初中数学北师大版七年级下册4 整式的乘法同步训练题

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第2讲 整式乘法与除法

知识点1 单项式乘单项式
单项式乘单项式
（1）单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；
②注意按顺序运算；
③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；
④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
（2）单项式乘单项式的“三点规律”：
①利用乘法交换律、结合律转化为数与数相乘，同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄；
②不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；
③单项式乘单项式的结果仍是单项式．
【典例】
例1（2020秋•普陀区期中）（﹣a2b）（2ab）3+10a3b4．
【解答】解：原式＝（﹣a2b）•8a3b3+10a3b4
＝﹣8a5b3+10a3b4．
【方法总结】
此题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握积的乘方的计算法则和单项式乘以单项式计算法则．
例2（2020秋•朝阳区校级期中）计算：a3b2•（﹣b2）2+（﹣2ab2）3．
【解答】解：a3b2•（﹣b2）2+（﹣2ab2）3
＝a3b2•b4﹣8a3b6
＝a3b6﹣8a3b6
＝﹣7a3b6．
【方法总结】
本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•浦东新区校级期中）计算：（-13x2y）3•（﹣2xy2z）2．
【解答】解：（-13x2y）3•（﹣2xy2z）2
=-127x6y3•4x2y4z2
=-427x8y7z2．
2．（2020秋•海淀区期中）计算：
（1）x•x3+x2•x2．
（2）5x2y•（﹣2xy2）3．
（3）7x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4．
【解答】解：（1）原式＝x4+x4＝2x4；
（2）原式＝5x2y•（﹣8x3y6）＝﹣40x5y7；
（3）原式＝7x4•x5•（﹣x7）+5x16＝﹣7x16+5x16＝﹣2x16．
知识点2 单项式乘多项式
单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；
②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；
③注意确定积的符号．
【典例】
例1（2020秋•延边州期末）计算：（23ab2﹣2ab）•12ab．
【解答】解：原式=23ab2⋅12ab﹣2ab⋅12ab
=13a2b3﹣a2b2．
例2 （2020秋•普陀区期中）计算：3x2+x（7y﹣3x）．
【解答】解：原式＝3x2+7xy﹣3x2＝7xy．
【方法总结】
此题主要考查了单项式乘以多项式，关键是掌握单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
例3 （2020秋•普陀区期中）计算：（x﹣2y）（-43xy2）．
【解答】解：原式=-43x2y2+83xy3．
【方法总结】
此题主要考查了单项式乘以多项式，关键是掌握单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【随堂练习】
1．（2020秋•海淀区校级月考）（2a﹣b）（﹣2ab2）＝　﹣4a2b2+2ab3　．
【解答】解：（2a﹣b）（﹣2ab2）
＝2a•（﹣2ab2）﹣b•（﹣2ab2）
＝﹣4a2b2+2ab3，
故答案为：﹣4a2b2+2ab3．
2．（2020春•历下区期末）计算：﹣3x•（2x2y﹣xy）＝　﹣6x3y+3x2y　．
【解答】解：﹣3x•（2x2y﹣xy）＝﹣6x3y+3x2y．
故答案为：﹣6x3y+3x2y．
3．（2020春•嘉兴期末）已知，a+b＝2，b﹣c＝﹣3，则代数式ac+b（c﹣a﹣b）的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
【解答】解：ac+b（c﹣a﹣b）
＝ac+bc﹣ab﹣b2
＝c（a+b）﹣b（a+b）
＝（a+b）（c﹣b），
把a+b＝2，b﹣c＝﹣3代入（a+b）（c﹣b）＝2×3＝6，
故选：C．
知识点3 多项式乘多项式
多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【典例】
例1（2020秋•西峰区期末）若（x+m）（x+n）＝x2﹣7x+mn，则﹣m﹣n的值为　7　．
【解答】解：∵（x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn＝x2﹣7x+mn，
∴m+n＝﹣7，
∴﹣m﹣n＝7，
故答案为：7．
【方法总结】
本题考查了多项式的乘法，解题的关键是牢记多项式乘以多项式的乘法法则，属于基础题，比较简单．
例2（2020秋•武侯区校级期中）若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣8，则ab的值为　116　．
【解答】解：∵（x+2）（x+a）＝x2+（2+a）x+2a，
又∵（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣8，
∴x2+（2+a）x+2a＝x2+bx﹣8．
∴2+a＝b，2a＝﹣8．
∴a＝﹣4，b＝﹣2．
∴ab＝（﹣4）﹣2
=1(-4)2
=116．
故答案为：116．
【方法总结】
本题考查了多项式乘多项式及负整数指数幂的计算，题目综合性较强，根据等式确定a、b的值是解决本题的关键．
例3 （2020秋•吉林期末）小轩计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于小轩将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为10x2﹣33x+20．
（1）求m的值；
（2）请计算出这道题的正确结果．
【解答】解：（1）由题知：（2x﹣m）（5x﹣4）
＝10x2﹣8x﹣5mx+4m
＝10x2﹣（8+5m）x+4m
＝10x2﹣33x+20，
所以8+5m＝33或4m＝20，
解得：m＝5．
故m的值为5；
（2）（2x+5）（5x﹣4）
＝10x2﹣8x+25x﹣20
＝10x2+17x﹣20．
【方法总结】
本题是多项式乘多项式，熟练掌握法则是关键，同时本题要注意理解题意，根据错误的符号进行计算，得出相应结论．
【随堂练习】
1．（2020秋•九龙坡区校级期中）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m+n＝　6　．
【解答】解：（x﹣2）（x2+mx+n）＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n
＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n
∵（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得：m＝2，n＝4，
∴m+n＝6．
故答案为：6．
2．（2020秋•宽城区期中）小刚同学计算一道整式乘法：（2x+a）（3x﹣2），由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx+10．
（1）求a，b的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x﹣2）＝6x2+（﹣4﹣3a）x+2a＝6x2+bx+10，
∴﹣4﹣3a＝b，2a＝10，
解得：a＝5，
∴b＝﹣19；
（2）（2x+5）（3x﹣2）＝6x2﹣4x+15x﹣10＝6x2+11x﹣10．
3．（2020秋•中山区期中）如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）．

（1）图中的甲长方形的面积S1，乙长方形的面积S2，试比较S1、S2的大小，并说明理由；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．
【解答】解：（1）S1＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，
S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，
∴S1﹣S2＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1＞S2．
（2）图中甲的长方形周长为2（m+7+m+1）＝4m+16，
∴该正方形边长为m+4，
∴S﹣S1＝（m+4）2﹣（m2+8m+7）＝9，
∴这个常数为9．
知识点4 单项式除以单项式
单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
【典例】
例1 （2020秋•西丰县期末）计算：﹣3a6b2c÷9a2b的结果是（　　）
A．-13a3b2c B．﹣3a4bc C．﹣3a3b2c D．-13a4bc
【解答】解：﹣3a6b2c÷9a2b=-13a4bc．
故选：D．
【方法总结】
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
例2 （2020•临沂）计算（﹣2a3）2÷a2的结果是（　　）
A．﹣2a3 B．﹣2a4 C．4a3 D．4a4
【解答】解：原式＝4a6÷a2
＝4a4．
故选：D．
【方法总结】
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020春•当涂县期末）计算（2a2b）2÷（ab）2的结果是（　　）
A．4a3 B．4ab C．a3 D．4a2
【解答】解：原式＝4a4b2÷a2b2
＝4a2．
故选：D．
2．（2020春•龙泉驿区期中）计算（x3y）3÷（2xy）3的结果应该是（　　）
A．12x6 B．18x6 C．18x4y D．18x2y
【解答】解：（x3y）3÷（2xy）3
＝x9y3÷（8x3y3）
=18x6．
故选：B．
3．（2020•和平区一模）计算：（﹣x2y）2÷（﹣2xy）＝（　　）
A．12x B．12x3y C．-12x3y D．﹣2x3y
【解答】解：（﹣x2y）2÷（﹣2xy）
＝x4y2÷（﹣2xy）
=-12x3y．
故选：C．
知识点5 多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
【典例】
例1（2020•武汉）计算：[a3•a5+（3a4）2]÷a2．
【解答】解：原式＝（a8+9a8）÷a2
＝10a8÷a2
＝10a6．
【方法总结】
此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例2（2020春•顺义区期末）计算：（12x3﹣18x2+6x）÷（﹣6x）．
【解答】解：（12x3﹣18x2+6x）÷（﹣6x）＝﹣2x2+3x﹣1．
【方法总结】
考查了整式的除法，多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
【随堂练习】
1．（2020秋•五常市期末）计算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝　﹣8x2+4x﹣2　．
【解答】解：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）
＝﹣8x2+4x﹣2．
故答案为：﹣8x2+4x﹣2．
2．（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为　10a﹣4b+2　．
【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，
∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a
＝3a﹣2b+1，
故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．
故答案为：10a﹣4b+2．


综合运用
1．（2020春•三水区期末）一个长方体的长、宽、高分别是3m﹣4，2m和m，则它的体积是（　　）
A．3m3﹣4m2 B．3m2﹣4m3 C．6m3﹣8m2 D．6m2﹣8m3
【解答】解：根据长方体体积的计算公式得，（3m﹣4）•2m•m＝6m3﹣8m2，
故选：C．
2．（2020春•温州期末）下列运算正确的是（　　）
A．2a（a﹣1）＝2a2﹣a B．a（a+3b）＝a2+3ab
C．﹣3（a+b）＝﹣3a+3b D．a（﹣a+2b）＝﹣a2﹣2ab
【解答】解：A.2a（a﹣1）＝2a2﹣2a，故本选项不合题意；
B．a（a+3b）＝a2+3ab，故本选项符合题意；
C．﹣3（a+b）＝﹣3a﹣3b，故本选项不合题意；
D．a（﹣a+2b）＝﹣a2+2ab，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（2020秋•大洼区月考）计算（﹣2ab2）3÷4a3b2＝　﹣2b4　．
【解答】解：（﹣2ab2）3÷4a3b2
＝﹣8a3b6÷4a3b2
＝﹣2b4．
故答案为：﹣2b4．
4．（2020秋•金昌期末）若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为　﹣8　．
【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8）
＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m
＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m，
∵不含x的一次项，
∴8+m＝0，
解得：m＝﹣8．
故答案为﹣8．
5．（2020春•沙坪坝区校级月考）（3x2y2﹣4y）÷（-12y）．
【解答】解：原式＝（3x2y2）÷（-12y）﹣4y÷（-12y）
＝﹣6x2y+8．
6．（2020秋•道里区校级月考）计算：
（1）（2x）3•（﹣5xy2）；
（2）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2．
【解答】解：（1）原式＝8x3•（﹣5xy2）＝﹣40x4y2；
（2）原式＝a8+a8+4a8＝6a8．
7．（2020•武汉模拟）计算：3x5+（2x2）2•x﹣2x3•x2．
【解答】解：原式＝3x5+4x5﹣2x5
＝5x5．
8．（2020秋•南关区期末）计算：（x+2y）（2x﹣3y）．
【解答】解：（x+2y）（2x﹣3y）
＝2x2﹣3xy+4xy﹣6y2
＝2x2+xy﹣6y2．
9．（2020秋•浦东新区校级月考）（2x﹣3）（3x2﹣2x+1）．
【解答】解：原式＝6x3﹣4x2+2x﹣9x2+6x﹣3
＝6x3﹣13x2+8x﹣3．
10．（2020秋•海淀区校级期中）（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4．
【解答】解：（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4
＝4x4+20x3y+21x2y2+16x3y+80x2y2+84xy3+12x2y2+60xy3+63y4﹣15y4
＝4x4+36x3y+113x2y2+144xy3+48y4．
日期：2021/1/27 20:07:07；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626