江苏省南京市第一中学2022-2023学年数学九年级下学期3月月考试题（含答案）

这是一份江苏省南京市第一中学2022-2023学年数学九年级下学期3月月考试题（含答案），共26页。试卷主要包含了无理数介于整数，已知反比例函数y＝，计算的结果是　 　等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市第一中学九下3月月考
一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）
1．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（　　）
A．1.05×105 B．1.05×10﹣5 C．0.105×10﹣5 D．10.5×10﹣4
2．无理数介于整数（　　）
A．4与5之间 B．3与4之间 C．2与3之间 D．1与2之间
3．如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：BF＝1：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面积记为S1，菱形ABCD的面积记为S2，则S1：S2的值为（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
4．如图，已知BA是⊙O的切线，切点为A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝45°，AB长为2，则BC的长度为（　　）

A．2 B． C．2 D．2
5．已知反比例函数y＝（k≠0）过点A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．0＜a＜1
6．在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
6
y
﹣14
﹣7
﹣2
2
m
n
﹣7
﹣14
﹣23
则m、n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法比较
二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）
7．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
8．计算（x≥0，y≥0）的结果是　 　．
9．分解因式a3﹣a的结果是　 　．
10．点A（﹣1，m）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为　 　．
11．如图，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，连接对角线BD，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC＝150°，连接FA和FC，则线段FA、FB和FC之间的数量关系为 　 　．

12．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，AC与BD交于点E，若点D的坐标是（3，4），则点E的坐标是　 　．

13．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝　 　度．

14．已知方程x2﹣mx﹣3m＝0的两根是x1、x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝　 　．
15．已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是　 　cm2．（结果保留π）．
16．如图，在直角坐标系中，△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点A坐标为（3，1），AB与x轴交于点C，则AC：BC的值为　 　．

三．解答题（共11小题，共88分）
17．（7分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
18．（6分）（1）计算：．
（2）化简：．
19．（8分）有下列命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
（1）上述四个命题中，是真命题的是 　 　（填写序号）；
（2）请选择一个真命题进行证明．（写出已知、求证，并完成证明）
已知：　 　．
求证：　 　．
证明：

20．（8分）光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：

（1）填写下表：

中位数
众数
随机抽取的50人的社会实践活动成绩（单位：分）
　 　
　 　
（2）估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．
21．（8分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中选择了地理，则她选择生物的概率是多少；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图或者列表的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．
22．（8分）如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN．测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）
（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）

23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．
（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形EGFH为矩形？并说明理由．

24．（8分）甲、乙两地相距480km，一辆货车从甲地匀速驶往乙地，货车出发一段时间后，一辆汽车从乙地匀速驶往甲地，设货车行驶的时间为xh．线段OA表示货车离甲地的距离y1km与xh的函数图象；折线BCDE表示汽车距离甲地的距离y2km与x（h）的函数图象．
（1）求线段OA与线段CD所表示的函数表达式；
（2）若OA与CD相交于点F，求点F的坐标，并解释点F的实际意义；
（3）当x为何值时，两车相距100千米？

25．（8分）已知⊙O的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．
（1）如图①，若m＝5，则∠C的度数为　 　°；
（2）如图②，若m＝6．
①求∠C的正切值；
②若△ABC为等腰三角形，求△ABC面积．

26．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m（m为常数）
（1）若m≥0，求证该函数图象与x轴必有交点
（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x的图象上
（3）当﹣2≤x≤3时，y的最小值为﹣1，求m的值
27．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B＝45°，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．
【操作与发现】
（1）当E运动到AE⊥CD处，利用直尺与规作出点E与点F；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，证明：＝．
【探索与证明】
（3）点E运动到任何一个位置时，求证：；
【延伸与应用】
（4）点E在运动的过程中求EF的最小值．


2022-2023学年南京市第一中学九下3月月考
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（　　）
A．1.05×105 B．1.05×10﹣5 C．0.105×10﹣5 D．10.5×10﹣4
【解答】解：0.0000105＝1.05×10﹣5，
故选：B．
2．无理数介于整数（　　）
A．4与5之间 B．3与4之间 C．2与3之间 D．1与2之间
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
故选：B．
3．如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：BF＝1：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面积记为S1，菱形ABCD的面积记为S2，则S1：S2的值为（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
【解答】解：如图设AD交EF于M，CD交FG于N．

由题意，重叠部分四边形MDNF是菱形，
菱形MFND∽菱形ABCD，
∴＝（）2，
∵DF：BF＝1：3，
∴DF：BD＝1：4，
∴＝（）2＝，
故选：D．
4．如图，已知BA是⊙O的切线，切点为A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝45°，AB长为2，则BC的长度为（　　）

A．2 B． C．2 D．2
【解答】解：连接OA，
∵BA是⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵AB长为2，
∴AO＝2，
则BO＝2，
故BC＝2﹣2，
故选：C．

5．已知反比例函数y＝（k≠0）过点A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．0＜a＜1
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）中的k2＞0，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵y2＞y1，a+1＞a，
∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，
∴，
解得﹣1＜a＜0．
故选：B．
6．在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
6
y
﹣14
﹣7
﹣2
2
m
n
﹣7
﹣14
﹣23
则m、n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法比较
【解答】解：∵x＝﹣2时，y＝﹣7，x＝4时，y＝﹣7，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，即（1，2）为抛物线的顶点，
∴2为抛物线的最大值，即抛物线开口向下，
∴当x＞1时，抛物线为减函数，x＜1时，抛物线为增函数，
∴（2，m）与（3，n）在抛物线对称轴右侧，且2＜3，
则m＞n．
故选：A．
二．填空题（共12小题）
7．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x＞2　．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故答案为：x＞2．
8．计算（x≥0，y≥0）的结果是　4x　．
【解答】解：（x≥0，y≥0）
＝
＝4x．
故答案为：4x．
9．分解因式a3﹣a的结果是　a（a+1）（a﹣1）　．
【解答】解：a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
10．点A（﹣1，m）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为　﹣2　．
【解答】解：∵点A（﹣1，m）在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝﹣1•m，
∴m＝﹣2，
故答案是：﹣2．
11．如图，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，连接对角线BD，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC＝150°，连接FA和FC，则线段FA、FB和FC之间的数量关系为 　FA2+FC2＝FB2或BF2＝AF2+CF2+AF•CF　．

【解答】解：FA2+FC2＝FB2或BF2＝AF2+CF2+AF•CF．
证明：①如图3，

连接AC，
∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CA＝CB，
将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF，EA，
∴CE＝CF，∠FCE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE＝60°，FE＝FC，
∴∠BCF＝∠ACE，
在△BCF和△ACE中，
，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴FB＝AE，
∵∠AFC＝150°，∠CFE＝60°，
∴∠AFE＝90°，
在Rt△AEF中，FA2+FE2＝AE2，
∴FA2+FC2＝FB2．

②如图当∠AFC＝150°，作等边三角形FCE，连接AC、AE．
同理可证△BCF≌△ACE，BF＝AE．
∵∠CFE＝60°，
∴∠AFE＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
作EM⊥AF交AF的延长线于点M，
在Rt△EFM中，∵∠EFM＝30°，
∴EM＝EF，FM＝EF，
在Rt△AME中，AE2＝AM2+EM2，
∴AE2＝（AF+EF）2+（EF）2，
∴AE2＝AF2+EF2+AF•EF，
∵AE＝BF，EF＝CF，
∴BF2＝AF2+CF2+AF•CF．
故答案为：FA2+FC2＝FB2或BF2＝AF2+CF2+AF•CF．
12．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，AC与BD交于点E，若点D的坐标是（3，4），则点E的坐标是　（1，2）　．

【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，
∵D的坐标是（3，4），B、C在x轴上，
∴DC＝4，OC＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，
∴OB＝4﹣3＝1，
∵B在x轴的负半轴上，
∴B（﹣1，0），
∵E为BD中点，EF⊥BC，
∴BF＝FC＝2，
∴FO＝1，EF＝DC＝2，
∴E（1，2）．
故答案为：（1，2）．

13．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝　15　度．

【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，
∴OC＝AB，
∵OA＝OC，
∴OA＝AB，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AE＝BE，＝，
即OA＝2AE，
∴∠AOD＝30°，
∴和的度数是30°
∴∠BAD＝15°，
故答案为：15．
14．已知方程x2﹣mx﹣3m＝0的两根是x1、x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝　﹣3　．
【解答】解：∵方程x2﹣mx﹣3m＝0的两根是x1、x2，
∴x1+x2＝m，x1x2＝﹣3m，
又∵x1+x2＝1，
∴m＝1，
∴x1x2＝﹣3m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是　20π　cm2．（结果保留π）．
【解答】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，
∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的侧面积＝π×4×5＝20πcm2．
故答案为：20π．
16．如图，在直角坐标系中，△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点A坐标为（3，1），AB与x轴交于点C，则AC：BC的值为　　．

【解答】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．

∵A（3，1），
∴OA＝＝．
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴＝．
∵∠AOB＝90°，∠EOC＝90°，
∴∠EOB＝∠AOD，
又∵∠BEO＝∠ADO，
∴△OEB∽△ODA，
∴＝＝，即＝，解得：OE＝．
∵AC：BC＝S△AOC：S△OBC＝AD：OE＝1：＝．
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．解不等式组，并写出不等式组的整数解．
【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3x﹣3，得：x≥﹣1，
解不等式＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
所以该不等式组的整数解为﹣1、0、1．
18．（1）计算：．
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式＝1﹣3×﹣（2﹣）＝1﹣﹣2+＝﹣1；

（2）原式＝×＝﹣a﹣b．
19．有下列命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
（1）上述四个命题中，是真命题的是 　①②④　（填写序号）；
（2）请选择一个真命题进行证明．（写出已知、求证，并完成证明）
已知：　在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D　．
求证：　四边形ABCD是平行四边形　．
证明：

【解答】解：（1）①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．故正确；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．故正确；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．故错误；
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．故正确．
故答案是：①②④；

（2）以②为例：
已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠1+∠3＝180°﹣∠A，∠2+∠4＝180°﹣∠C，∠A＝∠C，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4．①
∵∠ABC＝∠ADC，
即∠1+∠2＝∠3+∠4，②
由①②相加、相减得：∠1＝∠4，∠2＝∠3．
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
故答案是：在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D；四边形ABCD是平行四边形．

20．光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：

（1）填写下表：

中位数
众数
随机抽取的50人的社会实践活动成绩（单位：分）
　4　
　4　
（2）估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．
【解答】解：（1）

中位数
众数
随机抽取的50人的社会实践活动成绩（单位：分）
4
4
（2）随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：＝3.5（分）．
估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.5×900＝3150（分）
21．从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中选择了地理，则她选择生物的概率是多少；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图或者列表的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．
【解答】解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，
∴小丽选择生物的概率为；
（2）把化学、生物、思想政治、地理4科分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明选中“化学”“生物”的结果有2种，
∴小明选中“化学”“生物”的概率为＝．
22．如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN．测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）
（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）

【解答】解：如图2，延长CB交PQ于点D．
∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ．
在Rt△ABD中，∵AB＝10米，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝5（米），AD＝5（米），
在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝50°，
∴CD＝AD•tan∠CAD＝5×1.2＝6（米），
∴BC＝（6﹣5）（米）．

23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．
（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；
（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形EGFH为矩形？并说明理由．

【解答】（1）证明：连接EF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵点E、F分别是AD、BC的中点
∴AE＝ED＝AD，BF＝FC＝BC，
∴AE∥FC，AE＝FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH．
同理可证：ED∥BF且ED＝BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：当BC＝2AB时，平行四边形EGFH是矩形．理由如下：
由（1）同理易证四边形ABFE是平行四边形，
当BC＝2AB时，AB＝BF，
∴四边形ABFE是菱形，
∴AF⊥BE，即∠EGF＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形．

24．甲、乙两地相距480km，一辆货车从甲地匀速驶往乙地，货车出发一段时间后，一辆汽车从乙地匀速驶往甲地，设货车行驶的时间为xh．线段OA表示货车离甲地的距离y1km与xh的函数图象；折线BCDE表示汽车距离甲地的距离y2km与x（h）的函数图象．
（1）求线段OA与线段CD所表示的函数表达式；
（2）若OA与CD相交于点F，求点F的坐标，并解释点F的实际意义；
（3）当x为何值时，两车相距100千米？

【解答】解：（1）设线段OA对应的函数关系式为y1＝kx，
6k＝480，得k＝80，
即线段OA对应的函数关系式为y1＝80x（0≤x≤6），
设线段CD对应的函数关系式为y2＝ax+b，
，得，
即线段CD对应的函数关系式为y2＝﹣120x+624（1.2≤x≤5.2）；
（2），
解得，，
∴点F的坐标为（3.12，249.6），点F的实际意义是：在货车出发3.12小时时，距离甲地249.6千米，此时与汽车相遇；
（3）由题意可得，
|80x﹣（﹣120x+624）|＝100，
解得，x1＝2.62，x2＝3.62，
答：x为2.62或x＝3.62时，两车相距100千米．
25．已知⊙O的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．
（1）如图①，若m＝5，则∠C的度数为　30　°；
（2）如图②，若m＝6．
①求∠C的正切值；
②若△ABC为等腰三角形，求△ABC面积．

【解答】解（1）如图1，连接OB，OA，
∴OB＝OC＝5，
∵AB＝m＝5，
∴OB＝OC＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
故答案为30；

（2）①如图2，连接AO并延长交⊙O于D，连接BD，
∵AD为⊙O的直径，
∴AD＝10，∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝m＝6，根据勾股定理得，BD＝8，
∴tan∠ADB＝＝，
∵∠C＝∠ADB，
∴∠C的正切值为；

②Ⅰ、当AC＝BC时，如图3，连接CO并延长交AB于E，
∵AC＝BC，AO＝BO，
∴CE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝3，
在Rt△AEO中，OA＝5，根据勾股定理得，OE＝4，
∴CE＝OE+OC＝9，
∴S△ABC＝AB×CE＝×6×9＝27；

Ⅱ、当AC＝AB＝6时，如图4，
连接OA交BC于F，
∵AC＝AB，OC＝OB，
∴AO是BC的垂直平分线，
过点O作OG⊥AB于G，
∴∠AOG＝∠AOB，AG＝AB＝3，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACF＝∠AOG，
在Rt△AOG中，sin∠AOG＝＝，
∴sin∠ACF＝，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，
∴AF＝AC＝，
∴CF＝，
∴BC＝2CF＝
∴S△ABC＝AF×BC＝××＝；
Ⅲ、当BA＝BC＝6时，如图5，由对称性知，S△ABC＝．





26．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m（m为常数）
（1）若m≥0，求证该函数图象与x轴必有交点
（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x的图象上
（3）当﹣2≤x≤3时，y的最小值为﹣1，求m的值
【解答】（1）证明：令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣m＝0，
∵m≥0，
∴△＝4m2﹣4（m2﹣m）＝4m≥0，
∴二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m的图象与x轴必有交点；

（2）证明：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m＝（x﹣m）2﹣m，
∴顶点坐标为（m，﹣m），
令x＝m，y＝﹣m，
∴y＝﹣x，
∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x的图象上；

（3）解：由（2）知，抛物线的对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m＞3时，由题意得：当x＝3时，y最小值为﹣1，
代入抛物线解析式中得：9﹣6m+m2﹣m＝﹣1，即m＝2（舍）或m＝5，
当﹣2≤m≤3时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣1，
代入抛物线解析式中得：m2﹣2m2+m2﹣m＝﹣1，即m＝1；
当m＜﹣2时，由题意得：当x＝﹣2时，y最小值为﹣1，
代入抛物线解析式中得：4+4m+m2﹣m＝﹣1，即m2+3m+5＝0，此方程无解；
综上，m的值是1或5．
27．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B＝45°，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．
【操作与发现】
（1）当E运动到AE⊥CD处，利用直尺与规作出点E与点F；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，证明：＝．
【探索与证明】
（3）点E运动到任何一个位置时，求证：；
【延伸与应用】
（4）点E在运动的过程中求EF的最小值．

【解答】解：（1）如图1所示，
（2）如图，易知AC为直径，则AF⊥BC，
则S四边形ABCD＝BC•AF＝CD•AE，
∴＝＝
（3）如图，作AM⊥BC，AN⊥CD，若E在DN之间
由（2）可知，＝
∵A、F、C、E四点共圆，
∴∠AFC+∠AEC＝180°，
∵∠AFC+∠AFM＝180°，
∴∠AEN＝∠AFM，
∵∠AMF＝∠ANE
∴△AMF∽△ANE
∴＝＝
若E在CN之间时，同理可证
（4）∵A、F、C、E四点共圆，
∴∠FAE+∠BCD＝180°，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝45°，
∴∠BCD＝135°，
∴∠FAE＝45°，
∴∠FOE＝90°，
∴△FOE为等腰直角三角形，
∴FE＝R
∵AN≤AC≤2R，
∴E与N重合时，FE最小，
此时FE＝AC，
在△ABC中，AM＝BM＝3，则CM＝2
∴由勾股定理可知：AC＝
此时EF最小值为