2023省大庆大庆中学高二下学期开学考试数学含解析

这是一份2023省大庆大庆中学高二下学期开学考试数学含解析，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
大庆中学2022--2023学年度下学期开学初考试高二年级数学试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。）1．椭圆的焦点坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的标准方程即可得到答案.【详解】因为椭圆，，，焦点在轴，所以，焦点坐标为.故选：A2．数列的一个通项公式是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用与的关系确定的通项，然后得出题设结论．【详解】先写出的通项是，数列的通项公式是．故选：A．3．已知圆，则其圆心和半径分别为（    ）A． B． C． D． 3．C【分析】将圆的一般式化为标准式，然后求圆心和半径即可.【详解】圆的方程可整理为，所以圆心为，半径为.故选：C.4．在等差数列中，若，则等于（    ）A．13 B．14 C．15 D．16【详解】在等差数列中，若,则，故选：B5．若两直线与平行，则的值为(    )A． B．2 C． D．0由题意知：，整理得，∴，故选：A6．若等差数列满足，则当的前项和的最大时，的值为（    ）A．7 B．8 C．9 D．8或9【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，所以当的前项和的最大时，的值为8.故选：B.7．已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．7．D【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据 求出离心率.【详解】渐近线方程为： ，由于P点坐标在第二象限，选用 ，将P点坐标代入得： ，又 ；故选：D.8．已知抛物线 ，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则 的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】如图，

作PQ，AN与准线x=-2垂直，垂足分别为Q，N ，则|PQ|=|PF| ，
|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AN|=6 ，当且仅当Q，P，A三点共线即P到M重合时等号成立．
故答案为：B．
  二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部答对得5分，部分答对得2分，有选错给0分。） 9．关于直线l：，下列说法正确的有(     )．A．过点(，－2)       B．斜率为C．倾斜角为60°        D．在y轴上的截距为1【答案】BC【解析】对于A，将(，－2)代入l：，可知不满足方程，故A不正确；对于B，由，可得，所以＝，故B正确；对于C，由，即，可得直线倾斜角为60°，故C正确；对于D，由，可得，直线在y轴上的截距为－1，故D不正确.故选BC.10．已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因为，所以，即，解得或，又，所以，所以A正确；数列的通项公式为，所以B正确；，所以C不正确；由，得，，所以，所以D正确．故选:ABD 11.已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ）A．M的离心率为 B．M的标准方程为C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点11．ACD【分析】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为或两种情况，根据可求得双曲线方程，再逐个辨析即可【详解】根据题意双曲线 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 ， 则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即 或 ，② 联立①②可得： ， ， 或 ， ， ； 因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为 对A，则离心率为 ，故 A 正确 . 对B，双曲线的方程为 ，故 B 错误； 对C，渐近线方程为 ，故 C 正确； 对D，直线 经过 M 的一个焦点 ，所以 D 正确 . 故选： ACD 12．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(     )．A．公共弦AB所在直线方程为x－y＝0B．线段AB中垂线方程为x＋y－1＝0C．公共弦AB的长为D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确．对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，AB＝1则线段AB中垂线斜率为－1，即线段AB中垂线方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确．对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1，0)到x－y＝0的距离为，半径r＝1，所以，故C不正确．对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到x－y＝0的距离为，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确． 故选ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效。）13．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.【答案】3【分析】根据抛物线定义，可得点P到抛物线准线的距离，进而即得.【详解】因为点P到焦点的距离为4，所以点P到抛物线准线的距离为4，所以点P到y轴的距离为3.故答案为：3.14．在正项等比数列中，，______.【答案】4【解析】在正项等比数列中，，所以，所以，，15．以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________. 【详解】因为为椭圆的焦点，所以，，所以由，所以椭圆的标准方程为：，如图所示：因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，故当处于右顶点时最大，且最大值为，故答案为：3.16．数列满足，，则___________.16．【分析】由题可得，进而可得的偶数项构成等差数列，然后根据通项公式即得.【详解】因为，，所以，，由，可得，所以，所以的偶数项构成等差数列，首项为，公差为，∴.故答案为：.    四、解答题(共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知等差数列的前n项和为，，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以， 又，则等差数列的公差又，所以数列的通项公式.（2）因为， 所以. 18．已知抛物线过点．(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度．18．(1)， (2) 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得的方程，由抛物线方程可得准线方程；（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.【详解】（1）过点，，解得：，抛物线，准线方程为：（2）由（1）知：抛物线焦点为，因为直线倾斜角为，所以设直线，，，由得：，，.19．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和．．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，则设等差数列的公差为，则，所以.所以设等比数列的公比为，由题，即，所以.所以；（2），所以的前项和为. 20．如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面分别是棱的中点．(1)求证：∥平面；(2)求平面与平面夹角的大小20．(1)证明见详解；(2) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面与平面夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系，设平面的法向量为所以不妨取又又平面，∥平面；（2）由（1）知：,设平面的法向量为，平面的法向量所以不妨取同理不妨取设平面与平面夹角为所以 21．已知圆P过两点M(0，2)，N(，1)，且圆心P在直线y＝x上．(1)求圆P的方程；(2)过点Q(－1，2)的直线交圆P于A，B两点，当｜AB｜＝时，求直线AB的方程．【答案】(1) x2＋y2＝4     (2) 3x＋4y－5＝0或x＝－1．【解析】 (1)因为圆P过点M(0，2)，N(，1)，所以线段MN的中垂线也过圆心，线段MN的中点为，直线MN的斜率为，得线段MN的中垂线方程为，即．所以圆心坐标为(0，0)，得圆P的方程为x2＋y2＝4．(2)由｜AB｜＝，根据垂径定理，可得圆心(0，0)到直线AB的距离．若直线斜率存在，可设直线AB方程为y－2＝(x＋1)，由，解得，得直线方程为3x＋4y－5＝0；若直线斜率不存在，则直线方程为x＝－1，符合条件．综上，所求直线方程为3x＋4y－5＝0或x＝－1．22．已知椭圆：的右焦点和上顶点均在直线上.(1)求椭圆的方程；(2)已知点，若过点的直线与椭圆交于不同的两点，.直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.22．(1)，(2)证明见解析. 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，可得椭圆的右焦点和上顶点，从而可求出，再由求出，进而可得椭圆方程，（2）设直线方程为，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用根与系数的关系，然后表示出和，再计算即可.【详解】（1）对于直线，当时，，当时，，因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线上，所以，所以，所以椭圆方程为，（2）因为在椭圆外，过点的直线与椭圆交于不同的两点，所以直线的斜率一定存在，所以设直线方程为，设，由，得，，得，，因为，，所以