初中数学湘教版八年级上册第2章 三角形2.1 三角形教学ppt课件

教学目标

1.学会利用拼合的方法探究三角形的内角和，并证明.

2.掌握三角形内角和定理并利用它求角的问题.

3.了解三角形外角的概念，理解三角形外角的性质，初步学会数学说理.

4.学会运用三角形内角和定理及外角的性质解决角的度数的相关问题.

教学重难点

重点：三角形内角和定理及推论，三角形的外角及其性质.

难点：合理地应用三角形内角和定理及推论，三角形外角性质进行简单的推理证明和计算.

教学过程

导入新课

导入：在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图1），知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？

①                             ②

图1

探究新知

问题：在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为180°？

师生活动

让学生每人画一个三角形，并把三个角裁下来，拼在一起，让他们自己得出结论.

生：三个角拼在一起，会得到一个平角，即三角形的内角和为180°.

师：为什么是180°呢？

生：因为三个角合起来形成一个平角，而平角等于180°，所以三个角的和为180°.

师：大家得出的结论相同吗？你们画的三角形都一样吗？如果不一样，你能得出什么结论呢？

生：我们互相交流一下，结论都是一样的，但所画的三角形并不完全一样，所以说明三角形三个内角的和与形状没有关系，只要是三角形，其内角和就一定为180°.

师：大家回答得非常棒.但这只是实验，由观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，必须通过数学证明来验证，那么怎样证明呢？请同学们看图2（课件展示）.

①  　　　　　　　　　　　   ② 　

图2

在图2①中，∠B和∠C分别拼在∠BAC的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线MN，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线MN上.想一想，直线MN与△ABC的边BC有什么关系？由这个图你能想出说明三角形内角和等于180°这个结论正确的方法吗？

一、三角形内角和定理的证明

问题：如何证明三角形内角和等于180°呢？

请大家思考后再互相交流.

生：因为移动后的∠C与未移动时的∠C相等，而它们又是内错角，由平行线的判定可知，直线MN与边BC平行，所以可以过△ABC的顶点A作直线MN平行于△ABC的边BC，由平行线的性质与平角的定义可知∠BAC+∠B+∠C＝180°.

师：大家能写出证明过程吗？

这是一个文字命题，用数学符号推理证明时，应注意什么？

生：需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.

师：下面请一位同学完整地写出过程.

生：已知：△ABC（如图3），求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°.

证明：如图3，过点A作直线DE∥BC，

∴ ∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C.

∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，

∴ ∠B+∠BAC+∠C＝180°.

师：再观察图2②，辅助线的作法与图2①一样吗？证明方法相同吗？

生：辅助线的作法不同.移动前的∠A和移动后的∠A相等，且是内错角的位置关系，可知直线CE与边AB平行，同时移动前和移动后的∠B是同位角也应相等，所以三个角拼在一起构成了平角，故∠A+∠B+∠ACB＝180°.

师：能写出证明过程吗？

生：已知、求证和上面相同.

证明：如图4，延长BC到D，过点C作CE∥AB.

∴ ∠A＝∠ACE，∠B＝∠ECD.

∵ ∠ACE+∠ACB+∠ECD＝180°，

∴ ∠A+∠ACB+∠B＝180°.

师：利用两直线平行，同旁内角互补怎样证明？课下讨论.从上面的两种证明方法中，大家能否找到它们的异同点？它们的思路是否一致呢？

生：相同点是：都是把三角形的三个内角拼到一起，根据平角的定义，证明三角形的内角和是180°；不同点是：辅助线的作法不同，前者是过点A作边BC的平行线，后者是过点C作边AB的平行线.但不管是过三角形的哪一个顶点作另一边的平行线，它们的思路基本一致，就是利用平行线的性质，通过同位角或内错角相等，把三个角都拼到一起，构成一个平角，从而得证.

师：很好，大家的证明过程写得非常好，分析得非常棒，找到了解决问题的思路.根据思路，大家还能找到其他的证明方法吗？

生：还可以这样作辅助线，如图5，作CA的延长线AD，过点A作∠DAE＝∠C，则AE∥BC，所以∠EAB＝∠B.

因为∠DAE+∠EAB+∠BAC＝180°，故∠C+∠B+∠BAC＝180°.

师：大家做得非常好，这三种方法都是把三个角转移到三角形的一个顶点处.只要把它们拼到一起成为平角即可，那么是否可以转移到其他地方呢？请大家讨论.

生：如图6，在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，再过点D作DF∥AC交AB于点F.

∵ DE∥AB，

∴ ∠1＝∠B，∠2＝∠4.

∵ DF∥AC，

∴ ∠3＝∠C，∠4＝∠A.∴ ∠2＝∠A.

∵ ∠1+∠2+∠3＝180°，

∴ ∠A+∠B+∠C＝180°.

师：大家讨论得非常棒.可见大家已掌握了三角形内角和定理的证明，并能根据思路拓展，由于时间关系，我们不再继续证明了，在课后大家可以继续讨论有关问题，比如点在△ABC的外部呢？

新知应用

例 1　在△ABC 中，∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.

师生活动：引导学生分析各角间的数量关系，学生尝试解决.

解：设∠B为x°，则∠A为3x°，∠C为（x+15）°，

从而有3x+x+（x+15）＝180.

解得x＝33.

所以3x＝99，x+15＝48.

答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.

例 2　如图7，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.

解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD＝∠BAC＝20°.

在△ABD中，∠ADB＝180°-∠B-∠BAD＝180°-75°-20°＝85°.

二、三角形按角的分类

问题 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？

师生活动：学生交流讨论，师总结：

三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.

三角形的分类（按角）

三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；

有一个角是直角的三角形叫直角三角形；

有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.如图8所示.

图8

三、直角三角形的表示及相关概念

1.表示方法

直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.

2.相关概念

在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.

3.特殊直角三角形

两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.

四、外角的概念及性质

师：观察所给的图形，哪个角是三角形的外角？

如图9，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.

生：学生根据概念，观察图形找出。

师：三角形的外角有什么特点？根据这些特点，谁能说说什么叫作三角形的外角？

生：仔细观察图形并和同学交流，

师生活动：学生自行归纳，老师规范说法.

三角形外角的特点：

①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形的另一条边的延长线.

问题：动手作图，你能发现三角形的一个内角可以作出几个外角？

生：在纸上作图，可以得出结论：一个内角有两个外角.

问题：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A，∠B的大小会有什么关系呢？

师生活动

学生先独立思考每个问题再分组讨论、交流，并解决问题.教师深入小组参与活动，及时了解学生情况，同时引导学生说出推理过程：

如图10，因为∠ACD +∠ACB＝180°，

   ∠A +∠B +∠ACB＝180°，

所以∠ACD -∠A -∠B＝0（等量减等量，差相等）.

于是∠ACD＝∠A +∠B.

师生活动：共同归纳

三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

应用格式：

∵ ∠ACD是△ABC的一个外角,

∴ ∠ACD＝∠A+∠B.

例 3  如图11,∠A＝42°,∠ABD＝28°,∠ACE＝18°,求∠BFC 的度数.

生：小组交流，分清已知角和所求角之间的关系，尝试书写解题过程.

解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，

∴ ∠BEC＝∠A+∠ACE.

∵ ∠A＝42°，∠ACE＝18°，

∴ ∠BEC＝60°.

∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，

∴ ∠BFC＝∠ABD+∠BEF.

∵ ∠ABD＝28°，∠BEC＝60°，

∴ ∠BFC＝88°.

课堂练习

1.求出下列图12中的x值.

图12

2.（1）如图13，∠BDC是________的外角,也是              的外角；

   （2）若∠B＝45 °， ∠BAE＝36 °,∠BCE＝20 °,试求∠AEC的度数.

图13　　　　　　　　　　　　图14

3.如图14，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

4.如图15是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？

图15　　　　　　　　    图16　　　　　　　　　   图17

5.如图16，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.

6.如图17，D是△ABC的BC边上一点,∠B＝∠BAD, ∠ADC＝80°，∠BAC＝70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.

参考答案

1.70  60  30  50　

2.解：（1）△ADC  △ADE

（2）根据三角形外角的性质有

∠ADC＝∠B+∠BCE,

∠AEC＝∠ADC+∠BAE.

所以∠AEC＝ ∠B+∠BCE+ ∠BAE

＝45 °+20 °+36 °＝101 °.

3.解：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2+∠3，

∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3）.

由∠1+∠2+∠3＝180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2×180°＝360°.

4.解：∠CAB＝∠BAD-∠CAD＝80°-50°＝30°.

∵ AD∥BE，∴ ∠BAD+∠ABE＝180°.

∴ ∠ABE＝180°-∠BAD＝180°-80°＝100°.

∴ ∠ABC＝∠ABE-∠EBC＝100°-40°＝60°.

在△ABC中，∠ACB＝180°-∠ABC-∠CAB＝180°-60°-30°＝90°.

答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.

5.解：∵ ∠1是△FBE的外角，

∴ ∠1＝∠B+∠E.

同理∠2＝∠A+∠D.

在△CFG中，

∠C+∠1+∠2＝180°，

∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.

6.解：（1）因为∠ADC是△ABD的外角，

所以∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°.

又因为∠B＝∠BAD，

所以∠B＝80°×＝40°.

（2）在△ABC中，

因为∠B+∠BAC+∠C＝180°，

所以∠C＝180°-40°-70°＝70°.

课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答一下问题：

1.三角形内角和定理：　　　　.

应用

2.三角形按边分类

3.三角形外角的概念

4.三角形外角的性质：

（1）与相邻内角互补.

（2）一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

布置作业

教材第48页练习，第49页习题2.1 第4，5，7，8题.

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