2023成都七中高二下学期3月月考试题数学（文）含解析

成都七中高2024届高二下阶段性测试数学试题（文科）

考试时间120分钟，总分150分

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．“”是“”成立的（    ）

A．充分条件  B．必要条件  C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

2．已知x，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于（    ）

A．   B．   C．   D．

3．已知向量，满足，，且与的夹角为，则的值为（    ）

A．  B．1   C．   D．2

4．双曲线的渐近线方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

5．执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（    ）

A．   B．   C．   D．

6．若x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．4   B．   C．   D．

7．已知，，直线与曲线切，则最小值是（    ）

A．16   B．12   C．8   D．4

8．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A．   B．

C．     D．

9．在正方体中，下列结论正确的有（    ）

①异面直线与BD所成角的大小为；②直线与直线AC垂直；

③直线与平面ABCD所成角的正切值为；③平面与平面BCD夹角的正切值为．

A．①②   B．①②③   C．②③④   D．③④

10．已知点P在椭圆上，且，为两个焦点，，在中满足，，成等差数列，则椭圆的离心率是（    ）

A．   B．   C．   D．

11．已知函数（e是自然对数的底数），若存在，，使得，则的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

12．若，，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．若样本数据的标准差为10，则数据的方差为______．

14．已知等比数列中，，，则______．

15．已知F为抛物线的焦点，由直线上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则与（O为坐标原点）的面积之和的最小值是______．

16．若过点有3条直线与函数的图象相切，则m的取值范围是______．

三、解答题（共70分）

17．（10分）某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图．

（1）求图中x的值；

（2）用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率．

18．（12分）已知函数，．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在上的最小值是，求a的值．

19．（12分）如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面PAD；

（Ⅱ）若平面ABCD，，垂足为F，，，求三棱锥的体积．

20．（12分）过抛物线的焦点F作斜率分别为，的两条不同的直线，，且与E相交于点A，B，与E相交于点C，D．以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l．

（1）若，求；

（2）若，求点M到直线l的距离的最小值．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，讨论函数的零点个数．

22．（12分）已知P为圆上一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，若点Q满足．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点Q的轨迹为曲线C，过点作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为EF，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得GH为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

成都七中高2024届高二下阶段性测试数学试题（文科）

参考答案

BABCA  ADCCD  AB

900  32    

17【详解】（1）由频率分布直方可知，

，

解得；

（2）由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名，按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A，B，C，D，

在的学生有1名，记为e，

从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，

其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae，Be，Ce，De，

则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为．

18．【详解】（1）当时，，，

所以切点为，

，则，

所以切线方程为，即．

（2），，

若，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以，不满足题意：

若，令，解得，令，解得，

所以函数在单调递减，单调递增，

所以，解得，满足题意；．

若，则在上恒成立，

所以在上单调递减，

所以，解得，不满足题意，

综上，．

19．【详解】解：（Ⅰ）因为四边形ABCD是矩形，所以O是BD的中点

又E是PB的中点，所以

因为平面PAD，平面PAD

所以平面PAD．

（Ⅱ）因为平面ABCD，平面ABCD，所以

又，平面PAD，

所以平面PAD，平面PAD，所以

又，平面PAB，，所以平面PAB

因为平面PAB，所以，．

因为，，所以

又平面DEF，，所以平面DEF

因此PE是三棱锥的高．

由平面ABCD，平面ABCD，得

在中，由，得，．

在中，．

在中，

于是

所以三棱锥的体积是．

20．【详解】（1）依题意，抛物线E的焦点为，且其在抛物线内部，设直线l1的方程为，

由，得，

设A，B两点的坐标分别为，，则是上述方程的两个实数根，

所以，

所以点M的坐标为，，

同理可得N的坐标为，，

于是，

又，所以．

（2）结合（1），

由抛物线的定义得，，

所以，

所以圆M的半径，

所以圆M的方程为，

化简得，

同理可得圆N的方程为，

于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为，

又，，则直线l的方程为，

所以点M到直线l的距离，

故当时，取最小值．

21．【详解】（1）当时，，

当时，；当时，；当时，，

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．

（2），

令，得或，由于，

当时，；当时，，当时，．

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．

，

令，得，

当时，，又，

所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；

当时，，又，

所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和a；

令，得，

现说明，即，即显然成立．

因为，故，

当时，，又，．

所以存在唯一，唯一，唯一，

使得，此时函数有3个零点，

当时，，又．

所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2．

当时，，又．

所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点．

综上所述，当时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有1个零点．

22．【详解】（1）由题意得，设点，，则点，

因为，所以，则，

因为点P在圆上，所以，则，即，

所以点Q轨迹方程为．

（2）①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线

，

联立，得，

设直线EN与曲线C两交点的坐标分别为，，则，

∴，；

∵，∴直线，

同理可得：，，

设直线EF与x轴交于点，

则当直线EF斜率存在时，由得，

∴，即直线EF恒过点；

当直线EF斜率不存在时，由得，则，

则直线EF恒过点；

②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线EF为x轴，恒过，

综上：直线EF恒过点；

∵，∴，∴H在以NT中点为圆心，为直径的圆上，

取，则为定值；

∴存在点，使得为定值．