A、B在直线l同侧时，易证（下列解题可直接用此结论）．

(1)如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：．
模型应用：
在平面直角坐标系中，已知直线l：（k为常数，）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作直角三角形且．
(2)若直线l经过点，当点C在第三象限时，点C的坐标为______．
(3)若点D是函数图象上的点，且轴，当点C在第四象限时，连接交y轴于点E，求点C、D的坐标（用含k的式子表示）及的长．

23．综合与探究
如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点D作与y轴的平行线的直线l，与交于点E，当是以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标．
(3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．C
【分析】根据倒数的定义即可得出结论．
【详解】解：由题可知：的倒数为
故选：
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，熟练掌握倒数的定义是解此题的关键．
2．D
【分析】根据幂的运算法则，合并同类型法则即可判断．
【详解】故此选项不符合题意．
故此选项不符合题意．
故此选项不符合题意．
正确，故此选项符合题意．
故选：
【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，合并同类型法则，熟练掌握幂的运算法则，合并同类型法则是解此题的关键．
3．B
【分析】如图：连接，根据直径所对的圆周角为可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据正弦的定义列式求解即可．
【详解】解：如图：连接
∵为的直径，
∴
∵，
∴
∴,,解得：．
故选B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、正弦的定义等知识点，掌握“直径所对的圆周角为”和“同弧所对的圆周角相等”是解答本题的关键．
4．C
【分析】根据二次根式里面的被开方数，且分式的分母不为0即，进行求解．
【详解】解：在实数范围内有意义，
且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式、分式有意义的条件，分母不为零是解题的关键．
5．D
【分析】科学记数法是指把一个数表示成的形式（，n 为整数），科学计数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数．
【详解】亿元元元，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学计数法，掌握科学记数法的表示法则及规律是关键．
6．A
【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：
由①得：
由②得：
∴原不等式组的解集为
故选：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解此题的关键．
7．C
【分析】根据众数和中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：将他记录了最近一周的成绩从小到大进行排序：157、159、160、160、162、163、164，出现次数最多的数为160，因此众数为160；排在中间的数为160，因此中位数的160，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了众数和中位数的定义，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义，众数是在一组数据中,出现次数最多的数据；中位数是按从小到大或从大到小排列，居于中间位置的数．
8．B
【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．
【详解】解：如图，画直线交于点E，则；

如图，画直线交于点E，使，

∵，
∴；
如图，画直线交于点E，则；

如图，画直线交于点E，使，

∵，
∴；
∴这样的直线最多可以画4条．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．C
【分析】一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【详解】一次函数与反比例函数的图象交于，两点，
由图象知不等式的解集是或．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用数形结合是解题关键．
10．B
【详解】解：如图，连接、，过点P作，在上任取一点M，
由题意可知：，
是等边三角形，，
，
∴在中，，
，
，
，
，
，
∵六边形是正六边形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．

【点睛】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、三角函数值和正多边形的内角和，熟练运用扇形的面积公式是解题的关键．
11．17
【分析】先根据零次幂和负整数次幂化简，然后再计算即可．
【详解】解：．
故答案为17．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，掌握零次幂和负整数次幂的运算法则是解答本题的关键．
12．
【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式．
【详解】解：由抛物线可化为顶点式为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
13．
【分析】根据题意列出表格，可得共有12种等可能结果，其中摸到两个都是彩球的2种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：

白1
白2
彩1
彩2
白1

白2、白1
彩1、白1
彩2、白1
白2
白1、白2

彩1、白2
彩2、白2
彩1
白1、彩1
白2、彩1

彩2、彩1
彩2
白1、彩2
白2、彩2
彩1、彩2


共有12种等可能结果，其中摸到两个都是彩球的2种，
所以摸到两个都是彩球的概率是．
故答案为：
【点睛】题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14．40
【分析】根据中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得出正方形地砖的个数．
【详解】解：步道上总共使用连续排列的正方形地砖：(个)．
故答案为∶40
【点睛】本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．也考查了规律型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
15．3
【分析】设，则，得到PQ＝−x＋2，根据三角形面积公式得到，再根据二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】解：∵PQ⊥x轴，
∴，则，
∴PQ＝
∵
∴,即
∴
∵
∴四边形面积有最大值，最大值是3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、反比例函数系数k的几何意义等知识点，掌握从反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为是解答本题的关键．
16．（1）；（2），当时，原式
【分析】（1），，，代入原式求解即可．
（2）根据分式的混合运算法则化简并选择分式有意义的数代入即可．
【详解】（1）解：原式

，
（2）解：原式．



，
，，时原式没有意义，
当时，原式．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值混合运算，分式的化简求值，要熟练掌握特殊角的三角函数值，分式需注意分母不能为0的情况．
17．(1)，图见解析
(2)成绩优秀的人数为人
(3)见解析

【分析】（1）根据的人数及所占百分数即可得到抽样总人数，再根据的人数在总人数中所占的百分数即可得到的圆心角度数；
（2）根据抽样调查里面分以上的所占的百分数即可得到全校名学生中成绩优秀的人数，
（3）根据条形图与扇形图的数据总结抽样调查的结果．
【详解】（1）解：∵的人数为，的百分数，
∴抽样的总人数为：（人），
∴的人数为：（人），
∵的人数为人总人数为人，
∴的圆心角度数=，
故答案为：．
如图所示：

（2）解：∵抽样调查里面分以上所占人数为：（人），
∴估计全校1500名学生中成绩优秀的人数为（人）．
（3）解：我认为还得加强宣传力度，让大家能充分认识疫情，从而提高防范意识；或者在今后的生活中养成更好的生活卫生习惯；或者大力宣传，我们每个人都应该敬畏大自然保护大自然．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
18．(1)C
(2)E；实际每天筑路的面积是0.4万平方米（答案不唯一）

【分析】（1）根据所列方程选择答案即可；
（2）选择合适的问题，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据方程可知，实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，所用天数多了30天，故C正确．
故选：C．
（2）选的问题是（E），
解：设原计划每天筑路的面积为x万平方米，
根据题意，列方程为，
解方程得，
经检验：是原方程的解，
，
答：实际每天筑路的面积是0.4万平方米；
我选的问题是（F）
（天），
答：原计划完成这项筑路工程需要120天．
（可以设与原题中不同未知数，列不同的方程，只要正确即可）
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是根据等量关系列出方程，注意要对方程的解进行检验．
19．(1)，理由见解析
(2)

【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，证明AD⊥BC，根据等腰三角形的性质，得出∠BAD＝∠DAE，即可得出答案；
（2）连接OD，先证明，根据切线性质，得出OD⊥DF，得出DF⊥AC，根据勾股定理得出，根据等积法求出，根据勾股定理得出．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴．
（2）解：连接OD，如图所示：

∵AD⊥BC，AB＝AC＝5，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC，
在Rt△ACD中，
，
∵S△ACDAD•CDAC•DF，
∴，
在Rt△ADF中，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，切线性质定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，中位线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握圆的有关性质，是解题的关键．
20．(1)
(2)（海里/每小时）

【分析】（1）结合题中条件可求出的长，再根据材料中的结论1：三角形的面积等于两边及其夹角正弦值的一半，即可求出答案．
（2）根据第一问可知是等边三角形，结合题中条件求出和的大小，根据材料中的结论2：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，可求出的长，从而可求出答案．
【详解】（1）解：由题意知：，，，

由结论①知，
，
所以的面积为．
（2）解：由（1）知，，
∴是等边三角形，
∴，，
又，
∴，
由题意知，，
∴，
在中，由材料中结论②得，
∴，
∴乙船航行的速度为：（海里/小时）．
【点睛】本题考查的是方向角问题、等边三角形的判定，掌握方向角的概念、正确使用材料中的结论是解题的关键．
21．
【分析】连接交于点F，设，则，在和中，分别利用锐角三角函数解答，即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点F，

由题意，得：，m．，，m，
设：，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
答：旗杆高．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
(3)，，

【分析】（1）由得到．由，得到．则，由余角的性质得到，即可得证；
（2）作轴，如图1，由（1）同理可证，则，先求出直线l的解析式，再求出点A和点B的坐标，得到，由得到，则，求出，即可得到点C的坐标；
（3）过点C作轴于点F．由直线直线l的解析式得到，则．得到点，则．同基础模型得，则，由得，求出，，表示出点C、D的坐标，由得到，则，即可得到的长．
【详解】（1）证明：如图，

∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：作轴，如图1，由（1）同理可证，

∴，
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
当时，，
当时，，解得，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点C的坐标是；
故答案为：
（3）如图2，过点C作轴于点F．

对于直线1：，
令，则．
∴．
∴．
令，则．
∴．
∴．
∴．
同基础模型得．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∵点C在第四象限，
∴．
∵，轴，
∴点D的纵坐标是，
又点D在上，把代入，得，，
∴．
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)，，，

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线的表达式，然后设出点D和点E的坐标，根据列方程求解即可；
（3）然后根据题意分4种情况讨论，分别根据菱形的性质求解即可．
【详解】（1）∵经过点，两点，，则
，
解得，，，，
∴．
（2）设直线BC解析式为，将点、的坐标代入，
并解得：，，
直线BC的表达式为：，
设直线l与x轴交于点M．
设点，则点，
过点C作，垂足为H，则四边形是矩形．

∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
故，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）存在．
设点，
如图所示，当四边形是菱形时，

∵，四边形是菱形，
∴，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，

∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，

∵四边形是菱形，
∴设，则，
∴在中，
，即，
∴解得，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，点N的坐标为，，，．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的存在性问题，对于菱形存在性问题，注意分类讨论．