北师大版七年级下册6 完全平方公式同步练习题

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第4讲  乘法公式一完全平方公式 知识点1 完全平方公式；，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.【典例】例1（2020秋•盐池县期末）回答下列问题（1）填空：x2（x）2﹣_______＝（x）2+_______（2）若a5，则a2_______；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2的值．  【方法总结】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．例2（2020秋•肇源县期末）已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．  【方法总结】本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．【随堂练习】1．（2020秋•荔城区校级期中）已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．  2．（2020•南关区校级四模）某学生化简a（a+1）﹣（a﹣2）2出现了错误，解答过程如下：解：原式＝a2+a﹣（a2﹣4a+4）（第一步）＝a2+a﹣a2﹣4a+4（第二步）＝﹣3a+4（第三步）（1）该学生解答过程是从第_______步开始出错，其错误原因是_____________________；（2）请你帮助他写出正确的简化过程．  知识点2  利用完全平方公式进行整式与数的运算利用完全平方公式进行整式与数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式；的掌握情况.【典例】例1（2020春•沙坪坝区校级月考）同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论：ab[a+b）2﹣（a2+b2）]①（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；（2）求（6m﹣4039）2的值．   【方法总结】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．例2（2020秋•海淀区校级月考）计算：（1）9992．（2）计算（）2﹣（）2．  【方法总结】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式．完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2．【随堂练习】1．（2020春•醴陵市期末）如果（x+m）（x+n）＝x2+4x﹣1．①填空：m+n＝_______，mn＝_______；②根据①的结果，求下列代数式的值：（1）m2+5mn+n2；（2）（m﹣n）2．   知识点3  完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2=（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）”【典例】例1（2020秋•南关区校级期末）若x2+10x+k是一个完全平方式，那么k＝_______． 【方法总结】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，确定出另一个数是5是求解的关键，是基础题．例2（2020春•泰兴市期末）用等号或不等号填空：（1）比较2x与x2+1的大小：①当x＝2时，2x_______x2+1，②当x＝1时，2x_______x2+1，③当x＝﹣1时，2x_______x2+1；（2）通过上面的填空，猜想2x与x2+1的大小关系为______________；（3）无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗？试说明理由．  【方法总结】本题考查了不等式的性质，利用完全平方公式是非负数是解题关键．【随堂练习】1．（2020秋•朝阳县期末）如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是_______． 2．（2020•河北模拟）在求两位数的平方时，可以用完全平方式及“列竖式”的方法进行速算，求解过程如下．例如：求322．解：因为（3x+2y）2＝9x2+4y2+12xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以322＝1024．（1）下面是嘉嘉仿照例题求892的一部分过程，请你帮他填全表格及最后结果；解：因为（8x+9y）2＝64x2+81y2+144xy，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：所以892＝_______；（2）仿照例题，速算672；（3）琪琪用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图所示．若这个两位数的个位数字为a，则这个两位数为_______（用含a的代数式表示）．   知识点4  完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）【典例】例1（2020春•秦淮区期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形个数是（　　）A．4 B．5 C．6 D．7 【方法总结】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．例2（2020秋•卧龙区期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：（1）图②中阴影部分的正方形的边长为_______；（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积．方法一：______________；方法二：______________；（3）观察图②，写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式：______________；（4）计算：（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2＝_______．  【方法总结】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键．例3（2020秋•兴宁区校级期中）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积．方法1：_______；方法2：______________．（2）从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论：_____________________．（3）运用你所得到的结论，解决问题：已知（x+y）2＝25，xy＝3，求x2+y2的值．  【方法总结】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同方法表示同一个图形的面积是得出等式的关键．【随堂练习】1．（2020春•龙岗区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为（　　）A．100 B．32 C．144 D．36 2．（2020秋•崇川区校级期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2得a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）请直接写出下列问题答案：①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝_______；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝_______．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．3．（2020秋•温岭市期中）如图1，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形．现用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：______________；方法2：______________；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系______________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．4．（2020秋•浦东新区期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝_______．②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝_______．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．    综合运用1．（2020秋•金昌期末）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是_______．2．（2020秋•江汉区期末）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是_______．3．（2019秋•石狮市期末）如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（　　）A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b24．（2020秋•偃师市期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：（1）xy；（2）x﹣y．5．（2020•裕华区校级模拟）已知多项式A＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9．（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是_______，并写出正确的解答过程；（2）小亮说：“只要给出x2﹣2x+1的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出x2﹣2x+1的值为4，请你求出此时A的值．   6．（2020秋•朝阳区期中）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的边长为_______；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是_____________________；（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝3，则（x﹣y）2＝_______．（4）实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图3写出一个等式_____________________．7．（2020秋•新蔡县期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，图②是边长为m﹣n的正方形．（1）请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形，画出示意图（要求连接处既没有重叠，也没有空隙）；（2）请用两种不同的方法列代数式表示（1）中拼得的大正方形的面积；（3）请直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2的值．