2023年湖南省岳阳市弘毅新华中学九年级下学期月考数学试卷（含详细答案）

这是一份2023年湖南省岳阳市弘毅新华中学九年级下学期月考数学试卷（含详细答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，羊二，直金十两．牛二，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省岳阳市弘毅新华中学九年级下学期月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．实数﹣2023的绝对值是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．“思明拾光”系列短视频以中国“二十四节气”为主线，在自然与人文之间开启全新的阅读视角．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、 “立夏”、 “芒种”、 “白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．上海世博会“中国馆”的展馆面积为，这个数据用科学记数法可表示为（    ）.
A． B． C． D．
4．下列各运算中，计算正确的是（    ）．
A． B． C． D．
5．某校6名学生参加课外实践活动的时间分别为：3，3，6，4，3，7（单位：小时），这组数据的众数和中位数分别为（    ）
A．6和7 B．3和3.5 C．3和3 D．3和5
6．如图，在中，，，垂足为D，，交于点E，若，则的长度为（    ）

A．7.5 B．8 C．9 D．9.5
7．下列命题中是假命题的是（    ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．

二、填空题
9．分解因式：________．
10．要使代数式有意义，则x的取值范围为______．
11．不透明袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是_______．
12．分式方程的解为________．
13．关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．
14．已知，则代数式的值为_________．
15．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 _____两．
16．如图，在锐角△ABC中，AC＝12，以AC为直径作⊙O，交BC边于点M，M是BC的中点，过点M作⊙O的切线交AB于点N．
①若∠A＝50°，则＝__________；
②若MN＝4，则tan∠BMN＝__________．


三、解答题
17．计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．
18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，在对角线上，且，，求证：四边形是矩形．

19．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象求的解集；
(3)将直线向上平移6个单位后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，求的面积．
20．自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
　　
根据图中信息解决下列问题：
(1)本次共调查　 　名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为　 　度；
(2)补全条形统计图；
(3)选修D类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．
21．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
22．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．

23．如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点．
  
（1）如图1，若和是等腰三角形，求证：；
（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理．
（3）在（1）的条件下，，，若把绕点旋转，当时，请直接写出的长度．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上的一动点，过点作交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为轴左侧新抛物线上一点，过作轴交射线于点，连接，当为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．

参考答案：
1．A
【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案．
【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．
2．B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
4．B
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，单项式乘以单项式法则及完全平方公式分别计算并判断．
【详解】解：A、，故原计算错误；
B、，故原计算正确；
C、，故原计算错误；
D、，故原计算错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了正式的计算，正确掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，单项式乘以单项式法则及完全平方公式是解题的关键．
5．B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【详解】解：将数据从小到大排列：3、3、3、4、6、7，
出现次数最多的是3，
因此众数为3，
3处在第3位，4处在第4位，该数据的平均数为，
因此中位数为：3.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，是解题的关键．
6．C
【分析】由得到是等腰三角形，由得到，，再进一步得到，由即可得到答案．
【详解】解：∵
∴是等腰三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．B
【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．
8．C
【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的的取值范围，将转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，
①当时，抛物线开口向上，
∵时，y随x的增大而减小，
∴，即．
解得，
∴，
∵，
∴．
②当时，抛物线开口向下，
∵时，y随x的增大而减小，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
当时，有最大值，
∵，
∴此情况不存在．
综上所述，最大值为8．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将的最大值转化为二次函数求最值．
9．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
10．
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键．
11．##0.4
【分析】根据概率的定义，抽到黑球的概率 ，代入数值计算即可.
【详解】抽到黑球的概率：，
故答案为：.
【点睛】本题考查概率，注意利用概率的定义求解.
12．
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘以约去分母得：，
解这个整式方程得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
13．k＜2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
14．##3.5##3
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
【详解】解：
＝
＝
＝
＝
＝．
，
移项得，
左边提取公因式得，
两边同除以2得，
∴原式＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．
【分析】根据已知条件，设每头牛x两，每只羊y两，建立二元一次方程组求解可得．
【详解】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得
，
，
1头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．恰当利用已知条件找出等式关系，列出二元一次方程组是解本题的关键．
16．         
【分析】（1）如图，连接OM，易得OM是△ABC的中位线，继而可得OM∥AB，，由平行线的性质可得，继而根据弧长公式即可求得，
（2）连接AM，根据圆周角定理可得，继而易得△ABC是等腰三角形，根据切线的性质可得OM⊥MN，继而易得，由相似三角形的性质可得，设，，可得关于x的方程，解方程即可得，继而即可求得tan∠BMN．
【详解】如图，连接OM，
∵AC为⊙O的直径，
∴点O是AC的中点，
又 M是BC的中点，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM∥AB，，
∵∠A＝50°，
∴，
又⊙O的直径AC＝12，即半径，
∴，
连接AM，
∵AC为⊙O的直径，
∴，即AM⊥BC，
又 M是BC的中点，
∴△ABC是等腰三角形，
∴,
∵MN是⊙O的切线交AB于点N，
∴OM⊥MN，
∵OM∥AB，
∴AB⊥MN，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
又，
∴，
解得：或，
∵BN ∴，
∴
故答案为：，．

【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到相似三角形的判定及其性质、切线的性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形中位线的判定及其性质，正切，弧长公式，解题的关键是熟练掌握所学知识，学会作辅助线．
17．--5
【分析】根据实数的性质化简即可求解．
【详解】原式=--4+-1-2×
=--4+-1-
=--5．
【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
18．证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质，得到对角线相互平分，则，再结合，，得到，结合矩形的判定定理即可得证．
【详解】证明：在平行四边形中，对角线、相交于点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，即，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，涉及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质及矩形的判定是解决问题的关键．
19．(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）利用求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数中求出k即可；
（2）联立两个函数解析式，求出点坐标，再结合图象即可得到解集；
（3）根据平移规则，求出平移后的解析式，连接，得到的面积等于的面积，利用，进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：令一次函数中，则，
解得：，即点A的坐标为，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得：或
∴，
由图象可知，的解集为或；
（3）解：由题意，得：平移后的解析式为
当时，，
∴，
∴，
连接、如图所示．

∵，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
20．(1)60，144°；
(2)见解析；
(3)

【分析】（1）用C类别人数除以其所占百分比可得总人数，用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得；
（2）总人数乘以A类别的百分比求得其人数，用总人数减去A，B，C的人数求得D类别的人数，据此补全图形即可；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为12÷20%＝60（名），
则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为＝144°．
故答案为：60，144°；
（2）解：A类别人数为60×15%＝9（人），则D类别人数为60−（9＋24＋12）＝15（人），
补全条形图如下：

（3）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数为8，
所以所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．(1)每件售价为50元
(2)至少打八折销售价格不超过50元

【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设每件的售价定为x元，
则有：，
解得：（舍去），
答：每件售价为50元；
（2）解：设该商品打m折，
根据题意得：，
解得：，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
22．58m
【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．
【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．

又∵，
∴四边形ACHG是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴（m）﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴m．
在中，
∴(m)．
∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）（1）中结论成立，详见解析；（3）或
【分析】（1）利用SAS证，可得出；
（2）根据直角三角形边的关系，可得，从而证，最终得出角度关系；
（3）存在2种情况，一种是点E在线段AB上，另一种是点E在AB的反向延长线上，分别利用相似的关系推导可得．
【详解】（1）和是等腰直角三角形，，
，，．
．
．
（2）（1）中结论成立，理由：
在中，，
，
在中，，
，
．
，
，
．
．
（3）情况一：如下图，点E在线段AB上

由第（1）问可得：△BAD≌△CAE
∴∠ABD=∠ACE
∵∠ADB=∠PDC
∴△ABD∽△PCD
∴
∵AB=AC=6，AD=AE=4,
∴DC=10
∴在Rt△BAD中，DB=
∴DP=
∴PB=
情况二：如下图，点E在BA的延长线上

同理可证：△AEC∽△PEB
∴
∵AB=AC=6，AD=AE=4,
∴EB=10
∴在Rt△AEC中，EC=
∴BP=
∴综上得：的长为或
【点睛】本题考查三角形的全等和相似的证明，并考查了勾股定理的计算，解题关键是找出图形中的全等三角形和相似三角形．
24．(1)
(2)，
(3)符合条件点的横坐标分别为、、、．

【分析】（1）用待定系数法把，代入可得．
（2）设直线的解析式为，把，代入可得，求出直线的解析式为，求出，当时，最大值为．
（3）求出左平移4个单位，再向上移3个单位的函数表达式，把，，表示出来，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：把，代入可得，
，
解得，，
∴，
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入可得，
，，
∴直线的解析式为，
设，则
，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
把P点的横坐标代入可得，
，

∴，
∴
当时，最大值为．此时，
（3）把变成顶点式为，
∵左平移4个单位，再向上移3个单位，
∴即，
∴，
设过的直线解析式为，
把，代入得，解得，，
∴的直线解析式，
设，M和N的横坐标相同，把M的横坐标代入，
∴，
∴，
，

I、当时，，
解得：，（舍去），，
∴，
II、当时，
整理得：，
∵，
当时，．
当时，．，此时M、N重合，不合题意，舍去，
III、当时，
整理得：
解得，
当时，，
综上所述：符合条件的点M有四个，其横坐标分别为、、、．
【点睛】此题考查了二次函数的综合问题，解题关键是熟悉二次函数的基本性质、待定系数法、线段表示方法．