广东省惠州市半岛学校2022－2023学年八年级下学期3月月考数学科试卷（含答案）

这是一份广东省惠州市半岛学校2022－2023学年八年级下学期3月月考数学科试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了已知＝0，则x为，下列命题中错误的是，下列计算正确的是，化简的结果是，设点P的坐标是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共11小题）
1．已知＝0，则x为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3
C．x＝﹣3D．x的值不能确定
2．下列命题中错误的是（ ）
A．若，则x＝5
B．若a（a≥0）为有理数，则是它的算术平方根
C．化简的结果是π﹣3
D．若二次根式有意义，则x的取值范围为x＞﹣1
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．
C．＝3+4＝4D．＝
4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2B．∠A+∠B＝90°
C．a＝3，b＝4，c＝5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．化简的结果是（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
6．设点P的坐标是（1+，﹣2+a），则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．直角三角形两直角边的长分别为和6，那么这个直角三角形的周长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（ ）
A．2.5B．C．D．﹣1
9．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．2a﹣15B．﹣7C．7D．无法确定
10．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42B．32C．42或32D．37或33
二．填空题（共5小题）
11．已知x＝3，y＝4，z＝5，那么÷的最后结果是 ．
12．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 米．
13．将化成最简二次根式为 ．
14．比较大小：6 7．（填“＞”，“＝”，“＜”号）
15．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）√12×√2÷√6
（2）2√12-3√3-√48+4
17．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
18．（1）已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣xy+y2的值．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．
20．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即AD＝60km）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向，并说明理由．
21．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）求AE的长．
22．在数学课堂上，老师出了一道题：化简，同学们马上举手发言，小明站起来说：“老师，这道题太简单了，因为平方与开平方互为逆运算，所以＝1﹣．”而老师却说小明错了，为什么呢？这是因为如果＝a成立，必须具备条件a≥0，而1﹣＜0．正确的思路是先判断正负，然后开方：＝﹣1，你看明白了吗？请你做一做下面的习题：
（1）化简＝ ．
（2）+++…+．
（3）已知a，b，c是三角形的三边，化简+．
23．已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2＝AD2+DB2．
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知＝0，则x为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3
C．x＝﹣3D．x的值不能确定
【分析】根据0的算术平方根等于0解答．
【解答】解：由题意得，x+3＝0，
解得x＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，主要利用了0的算术平方根等于0．
2．下列命题中错误的是（ ）
A．若，则x＝5
B．若a（a≥0）为有理数，则是它的算术平方根
C．化简的结果是π﹣3
D．若二次根式有意义，则x的取值范围为x＞﹣1
【分析】根据二次根式的性质对A、C进行判断；根据算术平方根的定义对B进行判断；根据二次根式有意义的条件对D进行判断．
【解答】解：A、若，则x＝±5，所以A选项为假命题；
B、若a（a≥0）为有理数，则是它的算术平方根，所以B选项为真命题；
C、化简的结果是π﹣3，所以C选项为真命题；
D、若二次根式有意义，则x的取值范围为x＞﹣1，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3．下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．
C．＝3+4＝4D．＝
【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则结合选项求解，选出正确选项．
【解答】解；A、÷＝＝6，计算错误，故本选项错误；
B、÷＝，计算正确，故本选项正确；
C、＝5，计算错误，故本选项错误；
D、和没有意义，本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．
4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2B．∠A+∠B＝90°
C．a＝3，b＝4，c＝5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∠A+∠B＝∠C，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、52＝32+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是直角三角形；
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．
5．化简的结果是（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】直接进行分母有理化即可求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是进行分母有理化．
6．设点P的坐标是（1+，﹣2+a），则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a的取值范围，然后确定点P所在的象限．
【解答】解：∵﹣a≥0，
∴1+≥1，a≤0，
∴﹣2+a≤﹣2，
∴点P在第四象限．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．直角三角形两直角边的长分别为和6，那么这个直角三角形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再求出其周长即可．
【解答】解：∵直角三角形两直角边的长分别为和6，
∴其斜边的长＝＝4，
∴这个直角三角形的周长＝2+6+＝6+6．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理及二次根式的应用，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长是解答此题的关键．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（ ）
A．2.5B．C．D．﹣1
【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC＝AM，求出OM，由此即可解决问题，
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3，AD＝BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∴AM＝AC＝，
∵OA＝1，
∴OM＝AM﹣OA＝﹣1，
∴点M表示点数为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM的长，属于中考常考题型．
9．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．2a﹣15B．﹣7C．7D．无法确定
【分析】由数轴可知，5＜a＜10，可得a﹣4＞0，a﹣11＜0，再化简即可．
【解答】解：由数轴可知，5＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴
＝a﹣4﹣（11﹣a）
＝a﹣4﹣11+a
＝2a﹣15，
故选：A．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，二次根式的性质是解题的关键．
10．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42B．32C．42或32D．37或33
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中，
CD＝＝＝5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
二．填空题（共5小题）
11．已知x＝3，y＝4，z＝5，那么÷的最后结果是 ．
【分析】将x，y，z的值代入计算即可求出值．
【解答】解：当x＝3，y＝4，z＝5时，原式＝÷＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 15 米．
【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC＝30°，由此得到AB＝2CB，而离地面5米处折断倒下，即BC＝5米，所以得到AB＝10米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
【解答】解：如图，∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，
∴AB＝2CB，
而BC＝5米，
∴AB＝10米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米．
【点评】此题主要利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题，然后解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．
13．将化成最简二次根式为 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
14．比较大小：6 ＞ 7．（填“＞”，“＝”，“＜”号）
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【解答】解：6＝＝，7＝＝，
∵180＞147，
∴6＞7，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则和二次根式的性质，能选择适当的方法比较大小是解此题的关键．
15．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 7 ．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE＝CE，进而求出△ABE的周长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝＝4，
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝BC＝4，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝3+4＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
①9+7
②（）×﹣
【分析】①先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
②先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：①原式＝9+14﹣20+
＝；
②原式＝+﹣（3﹣1）
＝6+3﹣2
＝7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝
＝，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（1）计算：﹣4+2÷；
（2）已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣xy+y2的值．
【分析】（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可；
（2）先计算x+y与xy，再利用完全平方公式得到x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+2
＝+4
＝5；
（2）∵x＝2+，y＝2﹣，
∴x+y＝4，xy＝4﹣3＝1，
∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝16﹣3×1＝13．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．
【分析】根据折叠得到BE＝EB′，AB′＝AB＝3，设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，根据勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22＝（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．
【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝5，
∴B′C＝5﹣3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝1.5，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即AD＝60km）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向，并说明理由．
【分析】（1）Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度；
（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°．由方向角的定义作答．
【解答】解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝＝＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∴C岛在A港的北偏西40°．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
21．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）求AE的长．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，设AE＝x，则EC＝4﹣x，根据勾股定理可得x2+32＝（4﹣x）2，再解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，
又∵42+32＝52，
即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）证明：连接CE．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，
设AE＝x，则EC＝4﹣x．
∴x2+32＝（4﹣x）2．
解之得x＝，即AE的长是．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
22．在数学课堂上，老师出了一道题：化简，同学们马上举手发言，小明站起来说：“老师，这道题太简单了，因为平方与开平方互为逆运算，所以＝1﹣．”而老师却说小明错了，为什么呢？这是因为如果＝a成立，必须具备条件a≥0，而1﹣＜0．正确的思路是先判断正负，然后开方：＝﹣1，你看明白了吗？请你做一做下面的习题：
（1）化简＝ ﹣ ．
（2）+++…+．
（3）已知a，b，c是三角形的三边，化简+．
【分析】（1）根据二次根式的性质，可得答案；
（2）根据二次根式的性质，二次根式的加减，可得答案；
（3）根据二次根式的性质，整式的加减，可得答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣，
故答案为：﹣．
＝﹣1+﹣+﹣+……+﹣＝﹣1；
（3）原式＝a+b﹣c+（a+c﹣b）＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．
【点评】本题考查了二次根式的加减，利用二次根式的性质化简是解题关键．
23．已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2＝AD2+DB2．
【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，则DC＝EA，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD＝∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE＝90°，AE＝DB，从而求出AD2+DB2＝DE2，即2CD2＝AD2+DB2．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B＝∠CAE＝45°
∴∠DAE＝∠CAE+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴AD2+AE2＝DE2．
由（1）知AE＝DB，
∴AD2+DB2＝DE2，即2CD2＝AD2+DB2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/23 15:11:09；用户：数学；邮箱：13995970761；学号：41968578