数学七年级下册6 完全平方公式同步练习题

第4讲  乘法公式一完全平方公式

 知识点1 完全平方公式

；，

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.

【典例】

例1（2020秋•怀安县期末）设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝_______．

【方法总结】

本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．

例2（2020秋•云南期末）已知x5，那么x2_______．

【方法总结】

此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

例3（2020秋•朝阳区期末）若a+b＝5，ab＝3，

（1）求a2+b2的值；

（2）求a﹣b的值．

【方法总结】

此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•齐齐哈尔期末）已知：x3，则x2_______．

2．（2020秋•大冶市期末）已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝_______．

知识点2  利用完全平方公式进行整式与数的运算

利用完全平方公式进行整式与数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式；的掌握情况.

【典例】

例1 （2020春•瑶海区期中）已知（2020+x）（2018+x）＝55，则（2020+x）2+（2018+x）2＝_______．

【方法总结】

本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．

例2（2020春•兰州期末）利用整式乘法公式计算：

（1）2012；

（2）19992﹣1998×2000．

【方法总结】

本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了平方差公式．

【随堂练习】

1．（2020春•仪征市期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．

（1）求xy的值；

（2）求x2+3xy+y2的值．

知识点3  完全平方式

完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2=（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）”

【典例】

例1 （2020秋•卫辉市期末）如果两数和的平方的结果是x2+（a﹣1）x+25，那么a的值是（　　）

A．﹣9 B．﹣9或11 C．9或﹣11 D．11

【方法总结】

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

例2（2020秋•镇原县期末）代数式4x2+2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝_______．

【方法总结】

本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．

【随堂练习】

1．（2020秋•大安市期末）如果25x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值为_______．

2．（2020秋•绥棱县期末）已知x2+kxy+36y2是一个完全平方式，则k的值是_______．

3．（2020秋•肇源县期末）若多项式a2+ka+25是完全平方式，则k的值是_______．

知识点4  完全平方公式的几何背景

（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）

【典例】

例1（2020秋•射洪市期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到a（a+b）＝a2+ab，那么利用图2所得到的数学等式是（　　）

A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 

B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 

C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc 

D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c

【方法总结】

本题考查完全平方公式，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的关键．

例2（2020秋•中山区期末）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．

（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为_______；

①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．

（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是

_____________________；

（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：

①x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值；

②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝16，BE＝2，直接写出图中阴影部分面积和．

【方法总结】

本题考查完全平方公式的几何背景，理解各个部分面积之间的关系是得出关系式的关键．

例3（2020秋•路北区期末）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．

（1）图②中画有阴影的小正方形的边长等于多少？

（2）观察图②，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2与mn之间的等量关系；

（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值．

【方法总结】

本题考查完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•南岸区期末）如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为a，b的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（　　）

A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab

2．（2020秋•南安市期中）用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．

（1）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多5cm时，它的面积就多75cm2，求中间小正方形的边长．

3．（2020秋•东莞市校级期中）如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．

（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为_______；则x+y的值为_______；

（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为_______；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为_______；

（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．

4．（2020秋•连城县期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于_______；

（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．

方法①______________；

方法②______________；

（3）观察图②，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．

   综合运用

1．（2020秋•金昌期末）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是_______．

2．（2020秋•江汉区期末）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是_______．

3．（2019秋•石狮市期末）如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（　　）

A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2

4．（2020秋•偃师市期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：

（1）xy；

（2）x﹣y．

5．（2020•裕华区校级模拟）已知多项式A＝（x+2）2+x（1﹣x）﹣9．

（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是_______，并写出正确的解答过程；

（2）小亮说：“只要给出x2﹣2x+1的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出x2﹣2x+1的值为4，请你求出此时A的值．

6．（2020秋•朝阳区期中）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

（1）图2中的阴影部分的边长为_______；

（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是_____________________；

（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝3，则（x﹣y）2＝_______．

（4）实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图3写出一个等式

_____________________．

7．（2020秋•新蔡县期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，图②是边长为m﹣n的正方形．

（1）请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形，画出示意图（要求连接处既没有重叠，也没有空隙）；

（2）请用两种不同的方法列代数式表示（1）中拼得的大正方形的面积；

（3）请直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；

（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2的值．